[PDF] trouver le centre d'un cercle passant par 3 points
[PDF] calculer les coordonnées d'un point sur un cercle
[PDF] comment déterminer le centre d'un cercle
[PDF] déterminer le rayon d'un cercle
[PDF] cercle passant par trois points donnés
[PDF] determiner le centre et le rayon d'un cercle
[PDF] cercle passant par 3 points d'un triangle
[PDF] equation cercle passant par 2 points
[PDF] calculer le rayon d'un cercle inscrit dans un tria
[PDF] triangle inscrit dans un rectangle
[PDF] reduction volume pyramide
[PDF] coefficient d'agrandissement volume
[PDF] calcul du périmètre de la terre par eratosthène
[PDF] calculer le perimetre de la terre
[PDF] schéma fonctionnement d'un agrosystème
Chapitre 1
La droite et le cercle
1.1 Introduction
Dans ce chapitre on
´etudie la droite et le cercle. On combinera des m´ethodes g ´eom´etriques avec des m´ethodes de g´eom´etrie analytique. Dans beaucoup de situations naturelles, la droite ou le cercle apparaissent r
´eguli`erement comme lieu g´eom´etrique.
D ´EFINITION1L"ensemble des points du plan ayant une propri´et´e donn´ee est appel´e lieu g ´eom´etriquedes points ayant cette propri´et´e. Dans tout ce chapitre on note parjABjla longueur du segment d"extr´emit´es AetB.
1.2 La droite
Equations param´etriques d"une droiteLa droite passant parA= (x0;y0), de vecteur directeurv= (v1;v2)est l"ensemble des pointsP(t) = (x(t);y(t))de la formeP(t) = (x0;y0) +tv,t2R, c"est-`a-dire l"ensemble des pointsP(t) = (x(t);y(t))de la forme x(t) =x0+tv1; y(t) =y0+tv2:(1.1) L" ´equation (1.1) est appel´ee´equation param´etriquede la droite. Pour passer`a l" ´equation r´eguli`ere il faut´eliminertentre les deux´equations. Multiplions par v
2la premi`ere´equation et parv1la deuxi`eme, et soustrayons les. On obtient
v
2x(t) -v1y(t) =v2x0-v1y0:
que l"on peut encore
´ecrire
v
2(x-x0) -v1(y-y0) =0:
1
2CHAPITRE 1. LA DROITE ET LE CERCLE
PROPOSITION1´Etant donn´e une droite(D)d"´equationax+by+c=0, la droite ()perpendiculaire `a(D)passant par le pointP= (x0;y0)a pour ´equation bx-ay+ (ay0-bx0) =0: La distance du point `a la droite est donn´ee par j ax0+by0+cjpa 2+b2: PREUVELe vecteurv= (a;b)est perpendiculaire`a la droite(D). La droite() est donc la droite passant parPde vecteur directeurv. x(t) =x0+at; y(t) =y0+bt:
Pour passer
`a l"´equation r´eguli`ere il faut´eliminertentre les deux´equations. Multiplions parbla premi`ere´equation et parala deuxi`eme, et additionnons les. On obtient bx(t) -ay(t) =bx0-ay0: La distance deP`a(D)est la longueur du segmentPQ, o`uQest la projection dePsur(D).Qest donc le point d"intersection de(D)et(). CherchonsQ. Il est solution des
´equations
ax+by+c=0; bx-ay+ (ay0-bx0) =0: On peut par exemple utiliser la formule de Cramer pour la solution, ce qui donne x= -c b bx
0-ay0-a
a b b-a ; y= a-c b bx 0-ay0 a b b-a ou encore,
Q= (x1;y1) =
-ac-b(bx0-ay0)a
2+b2;-a(bx0-ay0) +bca
2+b2
On doit calculerjPQj. Pour cela, remarquons que
x
1-x0= -a(ax0+by0+c)a
2+b2; y
1-y0= -b(ax0+by0+c)a
2+b2:
Alors,
(x1-x0)2+ (y1-y0)2=(a2+b2)(ax0+by0+c)2(a2+b2)2=(ax0+by0+c)2a 2+b2:
