Chapitre I : Géométrie et trigonométrie - univ-angersfr[PDF] farid gabteni biographie
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La mesure du cercle et la diagonale d'un carré : Exposé de cinq minutes :
La mesure du cercle a été de tout temps diiÌifiÌicile ; elle a même donné lieu à une expression courante :
" c'est la quadrature du cercle ! » pour désigner une tache pariticulièrement ardue, voire impossible.
Qu'entend-on par la ?
Pour Euclide (-320 ; -260), résoudre un problème de quadrature c'est réaliser, à la règle et au
compas, un carré égal [en aire] à une ifigure donnée.On sait depuis les travaux de Wantzel (1814 ; 1848), publiés en 1837, que cettte construcition est
impossible pour le cercle. Toutefois, on doit à Archimède (-287 ; -212) deux résultats importants sur
le cercle :Proposiition 1 : Tout cercle est égal à un triangle rectangle, dont un côté de l'angle droit est la
circonférence du cercle et l'autre côté est le rayon.Proposiition 2 : La circonférence d'un cercle est égale à trois fois le diamètre du cercle, plus une
grandeur, qui est moindre que le sepitième du diamètre et qui est supérieure à dix fois les soixante et
onzième de ce diamètre.La première est souvent ignorée ; elle est pourtant essenitielle car elle montre que la proporition
entre la circonférence et le diamètre est la même qu'entre la surface du disque et celle du carré
construit le rayon du cercle1.Au Ve siècle av. JC. les pythagoriciens pensaient que " dans le monde tout est nombres ». Or, avec le
théorème de Pythagore (-569 ; -475) il est évident que le carré construit sur la diagonale d'un carré
est le double du carré iniitial. Ce résultat montre que la raitionalité de la proporition entre la diagonale
d'un carré et son côté est à rejeter, contredisant déifiniitivement la croyance des pythagoriciens.
En langage moderne, ceci se traduit par √2 n'est pas un nombre raitionnel, comme d'ailleurs le nombreπ qui correspond à la constante du cercle. La grande diffférence entre les deux est que, pour
la diagonale du carré la preuve est connue depuis l'anitiquité, tandis qu'il faudra atttendre les travaux
de Lambert (1728 ; 1777) publiés en 1767 pour avoir la preuve que π est irraitionnel. Exposé des dix minutes suivantes avec possibilité d'écrire au tableau :Si on note r le rayon du cercle,
d son diamètre, C la circonférence du cercle et D le disque2, K le carré de côté r, les proposiitions 1 et 2 se traduisent par les formules3 : D K =C detC=3d+Gavec1071d 7d En langage moderne on écrit :
1 Sans ce résultat on aurait deux constantes diffférentes :
π pour la proporition en la circonférence et le diamètre et par exemple σ pour celle entre le disque et le carré. 2 D et K sont considérées comme des grandeurs, mais peuvent aussi, pour nous, désigner des aires, ce qui
permet d'écrire des rapports. 3 Il faudrait noter D
:K :: C:d cettte égalité de proporition entre grandeurs, mais je crains que ce soit mal vu par le jury. π=D
K=C det3+10 71<π<3+1
7On retrouve ainsi l'approximaition de π par la fracition 22
7 ou par celle moins connue
223
71.
En perfecitionnant la méthode d'Archimède, Ludolh Cuelen (1540 ; 1610) parviendra à obtenir 35
décimales de π en prenant un très grand nombre de côtés pour le polygone régulier inscrit dans le
cercle (96 pour Archimède ; 2 42pour Ludolh Cuelen).
Le nombre
π est irraitionnel, comme √2. Mais il y a une grande diffférence entre ces deux nombres. Il est très facile de montrer que
√2 est irraitionnel et il est facile aussi d'obtenir des approximaitions de ce nombre. On peut prévoir ici de faire la démonstraition de l'irraitionalité de √2 par " le pair et l'impair » On peut citer la tablettte YBC 7289 de l'époque paléo-babylonienne (~ - 1800) sur laquelle on trouve
une constante desitinée au calcul de la diagonale d'un carré, dont la valeur en écriture sexagésimale
est : 1.24.51.10 et qui donne : 1 +24
60+51
602+10
603 comme approximaition de √2 .
On peut simuler la démarche qu'auraient pu faire les scribes babyloniens : recherche d'un nombre, en écriture sexagésimale, dont le carré soit proche de 2. Il est évident que ce nombre est entre 1 et 2.
On essaye :
1.301.151.231.251.24...
dont les carrés sont4 : 2.151.33.451.54.49 2.0.25 1.57.36
On reitient 1.24, dont le carré en inférieur à 2 et on poursuit avec 1.24.30 ... 4 Calculs efffectués avec mesocalc
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3
En langage moderne on écrit :
1 Sans ce résultat on aurait deux constantes diffférentes :
π pour la proporition en la circonférence et le diamètre et par exemple σ pour celle entre le disque et le carré. 2D et K sont considérées comme des grandeurs, mais peuvent aussi, pour nous, désigner des aires, ce qui
permet d'écrire des rapports.3 Il faudrait noter D
:K :: C:d cettte égalité de proporition entre grandeurs, mais je crains que ce soit mal vu par le jury.π=D
K=C det3+1071<π<3+1
7On retrouve ainsi l'approximaition de π par la fracition 22
7 ou par celle moins connue
22371.
En perfecitionnant la méthode d'Archimède, Ludolh Cuelen (1540 ; 1610) parviendra à obtenir 35
décimales de π en prenant un très grand nombre de côtés pour le polygone régulier inscrit dans le
cercle (96 pour Archimède ; 242pour Ludolh Cuelen).
Le nombre
π est irraitionnel, comme √2. Mais il y a une grande diffférence entre ces deux nombres.Il est très facile de montrer que
√2 est irraitionnel et il est facile aussi d'obtenir des approximaitions de ce nombre. On peut prévoir ici de faire la démonstraition de l'irraitionalité de √2 par " le pair et l'impair »On peut citer la tablettte YBC 7289 de l'époque paléo-babylonienne (~ - 1800) sur laquelle on trouve
une constante desitinée au calcul de la diagonale d'un carré, dont la valeur en écriture sexagésimale
est : 1.24.51.10 et qui donne : 1 +2460+51
602+10
603 comme approximaition de √2 .
On peut simuler la démarche qu'auraient pu faire les scribes babyloniens : recherche d'un nombre,en écriture sexagésimale, dont le carré soit proche de 2. Il est évident que ce nombre est entre 1 et 2.