[PDF] Produit scalaire - Mathovore



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Produit scalaire - Mathovore

232CHAPITRE22.PRODUITSCALAIRE

Chapitre22

Produitscalaire

22.1Denitionsetreglesdecalcul

D efinition22.1:produitscalaire :EE!R (x;y)7!(xjy) veriant: (x+y;z)=(x;z)+(y;z) (x;y+z)=(x;y)+(y;z)

2.estsymetrique:

8(x;y)2E2;(x;y)=(y;x)

3.estdenie:

8x2E;((x;x)=0)()(x=0)

4.estpositive:

8x2E;(x;x)0

ditqueEestunespaceeuclidien. kxk=p(xjx) (XjY)=x1y1+:::xnyn=nX i=1x iyi kXk=q x2 1++x2 n=v u u t nX i=1x 2 i (fjg)=Z b a f(t)g(t)dt kfk=s Zb a f2(t)dt

22.2.ORTHOGONALITE233

(fjg)=Z 2 0 f(t)g(t)dt kfk=s Z2 0 f2(t)dt Th eor eme22.1:Reglesdecalcul

Pourdeuxvecteurs(x;y)2E2,etunreel2R,

{k:xk=jjkxk; {kx+yk2=kxk2+2(xjy)+kyk2; {kxyk2=kxk22(xjy)+kyk2; {(xjy)=1

4kx+yk2kxyk2(identitedepolarisation).

0 @nX i=1 ixijnX j=1 jyj1 A=nX i=1n X j=1 ij(xijyj) nX i=1 ixi 2=nX i=1 2 ikxik2+2X 1iSoientx;ydeuxvecteurs, j(xjy)jkxkkyk Th eor eme22.3:InegalitedeMinkowski

Soientx;ydeuxvecteurs.

kxkkyk kx+ykkxk+kyk m^emedemi-droiteissuedel'origine:90tqy=x

22.2Orthogonalite

D efinition22.2:Vecteursorthogonaux Th eor eme22.4:IdentitedePythagore

SoientdeuxvecteursdeE.Alors

(xjy)=0()kx+yk2=kxk2+kyk2 Th eor

8(i;j)2[[1;n]]2;i6=j)(xijxj)=0

AlorslesystemeSestlibre.

D efinition22.3:Sous-espacesorthogonaux

8x2F;8y2G;(xjy)=0

234CHAPITRE22.PRODUITSCALAIRE

D efinition22.4:orthogonald'unepartie A ?=fx2Etq8a2A;(xja)=0g Th eor eme22.6:Proprietesdel'orthogonal

SoientA;BEdeuxpartiesdeE.

a)A?estunsevdeE. b)AB)B?A? c)A?=[Vect(A)]? d)A[A?]?

22.3Espaceseuclidiens

D efinition22.5:Espaceseuclidiens D Th eor eme22.7:Calculsdansunebon

Soite=(e1;:::;en)unebondeE.

x=nX i=1(xjei)ei

2.Six=x1e1++xnenety=y1e1++ynen,alors

(xjy)=nX i=1x iyi=x1y1++xnyn

3.Six=x1e1++xnen,

kxk2=nX i=1x 2 i=x2 1++x2 n Th eor eme22.8:TheoremedeSchmidta normale=(1;:::;n)deEveriant:

1.8i2[[1;n]],i2Vect(e1;:::;ei);

2.8i2[[1;n]],(eiji)>0.

Exercice22-1

Construireunebonapartirdee=(e1;e2;e3).

Exercice22-2

Soitl'espaceE=R1[X]muniduproduitscalaire

(PjQ)=Z 1 0

P(t)Q(t)dt

22.4.MATRICEDEPRODUITSCALAIRE235

!"1!"2 !e1!e2 !e3 !"1+!"2!f3 !"3 b)Trouverunebon"deE

Corollaire22.9:Existenced'unebon

ToutespaceeuclidienE6=f0Egpossedeunebon.

Th eorquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3