[PDF] TP-COURS : Suites récurrentes linéaires d’ordre 2



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Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet TP-COURS : Suites récurrentes linéaires d"ordre 2

Définitions :

· On appelle suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constants les suites (U n) telles qu"il existe (a ; b)Î()

2*? tel que :

"n Î ? : Un+2 = a Un+1 + b Un avec U0, U1 réels donnés.

· On appelle équation caractéristique associée à la suite récurrente linéaire du second

ordre définie ci-dessus l"équation du second degré : x

2 = ax + b

Soit (Un) une suite récurrente linéaire du second ordre, telle que : "n Î ? : Un+2 = a Un+1 + b Un avec U0, U1 , a, b réels donnés. On note (E) : x² = ax + b son équation caractéristique.

1. On suppose que (E) a 2 solutions distinctes r

1 et r2 .

Montrer que :

()2; / n ,$ l m Î " Î? ? Un = l r1n + m r2n

2. On suppose que (E) a une unique solution r.

Montrer que :

()()2n n; / n , U n r$ l m Î " Î = l +m? ?.

3. On suppose que (E) a 2 solutions complexes conjuguées r = r e

iq et r.

Montrer que :

()2; / n ,$ l m Î " Î? ?Un = rn ( lcos n q + m sin n q ) .

Application :

Donner la forme explicite des suites (U

n) suivantes : a) 0 1 n 2 n 1 nU U 1U U U n ?= + ? ???? (Il s"agit de la suite de Fibonacci...) b) 0 1 n 2 n 1 nU 1; U 1 2U 2U 2U n c) 0 1 n 2 n n 1U 0; U 1

1U U U n4

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