1.3. LE CERCLE3FIGURE1.1 - La normale`a un cercle passe par le centre du cercle.
1.3 Le cercle
D ´EFINITION2Le cercle de centreOet de rayonRest le lieu g´eom´etrique des points `a distanceRdeO. TH´EOR`EME1´Etant donn´e un pointO= (a;b), l"´equation du cercle de centreOet de rayonRest (x-a)2+ (y-b)2=R2: PREUVESoitP= (x;y)un point du plan. Le vecteurOPa pour coordonn´ees (x-a;y-b). Sa longueurjOPjest´egale`ajOPj=p(x-a)2+ (y-b)2. Alors, jOPj=Rsi et seulement sijOPj2=R2, c"est-`a-dire(x-a)2+ (y-b)2=R2: TH´EOR`EME2Une droite tangente en un pointP`a un cercle de centreOest perpen- diculaire au rayonOP. PREUVEPour faire la preuve, il nous faut une d´efinition de la tangente. Regar- dons la figure 1.1. Une tangente `a un cercle est la position limite d"une s´ecante au cercle en deux pointsAetBlorsque les points sont confondus. Comme jOAj=jOBj, le triangleOABest isoc`ele. On en conclut que[OAB=[OBA. Comme [OAB+=et[OBA+=, on conclut que=.`A la limite, lorsqueAetBsont confondus, on aura les deux conditions
On conclut qu"
`a la limite,==2 PROPOSITION2´Etant donn´e un cercle de rayonRet un angle au centre dont la mesure en radians est ´egale `a, la longueur de l"arc de cercle sous-tendu par cet angle est ´egal `aR.
4CHAPITRE 1. LA DROITE ET LE CERCLEO
A
BP(a) Le centre du cercle est
`a l"int
´erieur du triangleAPB.
O A
BP(b) Le centre du cercle est
`a l"ext
´erieur du triangleAPB.
FIGURE1.2 - Un angle inscrit est´egal`a la moiti´e de l"angle au centre associ´e. PREUVEOn fait simplement une r`egle de trois : la longueur du cercle est2R pour un angle au centre de2en radians. Pour un angle au centre de, on obtient donc2R2 =R.
1.4 Quelques lieux g´eom´etriques
TH´EOR`EME3L"ensemble des points du plan `a ´egale distance de deux pointsAetB est lam´ediatricedu segmentAB. Celle-ci est d´efinie comme la droite perpendiculaire au segmentABet passant par son milieu. TH´EOR`EME4L"ensemble des points du plan `a ´egale distance de deux demi-droites (D1)et(D2)issues d"un mˆeme pointPest labissectricede l"angle form´e par ces deux demi-droites.
1.5 Arc capable
La question qui nous int
´eresse est la suivante : siAetBsont deux points donn ´es distincts du plan, quel est le lieu g´eom´etrique des pointsPdu plan tel que l"angle orient ´e\APBa une valeur donn´ee? On va montrer que ce lieu g ´eom´etrique est un arc de cercle, appel´earc capable. Pour cela il nous faut commencer par nous rappeler une propri
´et´e des angles inscrits dans un cercle.
TH´EOR`EME5Dans un cercle de centreO, un angle inscrit\APBest ´egal `a la moiti´e de l"angle au centre associ´e\AOB(voir figure 1.2). Dans le cas particulier o`uABest un diam`etre du cercle, alors l"angle\APBest un angle droit.
1.5. ARC CAPABLE5O
A BPFIGURE1.3 - L"arc capable de l"angle orient´e, dont la mesure est celle de \APB. PREUVEOn ajOAj=jOBj=jOPj=R, o`uRest le rayon du cercle. Donc les trianglesOAPetOPBsont isoc`eles. On en tire\OPA=\OAPet\OPB= \OBP. Alors, comme la somme des angles dans un triangle vaut, \POA=-2\APO; \POB=-2\BPO:(1.2)
Aussi\AOB=2-\POA-\POB.
En remplac¸ant (1.2), on obtient
\AOB=2- (-2\APO) - (-2\BPO) =2(\APO+\POB) =2\APB: TH´EOR`EME6Le lieu g´eom´etrique des pointsPdu plan tel que l"angle orient´e\APB a une valeur donn´eeest un arc de cercle d"extr´emit´esAetB. Le centre du cercle,O, est sur la m´ediatrice deAB. Les tangentes au cercle enAetBfont un angleavec la droiteAB. Le centreOest aussi sur la perpendiculaire `a ces tangentes passant parA etB(voir figure 1.3). 2 -. Donc,\AOB=-2(2 -) =2. Par le th´eor`eme 5, on a donc que sur l"arc, alors\APB=. Il faut aussi voir que siPest ailleurs que sur cet arc,\APB6=. Remar- quons que siPest de l"autre cˆot´e de la droiteAB, alors l"angle orient´e\APB change de signe. Donc,Pn"est pas admissible. On peut montrer que siPest`a l"ext ´erieur du cercle, alors\APB < , et siPest`a l"int´erieur du cercle, alors \APB > (voir figure 1.4).
