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Cours Terminale STI @ E. Poulin Page 1
1.1. Un peu d"histoire !
(lecture p 11) Son utilisation provient des équations du 3 et 4 ème degré pour permettre leur résolution. Au XVI ème siècle, Bombelli les appelle impossible. En 1637, Descartes les appelle imaginaire. C"est avec Euler , en1777, que pour la première fois, les imaginaires restent dans le calcul.1.2. L"ensemble des nombres complexes
Nous admettons ici l"existence d"un nouvel ensemble noté C, de nombres appelés nombres complexes. Définition : Les nombres complexes sont de la forme abi+ où a et b sont des nombres réels quelconques et i un nombre nouveau tel que i21=-Egalité :
abiabi+=¢+¢ ssi aa=¢ et bb=¢1.3. Opérations sur les nombres complexes
Théorème : (admis)
On peut définir dans
CCCC une addition et une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont les mêmes que dans RRRR, avec i21=-Addition :
Multiplication :
z = a + ib et z = a"+ib" z = a + ib et z = a"+ib" z+z" = (a + a") + i(b+b") zz" = (aa" - bb") + i(ab"+a"b)L"ensemble
R des nombres réels est un sous-ensemble de l"ensemble C des nombres complexes.Définitions
Soit z = a + bi un nombre complexe.
a est la partie réelle de z. Notation: a = Re(z). b est la partie imaginaire de z. Notation: b = lm(z). a·+ bi est la forme algébrique du nombre complexe z. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle s"écrit z = bi; il est dit imaginaire pur.Les identités remarquables suivantes restent vraies dans le cas où A et B sont des nombres complexes:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = (A + B)(A - B).
Notons ce nouveau résultat dans C : A2 + B2 = (A + i B)(A - i B).11.. NNoommbbrreess ccoommpplleexxeess
iz32+= iz3= 4=z sont des complexesCours Terminale STI @ E. Poulin Page 2
1.4. Conjugué d"un nombre complexe
Définition
Le nombre complexe conjugué de z = a+ bi est le nombre complexe noté a- bi noté z.Exemple
Le conjugué de z = 3 + 2i est
z= 3 - 2iRemarque
Soit z = a + bi. En utilisant les règles de calcul dans C, on obtient : zza+=2 et zzab=+2 2 La somme et le produit d"un nombre complexe et de son conjugué sont des nombres réels. L"inverse d"un nombre complexe z non nul noté 1z peut être mis sous la forme bia+ en utilisant le conjugué z de z. Exercice : Mettre sous la forme le nombre complexe iz32 11+=, puis i
iz 3241
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Pour tous nombres complexes z, z", on a :
zzzz+¢=+¢ zzzz¢=×¢ 1 1 z z( z zz z1.5. Représentation géométrique d"un nombre complexe
1. Image et affixe
On considère le plan P muni du repère orthonormal ()O u v, ,rrDéfinitions
L"image d"un nombre complexe z = a + bi est le point M de coordonnées (a, b). L"affixe du point M de coordonnées (a, b) est le nombre complexe z = a + bi. On peut aussi représenter géométriquement un nombre complexe par un vecteur.Définitions
Le vecteur image du nombre complexe z = a + bi est le vecteur OMaubv®=+r r L"affixe du vecteur OMaubv®=+r r est le nombre complexe z = a + bi. z zCours Terminale STI @ E. Poulin Page 3
2. Opérations
Addition
Si z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i sont les affixes respectives de M1 et de M2 donc deOM V®=®
11 et de OM V®=®
22, alors z1 + z2 est l"affixe de V V1 2
Exemple
La somme de z
1 = 3 + 2i et z2 = -1 - 4i est z1 + z2 = 2 - 2i.
Multiplication par un nombre réel
Si z1 = a1 + b1i est l"affixe de M1 donc de OM V®=®11, et si a est un nombre réel,
alors az1 est l"affixe de aV1Exemple
Pour z = 3 + 2i et a=2 on a az = 6 + 4i
Si z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i sont les affixes respectives de M1 et de M2 donc deOM V®=®
11 et de OM V®=®
22, et a et b deux réels, alors 21zzba+ est l"affixe de
21VVba
Conséquence: ( 1-=a ;1=b)
z2-z1 est l"affixe de V V M M2 1 1 23. Interprétation géométrique de 0zzz+a
Exemple :
Soit une application de C dans C définie par : ()izzfzf++=2:aCalculons
()0f ; ()if2 ; ()if-1.Nombre complexe 0
()0f 2i ()if2 1-i ()if-1 image O O" A A" B B"On remarque que :
"""BBAAOO==. Dans le cas général, Si M" d"affixe z"est l"image de M d"affixe z par l"application f, on a : izz++=2" donc izz+=-2" et zz-" est l"affixe de "MM Donc vuMMrr+=2" qui est un vecteur indépendant de M et de M" M" est donc la transformée du point M par la translation de vecteur vurr+2Cas général :
Soit f l"application ()0zzzfz+=a où 0z est un nombre complexe fixé. Soit M l"image de z et m" l"image de ()zf dans le plan complexe. L"application "MMa ainsi définie est la translation de vecteur wr où wr est l"image de 0z.Cours Terminale STI @ E. Poulin Page 4
1.6. Forme trigonométrique. Représentation géométrique
1. Module d"un nombre complexe
1.1. Définition. Interprétation géométrique
Dans le plan complexe, soit M l"image de z
= a + bi.En utilisant te théorème de Pythagore dans un des deux triangles rectangles dessinés, on obtient:
OM2 = a2 + b2, donc OM a b= +2 2.
Définition
Le module d"un nombre complexe z = a + bi est le nombre réel a b2 2+Notations
Le module d"un nombre complexe z est noté
z ; pour alléger les écritures on utilise aussi les lettres r et r r est la lettre grecque rhô).Remarques
· Pour tout nombre complexe z, on a
z³0. · O est le seul nombre complexe dont le module est 0.· Pour tout nombre complexe z, on a
zzab=+2 2.Donc pour tout nombre complexe z,
z zz=· Pour tout nombre complexe z, on a
z z=.Interprétation géométrique
Le module de z est la distance de O à M ;c"est aussi la norme du vecteur OM® : z OM OM= =®1.2. Module d"une différence, distance de deux points
Propriété :
Soit z1 et z2 des nombres complexes d"images respectives M1 et M2. Alors z z M M2 1 1 2- =1.3. Module d"une somme: inégalité triangulaire
Propriété :
Pour tout nombre complexe z1 et z2 , z z z z1 2 1 2+ £ +2. Argument d"un nombre complexe non nul
2.1. Définition. Interprétation graphique
Dans le plan complexe, soit M l"image d"un nombre complexe non nul z = a + bi, le repère ()O u v, ,rr étant orienté
dans le sens direct. a bCours Terminale STI @ E. Poulin Page 5
Nous savons que M est caractérisé par la distance OM z=et une mesure q de l"angle orienté ru OM,®(
ou de l"angle orienté ru ON,®( , N étant le point commun à la demi-droite [OM) et au cercle trigonométrique.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3