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FONCTIONDérivationDV 1Nombre dérivé, Tangente à une courbe Compétences DV 1LIENS VIDEOS
1Calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point Application 1Ici et Ici
2Déterminer un nombre dérivé à la calculatriceApplication 2
3Déterminer algébriquement une équation d'une tangente Application 3
4Déterminer une équation d'une tangente à la calculatriceCASIO et TEXAS
5Lire graphiquement un nombre dérivé et l'équation d'une tangenteApplication 4Ici
6Tracer une courbe obéissant à des contraintes Application 5ici
1. Limite en zéro d'une fonction
Exemples : 1) Soit la fonction f définie par 21 1( )xf xx
. Elle est définie sur ............................... L'image de 0 par la fonction f n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de f(x) lorsque x se rapproche de 0. x-0,5-0,1-0,01-0,001...0,0010,010,10,5 f(x)?On constate que
f(x) se rapproche de .... lorsque x se rapproche de 0. On dit que la limite de f lorsque x tend vers 0 est égale à ... et on note : ............. .2) Soit la fonction g définie sur
;0'75U0;'75 par g(x)1 x2.A l'aide de la calculatrice, on constate que
g(x) devient de plus en plus grand lorsque x se rapproche de 0. On dit que la limite de g lorsque x tend vers 0 est égale à ..... et on note : ...............Définition : On dit que f(x) a pour limite L lorsque x tend vers 0 si les valeurs de f(x) peuvent être aussi
proche de L que l'on veut pourvu que x soit suffisamment proche de 0.On note :
limxr0 f(x)L et on lit : "La limite de f(x) lorsque x tend vers 0 " est égale à L.2) Taux d'accroissement d'une fonction entre deux réels :
Définition : On considère une fonction f définie sur un intervalle I . Soient a et b deux nombres réels distincts appartenant à l'intervalle I . Le taux d'accroissement de la fonction f entre a et b est égal à f(b)-f(a) b-a . Remarque : En considérant dans un repère les points A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)), le taux d'accroissement de f entre a et b correspond graphiquement au coefficient directeur de la droite (AB) : f(b)-f(a) b-a = yB-yA xB-xA = Δy ΔxExemples : Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que : f(1) = 3 et f(4) = 4,5 .
Calcule le taux d'accroissement de f entre 1 et 4 : ........................................................................
Soit g une fonction définie sur un intervalle I par g(x) = x² - 3 .Calcule le taux d'accroissement de g entre -3 et 1 : ........................................................................
1/43 . Nombre dérivé :
Soit une fonction f définie sur un intervalle I.Soit un réel a appartenant à I.
Soit A et M deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et a+h, avec h ≠ 0. Le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à : f(ah)f(a) h. Lorsque le point M se rapproche du point A, le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à la limite de f(ah)f(a) h lorsque h tend vers 0. Ce coefficient directeur s'appelle le nombre dérivé de f en a.Définition :
On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que : limhr0 f(ah)f(a) hL. L est appelé le nombre dérivé de f en a. On le note f'(a). Application 1 : Calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point :Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x² - 3. Montrer que f est dérivable en a = 1 et calculer f'(1) .
On commence par calculer f(a+h)-f(a)
h qui ici est égal à f(1+h)-f(1) h .f (1) = ................... f (1+h) = ..........................................................
donc f(1+h)-f(1)h = ....................................................................................................
donc limh→0f(1+h)-f(1) h = .......................... Soit g la fonction définie sur ℝ* par g(x) = 2 x. Montrer que g est dérivable en a = - 4 et calculer g'(-4).Un autre exercice pour s'entraîner : ici
Remarques :
•Lorsque f'(a) existe, on dit que la fonction f est dérivable au point a.•Attention il existe des fonctions qui ne sont pas dérivable en certains nombres de leur ensemble de
définition.C'est le cas de la fonction racine carrée : x
√x qui n'est pas dérivable en 0 : 2/4 on a : f(0+h)-f(0) h =.............................................................................................. Application 2 : Déterminer un nombre dérivé à la calculatriceSoit f :
x→2x x2+1. Déterminer f'(2) à l'aide de la calculatriceSolution :
TI : math puis nbredérivéCasio : Option puis Calc puis d/dx4. Tangente à la courbe :
Sur la figure ci-contre on a tracé trois tangentes à une courbe. Initialement pour caractériser la tangente en un point à une courbe, on l'appelait " touchante » pour bien préciser qu'en ce point la droite touchait la courbe mais ne la coupait pas.Propriété / Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a appartenant à I. f'(a) est le nombre dérivé de f en a. A est le point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative Cf .La tangente à la courbe
Cf au point A est :
● la droite passant par A ● qui a pour coefficient directeur le nombre dérivée f'(a). ● qui a pour équation réduite : y = f '(a) (x - a) + f (a).preuve : ...........................................................................................................................
Remarque : Lorsque
f'(a)=0 on dit que Cf admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.3 / 4
Application 3 : Déterminer algébriquement l'équation d'une tangente :Soit f la fonction définie sur ℝ par f : x x² - 3x - 1 et Cf sa courbe représentative dans un repère.
Démontrer que f est dérivable en a = -1 puis donner une équation de la tangente à la courbe Cf au point
d'abscisse -1. Vérifier les résultats à la calculatrice. Application 4 : Lire graphiquement un nombre dérivé :Soit f une fonction définie sur [-6;8] dont la courbe représentative est donnée ci-dessous :