[PDF] Vecteurs et forces - matheuxovh



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Vecteurs et forces - matheuxovh

Méca 1 - 1 -

Exercices de mécanique 1

Vecteurs et forces

Exercice 1

forces parallèles AB et AC. B PA

35°70°

Solution

B PA

35°70°

35°

110°

110°

70°

110°

D CE

Par simple construction géométrique, il est facile de déterminer les angles indiqués sur la figure.

Formule des sinus. On sait que dans tout triangle ABC, on a : sin sin sinA B C a b c

Appliquons cette formule au triangle ADC :

Méca 1 - 2 -

sin35 sin110 sin35 sin110 .100 163.83sin35DC AC AD AC N (0.1) Il est clair que le triangle AED est isocèle, donc AE = AD = 100 N

Méca 1 - 3 -

Exercice 2

00 kN. Quelles sont les intensités des forces F1, F2, F3

dont la résultante est F et parallèles respectivement aux axes Ox, Oy et Oz ?

A4 m6 m

3 m BF

Solution

Coordonnées des points A et B.

: 4, 0,3: 0, 6, 0A

B (0.2)

Ce qui permet de définir le vecteur

AB : 0 4,6 0,0 3 ( 4,6, 3)AB (0.3)

Et donc le module de

AB

2 2 24 6 3 7.81AB m

(0.4) Et dès lors les composantes, selon les trois axes sont :

4.500000 2560807.81

6.500000 3841107.81

3.500000 1920607.81x

y zFN FN FN (0.5)

Note :

On vérifie que

2 2 2256080 384110 192060 500FkN

(0.6)

Méca 1 - 4 -

Exercice 3

Déterminer Ax, Ay et Az ainsi que les angles entre A et les axes Ox, Oy et Oz. A

30°

12 m y xz

40°B

A

30°

12 m y xz

40°BO

Solution

On a :

cos 12cos 60 6OB OA AOB m (0.7)

Donc :

cos40 4.6 cos50 3.86 cos30 10.39x y zA OB mA OB mA OA m (0.8) Les angles demandés sont les angles directeurs du vecteur A :

2 2 2.1cos

4.6

0.3833 67.4612x

A

A A AA

x A x y z (0.9)

De même

3.86cos 0.3217 71.2412

10.39cos 0.8658 30 (12ce que l'on savait)

Note : on vérifie que

2 2 2

2 2 2cos cos cos 10.3833 0.3217 0.8658 1

(0.10)

Méca 1 - 5 -

Exercice 4

On donne les trois vecteurs :

81 41 21

21 61

31 21 41x y z

xz xyzA B C (0.11)

On demande :

1) .AB

2) La longueur de la projection de

B sur C 3) AB

4) Un vecteur qui est perpendiculaire à

A et à B 5) .A B C

Solution

1) : 8, 4, 2: 0, 2,6 . 8 0 4 2 2 6 4A B AB 2)

Première méthode

B et C 22
2

22: 0, 2,6 : 3, 2, 4

0 2 6 6.32

3 2 4 5.39

. 0 2 2 2 6 4 cos 0.58716.32 5.39 cos 6.32 0.5871 3.71B et C B C BC BC

Et donc la projection p est :

pB (0.12)

Deuxième méthode :

La projection p est simplement le produit scalaire dequotesdbs_dbs2.pdfusesText_3