6CHAPITRE 1. LA DROITE ET LE CERCLEO
A BP
Q(a)Pest`a l"ext´erieur du cercle.
O A BP
Q(b)Pest`a l"ext´erieur du cercle.
FIGURE1.4 - SiPn"est pas sur l"arc capable, alors\APB6=. Prenons le premier cas, quandPest`a l"ext´erieur du cercle, et soitQle point d"intersection de la droitePOavec le cercle. On sait que\AQB=. Il faut donc montrer que\APB <\AQB. Or \AQO=-\AQP=- (-\QAP-\APQ) =\QAP+\APQ <\APQ=\APO: De m
ˆeme\BQO <\BP0. Donc,
\APB=\AP0+\BPO <\AQ0+\BQO=\AQB=:
Le cas o
`uPest`a l"int´erieur du cercle se fait de la mˆeme mani`ere et nous le laissons comme exercice.
1.6 Exercices
et(x2;y2)est donn´ee pary-y1=y2-y1x
2-x1(x-x1), six16=x2. Donner son
equation param´etrique.
2.On consid`ere la droite d"´equationy=mx+b. Donner une´equation pa-
ram
´etrique de cette droite.
3.Quels sont le centre et le rayon des cercles suivants :
a)x2+2x+y2-6y+9=0;
1.6. EXERCICES7
b)x2+y2+4x+5y+8=0; c)2x2+x+2y2-18 =0; d)x2+y2-x=0?
4.Quelle est l"´equation du cercle centr´e en(2;3)et tangent`a la droite2x+y-
5=0?
5.Les grecs anciens se servaient des´eclipses pour´evaluer des rapports de
distance d"objets c ´elestes. En prenant l"origine des coordonn´ees au centre de la Terre, on peut supposer que le soleil et la lune d
´ecrivent des orbites circulaires
centr ´ees`a l"origine et situ´ees dans un mˆeme plan. SoitRL, le rayon de la lune, R T, celui de la Terre etRS, celui du soleil. Soitd1, la distance Terre-lune, etd2, la distance Terre-soleil. (a) Une ´eclipse de soleil est caus´ee par le passage de la lune devant le soleil.
Lors de ce passage, la lune a l"air d"avoir le m
ˆeme rayon que le soleil, et donc,
de le cacher exactement. Faire un dessin de la position des trois objets c
´elestes.
En tirer une relation unissantRL,RS,d1etd2.
(b) Lors d"une ´eclipse de lune, c"est la Terre qui projette son ombre sur la lune : elle se trouve entre le soleil et la lune. Encore une fois, l"ombre projet
´ee de la
Terre a environ la taille de la lune. Faire un dessin de la position des trois objets c ´elestes. En tirer une relation unissantRL,RT,RS,d1etd2:
6.Les grecs anciens savaient que la Terre´etait une sph`ere. Le Grec´Eratosth`ene
a utilis ´e le stratag`eme suivant pour calculer la circonf´erence de la Terre. Il avait remarqu ´e qu"au solstice d"´et´e`a midi, le soleil se refl´etait au fond d"un puits situ ´e`a Sy`ene, dans le Sud de l"Egypte. Ceci signifiait que le soleil´etait exac- tement `a la verticale dans cette ville. Il savait qu"Alexandrie´etait situ´ee di- rectement au nord de Sy `ene. Au solstice d"´et´e,`a midi, il a mesur´e l"angle du soleil avec la verticale `a Alexandrie : pour cela, il a mesur´e la taille de l"ombre d"un ob ´elisque dont il connaissait la hauteur. Cet angle´etait de7;2. Il a me- sur ´e que la distance entre Sy`ene et Alexandrie´etait de 5000 stades. Faire un dessin. Sachant que la longueur d"un stade
´etait de 157,5 m, refaire les calculs
d"´Erathosth`ene pour trouver la valeur approximative de la circonf´erence ter- restre qu"il avait calcul
´ee.
7.Si on prend comme valeur du rayon de la TerreR=6368km,`a quelle
distance sur un m
´eridien correspond un degr´e de latitude?
