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Diverses méthodes pour calculer

des aires paraboliques

Jean Moussa

Prsentation

On suppose sur la figure 1 que l"arc courbe (OW) est un arc de la parabole d"quation yx 2 , que U est le point (1,0) et V le point (0,1). Alors?: L"aire du secteur (A) vaut , celle du secteur (B) vaut , le triangle (C) tant d"aire . des primitives. Les trois suivantes prsentent un intrt historique?: la seconde relie l"intgrale des sommes de rectangles et les deux suivantes proviennent des apparent avec l"intgration?; elle n"utilise que des transformations gomtriques, et

c"est une Ç?astuce?È personnelle sur laquelle je n"ai pas trouv de rfrences dans la

littrature. le coefficient appara"t?: il est le rsultat final d"oprations aussi diverses que les mthodes. On rappelle le lien entre primitive et Ç?aire sous la courbe?È (fig.2 ci-dessous) 1 3 1 31
6 1 2

Pour chercher et approfondir207

APMEP n o 523
(*) jean5moussa@gmail.com Moussa.qxp_Mise en page 1 29/03/2017 17:43 Page207 Dans la figure 2, A(x) dsigne l"aire grise comprise entre l"axe des abscisses et la courbe reprsentant une fonction fcontinue et positive, pour les abscisses appartenant l"intervalle [0,?x]. On remarque que A(xh) A(x) est l"aire d"un domaine de largeur het dont la hauteur tend vers f(x) lorsque htend vers zro. Il en dcoule que lorsque htend vers zro, et donc que A est une primitive de f. L"application de ce rsultat la fonction sur l"intervalle [0,1] donne alors?: Ce qui, pour l"aire sous la parabole entre 0 et 1, donne le 1/3 attendu, et on peut dire ici que?: L"aire du domaine de la figure 3, comprise pour l"intervalle [0,1] entre l"axe des abscisses et la parabole d"quation yx 2 , est considre comme la limite d"aires de domaines forms de rectangles dont la largeur tend asymptotiquement vers zro. On utilise ainsi une approche de l"aire par le calcul intgral. La figure 3 reprsente les rectangles de largeur .

Ax+h(?Ax(

h →fx( f:x?x 2

Ax(?A0(=1

3x 2 1 3 =1 degré(parabole) + 1. 1 10

208Pour chercher et approfondir

APMEP n o 523
Moussa.qxp_Mise en page 1 29/03/2017 17:43 Page208 La mthode des rectangles que nous utilisons ici fournit deux suites adjacentes?: l"aire totale des rectangles les plus grands majore l"aire cherche, et l"aire totale des rectangles les plus petits (surface grise sur la figure) minore l"aire cherche. Si le segment [0,1] est partag en nmorceaux de largeur , alors l"aire Ç?infrieure?È vaut?: tandis que l"aire Ç?suprieure?È vaut?: L"aire Σ du domaine parabolique est donc dfinie ici comme la limite de deux suites adjacentes. Pour tout n, d"o .

Le 1/3 appara"t ici par?:

Pour aborder les autres mthodes, il nous faut revenir la dfinition et aux proprits

gomtriques de la parabole.

3.1. Dfinition

Nous partons de la dfinition gomtrique classique (fig.4)?: le lieu des points M quidistants d"un point F et d"une droite (D) est une parabole (P), dite de foyer F et de directrice (D). Cette parabole contient S, milieu de [OF], O tant le projet orthogonal de F sur (D). On note habituellement pOF, et la longueur pest appele Nous compltons la figure par H, projet de M sur la directrice, par T, milieu du segment [FH], et par K, intersection de (MF) avec la mdiatrice de [OF]. 1 n 1 n0 n( 2 +1 n 2 +2 n 2 ?+n?1 n 2 )))=n?1 (n2n?1( 6n 2 n?1(n2n?1( 6n 2 ?Σ?nn+1 (n2n+1( 6n 2

Σ=1

3 1 2 +2 2 +3 2 +?+n 2 =nn+1 (2n+1( n ≂1 3n 2 1 n1 n( 2 +2 n 2 +3 n 2 ?+n n 2 )))=nn+1 (n2n+1( 6n 2 Méthodes pour calculer des aires paraboliques209 APMEP n o 523
Moussa.qxp_Mise en page 1 29/03/2017 17:43 Page209

3.2. Cohrence avec l"quation y= x

2 On voit dans le paralllogramme SHKF que T est galement le milieu de [SK]. Par dfinition de la parabole, M appartient la mdiatrice de [FH], donc le triangle MTH est rectangle, ainsi que HKT et MKT, ces trois triangles tant semblables. On en dduit . Par ailleurs, HK est indpendant du choix de M? : donc usuelle de la parabole,

3.3. Tangente

Un autre point Mquelconque de (P) satisfait MF MH, o Hest le projet de Msur (D), c"est--dire le point de (D) le plus proche de M. On aura donc MF MH, ce qui montre que tous les points de (P) sont situs du mme ct de la droite (MT), mdiatrice de [FT]. En outre, il n"y a galit que si HH, c"est--dire MM. La droite (MT) a ainsi M pour unique point commun avec (P), ce qui la caractrise comme tangente en M (P).

