[PDF] calcul de pente exercices cm2
[PDF] formule de topographie
[PDF] exercice densité 6e
[PDF] distance point plan formule
[PDF] distance d'une droite ? un plan
[PDF] distance point plan demonstration
[PDF] distance d'un point ? un plan terminale s
[PDF] distance d'un point ? un plan produit vectoriel
[PDF] calculer la distance du point o au plan abc
[PDF] séquence course longue cm1
[PDF] unité d'apprentissage course longue cycle 3
[PDF] séquence course longue cycle 3
[PDF] course en durée lycée
[PDF] séquence endurance cm1
[PDF] situation d'apprentissage course de durée cycle 3
1
LES SUITES (Partie 2)
I. Limites et comparaison
1) Théorèmes de comparaison
Théorème 1 :
Soit (u
n ) et (v n ) deux suites définies sur ℕ.
Si, Ã partir d'un certain rang, í µ
et lim =+∞ alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que la suite (u n ) pousse la suite (v n ) vers +∞ à partir d'un certain rang.
Démonstration au programme :
Soit un nombre réel a.
- lim =+∞, donc l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 1
On a donc pour tout í µâ‰¥í µ
6 - A partir d'un certain rang, que l'on note n 2 , on a í µ - Ainsi pour tout í µâ‰¥max(í µ 6 ), on a : í µ<í µ
On en déduit que l'intervalle
contient tous les termes de la suite (v n ) Ã partir du rang max(í µ 6
Et donc lim
Théorème 2 :
Soit (u
n ) et (v n ) deux suites définies sur ℕ.
Si, Ã partir d'un certain rang, í µ
et lim =-∞ alors lim 2 Méthode : Déterminer une limite par comparaison
Vidéo https://youtu.be/iQhh46LupN4
Déterminer la limite suivante : lim
-1 -1 ≥-1 donc í µ -1 -1
Or lim
-1=+∞ donc par comparaison lim -1
2) Théorème d'encadrement
Théorème des gendarmes :
Soit (u
n ), (v n ) et (w n ) trois suites définies sur ℕ.
Si, Ã partir d'un certain rang, í µ
et lim =lim =í µ alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que les suites (u n ) et (w n ) (les gendarmes) se resserrent autour de la suite (v n ) à partir d'un certain rang pour la faire converger vers la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich.
Démonstration :
Soit un intervalle ouvert I contenant L.
- lim =í µ, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 1 3 - lim =í µ, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 2 - A partir d'un certain rang, que l'on note n 3 , on a í µ - Ainsi pour tout í µâ‰¥max(í µ 6 ), l'intervalle I contient tous les termes de la suite (v n
Et donc lim
Méthode : Déterminer une limite par encadrement
Vidéo https://youtu.be/OdzYjz_vQbw
Déterminer la limite suivante : lim
1+
BCDí±¢
On a : -1≤siní µâ‰¤1,donc :-
1 siní µ 1
Or : lim
1 =lim 1 =0 donc d'après le théorème des gendarmes lim siní µ =0
Et donc lim
1+
BCDí±¢
=1.
II. Suites majorées, minorées, bornées
1) Définitions :
Définitions : - La suite (u
n ) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier n ϵℕ, í µ - La suite (u n ) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier nϵℕ, í µ - La suite (u n ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Exemples :
- Les suites de terme général cosí µ ou -1 sont bornées. - La suite de terme général n 2 est minorée par 0. Méthode : Démontrer qu'une suite est majorée ou minorée
Vidéo https://youtu.be/F1u_BVwiW8E
On considère la suite (u
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3
SUITES GEOMETRIQUES - maths et tiques