8.Voici un moyen de mesurer (tr`es approximativement) le rayonRde la Terre.
Vous montez sur une montagne de hauteurhet vous mesurez l"angled"une longue vue avec la verticale lorsque vous observez l"horizon (pour cela on sup- pose que le ciel est tr `es clair et que vous pouvez voir aussi loin que possible). Faire un dessin. CalculerRen fonction dehet. Calculer la valeur approch´ee deRsi la montagne est l"Everest, donch=8800m, et si=86;99o.
8CHAPITRE 1. LA DROITE ET LE CERCLEOA
B C DP 10 20
40FIGURE1.5 - Les deux poulies de l"exercice 1.6
9.Sachant que Montr´eal est situ´ee`a45;5de latitude Nord et73;6de
longitude Ouest et Vancouver `a49;2de latitude Nord et123;1de longi- tude Ouest, quelle est la distance minimale `a parcourir sur la Terre pour al- ler de Montr ´eal`a Vancouver, si on prend comme valeur du rayon de la Terre
R=6368km?
Suggestion : calculer l"angle entre le vecteur joignant le centre de la Terre `a Montr ´eal et le vecteur joignant le centre de la Terre`a Vancouver.
10.Sachant que Montr´eal est situ´ee`a45;5de latitude Nord et73;6de
longitude Ouest et Canberra (Australie) `a35;3de latitude Sud et149;1de longitude Est, quelle est la distance minimale `a parcourir sur la Terre pour aller de Montr ´eal`a Canberra, si on prend comme valeur du rayon de la Terre
R=6368km?
11.Une bicyclette a des roues de700mm de diam`etre. Si le plateau avant a52
dents et le plateau arri `ere a14dents, c"est-`a-dire que la roue fait5214 tours pour chaque tour de p ´edale, combien de coups de p´edales sont n´ecessaires pour parcourir100km?
12.Les centres de deux poulies sont´eloign´es de40cm. Le rayon de la petite
poulie est de10cm, et celui de la grande de20cm (voir figure 1.5). Quelle est la longueur de la courroie qui les entoure?
Suggestion :MenerOPparall`ele`aAB.
13.On se donne trois poulies de rayon10cm, dont les centres sont au sommet
d"un triangle isoc `ele, dont le petit cˆot´e a longueur60cm et la hauteur a lon- gueur70cm (figure 1.6). Calculer la longueur de la courroie qui les entoure.
14.Uneˆıle rocheuse est bord´ee de falaises verticales de1000m de hauteur.
Vous ˆetes`a bord d"une embarcation. Quelle distance minimale devez-vous par-
1.6. EXERCICES96010
70FIGURE1.6 - Les trois poulies (exercice 1.6)
Quai Phare
Épave
1 km Île aux OiseauxFIGURE1.7 - La carte de l"ˆIle aux Oiseaux (exercice 1.6) courir pour que l" ˆıle disparaisse de votre champ de vision`a cause de la roton- dit ´e de la Terre, en supposant que le rayon de la Terre est de6368km?
15.Vous avez trouv´e dans une bouteille`a la mer une carte de l"ˆIle aux Oiseaux
(voir figure 1.7) et les indications suivantes : le tr
´esor est cach´e`a´egale distance
du quai et de l" ´epave et`a4km du phare. Expliquez comment vous le trouvez.
16.Un tr´esor est cach´e`a´egale distance du Fort et du Phare (voir Figure 1.8). Il
est `a la mˆeme latitude que le Phare. Localiser ce point. On approxime la sph`ere terrestre par un plan comme sur la carte. Donner la longitude et la latitude du tr
´esor.
17.Un tr´esor est cach´e sur l"ˆıle,`a la longitude65oO (voir Figure 1.8). De plus,
il est situ ´e sur le cercle passant par les trois points donn´es par le Fort, la Butte et le Phare. On approxime la sph `ere terrestre par un plan comme sur la carte.
Expliquer comment localiser g
´eom´etriquement ce point. Donner sa longitude et sa latitude.
10CHAPITRE 1. LA DROITE ET LE CERCLE68oO 67oO66oO65oO 64oO45
oN46 oN47 oN FortF PhareFIGURE1.8 - La figure des exercices 1.6 et 1.6
18.Un tr´esor est cach´e sur l"ˆıle,`a´egale distance du Fort, du Phare et du Camp
quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18
Équation d’un cercle - CRIFPE