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1.1. Un peu d"histoire !

(lecture p 11) Son utilisation provient des équations du 3 et 4 ème degré pour permettre leur résolution. Au XVI ème siècle, Bombelli les appelle impossible. En 1637, Descartes les appelle imaginaire. C"est avec Euler , en1777, que pour la première fois, les imaginaires restent dans le calcul.

1.2. L"ensemble des nombres complexes

Nous admettons ici l"existence d"un nouvel ensemble noté C, de nombres appelés nombres complexes. Définition : Les nombres complexes sont de la forme abi+ où a et b sont des nombres réels quelconques et i un nombre nouveau tel que i21=-

Egalité :

abiabi+=¢+¢ ssi aa=¢ et bb=¢

1.3. Opérations sur les nombres complexes

Théorème : (admis)

On peut définir dans

CCCC une addition et une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont les mêmes que dans RRRR, avec i21=-

Addition :

Multiplication :

z = a + ib et z = a"+ib" z = a + ib et z = a"+ib" z+z" = (a + a") + i(b+b") zz" = (aa" - bb") + i(ab"+a"b)

L"ensemble

R des nombres réels est un sous-ensemble de l"ensemble C des nombres complexes.

Définitions

Soit z = a + bi un nombre complexe.

a est la partie réelle de z. Notation: a = Re(z). b est la partie imaginaire de z. Notation: b = lm(z). a·+ bi est la forme algébrique du nombre complexe z. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle s"écrit z = bi; il est dit imaginaire pur.

Les identités remarquables suivantes restent vraies dans le cas où A et B sont des nombres complexes:

(A + B)

2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2

A

2 - B2 = (A + B)(A - B).

Notons ce nouveau résultat dans C : A2 + B2 = (A + i B)(A - i B).

11.. NNoommbbrreess ccoommpplleexxeess

iz32+= iz3= 4=z sont des complexes

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1.4. Conjugué d"un nombre complexe

Définition

Le nombre complexe conjugué de z = a+ bi est le nombre complexe noté a- bi noté z.

Exemple

Le conjugué de z = 3 + 2i est

z= 3 - 2i

Remarque

Soit z = a + bi. En utilisant les règles de calcul dans C, on obtient : zza+=2 et zzab=+2 2 La somme et le produit d"un nombre complexe et de son conjugué sont des nombres réels. L"inverse d"un nombre complexe z non nul noté 1z peut être mis sous la forme bia+ en utilisant le conjugué z de z. Exercice : Mettre sous la forme le nombre complexe iz32 1

1+=, puis i

iz 32
41
2+

Pour tous nombres complexes z, z", on a :

zzzz+¢=+¢ zzzz¢=×¢ 1 1 z z( z zz z

1.5. Représentation géométrique d"un nombre complexe

1. Image et affixe

On considère le plan P muni du repère orthonormal ()O u v, ,rr

Définitions

L"image d"un nombre complexe z = a + bi est le point M de coordonnées (a, b). L"affixe du point M de coordonnées (a, b) est le nombre complexe z = a + bi. On peut aussi représenter géométriquement un nombre complexe par un vecteur.

Définitions

Le vecteur image du nombre complexe z = a + bi est le vecteur OMaubv®=+r r L"affixe du vecteur OMaubv®=+r r est le nombre complexe z = a + bi. z z

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2. Opérations

Addition

Si z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i sont les affixes respectives de M1 et de M2 donc de

OM V®=®

11 et de OM V®=®

22, alors z1 + z2 est l"affixe de V V1 2

Exemple

La somme de z

1 = 3 + 2i et z2 = -1 - 4i est z1 + z2 = 2 - 2i.

Multiplication par un nombre réel

Si z1 = a1 + b1i est l"affixe de M1 donc de OM V®=®

11, et si a est un nombre réel,

alors az1 est l"affixe de aV1

Exemple

Pour z = 3 + 2i et a=2 on a az = 6 + 4i

Si z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i sont les affixes respectives de M1 et de M2 donc de

OM V®=®

11 et de OM V®=®

22, et a et b deux réels, alors 21zzba+ est l"affixe de

21VVba

Conséquence: ( 1-=a ;1=b)

z2-z1 est l"affixe de V V M M2 1 1 2

3. Interprétation géométrique de 0zzz+a

Exemple :

Soit une application de C dans C définie par : ()izzfzf++=2:a

Calculons

()0f ; ()if2 ; ()if-1.

Nombre complexe 0

()0f 2i ()if2 1-i ()if-1 image O O" A A" B B"

On remarque que :

"""BBAAOO==. Dans le cas général, Si M" d"affixe z"est l"image de M d"affixe z par l"application f, on a : izz++=2" donc izz+=-2" et zz-" est l"affixe de "MM Donc vuMMrr+=2" qui est un vecteur indépendant de M et de M" M" est donc la transformée du point M par la translation de vecteur vurr+2

Cas général :

Soit f l"application ()0zzzfz+=a où 0z est un nombre complexe fixé. Soit M l"image de z et m" l"image de ()zf dans le plan complexe. L"application "MMa ainsi définie est la translation de vecteur wr où wr est l"image de 0z.

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1.6. Forme trigonométrique. Représentation géométrique

1. Module d"un nombre complexe

1.1. Définition. Interprétation géométrique

Dans le plan complexe, soit M l"image de z

= a + bi.

En utilisant te théorème de Pythagore dans un des deux triangles rectangles dessinés, on obtient:

OM2 = a2 + b2, donc OM a b= +2 2.

Définition

Le module d"un nombre complexe z = a + bi est le nombre réel a b2 2+

Notations

Le module d"un nombre complexe z est noté

z ; pour alléger les écritures on utilise aussi les lettres r et r r est la lettre grecque rhô).

Remarques

· Pour tout nombre complexe z, on a

z³0. · O est le seul nombre complexe dont le module est 0.

· Pour tout nombre complexe z, on a

zzab=+2 2.

Donc pour tout nombre complexe z,

z zz=

· Pour tout nombre complexe z, on a

z z=.

Interprétation géométrique

Le module de z est la distance de O à M ;c"est aussi la norme du vecteur OM® : z OM OM= =®

1.2. Module d"une différence, distance de deux points

Propriété :

Soit z1 et z2 des nombres complexes d"images respectives M1 et M2. Alors z z M M2 1 1 2- =

1.3. Module d"une somme: inégalité triangulaire

Propriété :

Pour tout nombre complexe z1 et z2 , z z z z1 2 1 2+ £ +

2. Argument d"un nombre complexe non nul

2.1. Définition. Interprétation graphique

Dans le plan complexe, soit M l"image d"un nombre complexe non nul z = a + bi, le repère ()O u v, ,rr étant orienté

dans le sens direct. a b

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Nous savons que M est caractérisé par la distance OM z=et une mesure q de l"angle orienté ru OM,®(

ou de l"angle orienté ru ON,®( , N étant le point commun à la demi-droite [OM) et au cercle trigonométrique.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3