Lecture Notes in Calculus

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[PDF] Lecture Notes in Calculus

Introduction to Calculus - Wrean

Introduction to Calculus - Wrean

Calculus - La Méthode Heuristique de mathématiques

Notes on Calculus by - California Institute of Technology

Lecture Notes in Calculus

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Lecture Notes in Calculus

Raz Kupferman

Institute of Mathematics

The Hebrew University

July 10, 2013

Contents

1 Real numbers 1

1.1 Axioms of field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Axioms of order (as taught in 2009) . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Axioms of order (as taught in 2010, 2011) . . . . . . . . . . . . .

1.4 Absolute values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Special sets of numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 The Archimedean property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Axiom of completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8 Rational powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9 Real-valued powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10 Addendum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Functions 43

2.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Limits and order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Theorems about continuous functions . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Infinite limits and limits at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9 Uniform continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Derivatives 91

3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Rules of dierentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

3.3 Another look at derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 The derivative and extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Derivatives of inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Taylor"s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Integration theory 133

4.1 Definition of the integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Integration theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 The fundamental theorem of calculus . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Riemann sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 The trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6 The logarithm and the exponential . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7 Integration methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Sequences 171

5.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Limits of sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Infinite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONTENTSiii

Foreword

T exbooks:Spi vak,Meizler ,Hochman.

Chapter 1

Real numbers