3.4. Les deux tangentes menes d"un point

Si d"un point I on peut mener deux tangentes une parabole (P) d"axe (D1), alors les sont symtriques par rapport I. Si l"axe est vertical comme sur la figure 4, ceci implique que les abscisses des deux points de contact ont pour moyenne arithmtique l"abscisse de I (figure 5). Preuve?: I tant situ sur (MT), mdiatrice de [HF], il est quidistant de F et de H. Comme il est galement situ sur (MT), mdiatrice de [HF], il est quidistant de F et de H. On a donc IH IF IH, et I est situ sur la mdiatrice de [HH], cqfd. MK TK =TK HK

HK=OS=p

2, MK=TK 2 p 2 =SK 2 2p .S,i?,j? y=x 2 2p

210Pour chercher et approfondir

APMEP n o 523
Moussa.qxp_Mise en page 1 29/03/2017 17:43 Page210

3.5. Les symtries obliques d"une parabole

oblique pour (P), selon la direction donne par la tangente (D) au point d"intersection de (D2) et de (P). En deux points de (P) symtriques l"un de l"autre tels que M et M, ou M 1 et M 1 , les tangentes (P) se coupent en un point de (D2) (fig.6). Preuve. Ici il est avantageux d"utiliser les coordonnes cartsiennes. La parabole d"axe vertical a une quation de la forme?: yax 2 b. On cherche l"intersection avec une droite oblique, d"quation?: ymxt. Les abscisses des points d"intersection sont immdiatement donnes par l"galit?: ax 2 bmxt, quation du second degr dont la somme des racines vaut . Lorsque la droite oblique varie en restant la moyenne arithmtique) des abscisses des intersections est constante. C"est bien la proprit que l"on cherchait. Les racines sont relles et distinctes lorsque t, et confondues lorsque t, ce qui est la valeur de tpour laquelle la droite oblique est tangente la parabole.

3.6. Un point milieu remarquable

Nous avons indiqu sur la figure 6 le point T, intersection des deux tangentes en S et M 1 1 I 1 ]. Mais la tangente en 1 N 1 la droite des milieux des cts [I 1 N 1 ] et [I 1 M 1 ] du triangle I 1 M 1 N 1 , et finalement S est le milieu de [I 1 N 1 ]. Cette proprit ne dpendant pas du choix de la droite oblique qui m a b?m 2 4a b?m 2 4a Méthodes pour calculer des aires paraboliques211 APMEP n o 523
Moussa.qxp_Mise en page 1 29/03/2017 17:43 Page211 L"aire du secteur parabolique est ici la limite des aires d"une suite de polygones qui s"approchent asymptotiquement de la parabole. Dans les textes laisss par difficults conceptuelles auxquelles les mathmaticiens de l"poque taient

ici la prsentation du procd gomtrique utilis et au calcul qui en dcoule.

Dans la figure 7 est reprsent un arc (OA) de parabole, de projection [OA 0 ] sur l"axe horizontal. On suppose qu"il s"agit de la parabole d"quation yx 2 , et que A (1,1). On dcoupe le carr initial en enlevant au fur et mesure des triangles. On dcoupe d"abord un premier triangle ABA 0 , dont l"aire vaut . Puis un second triangle BB 1 B 2

Son aire vaut . En effet, le segment [BA

1 ] de longueur est une mdiane de ce triangle et le partage en deux moitis de mme aire?; prenant la mdiane [BA 1 ] pour base de la moiti de gauche, la hauteur est , donc l"aire vaut pour cette moiti.

On a ensuite deux triangles dcouper, E

1 B 1 E 2 et E 3 B 2 E 4 . Ils sont changs par la symtrie oblique d"axe vertical (BA 1 ) et de direction (B 1 B 2 ). Ils sont donc de mme aire. Pour le premier triangle on utilise le procd prcdent?; sa mdiane [B 1 C 1 ] est de longueur . La hauteur E 1 B 1 vaut . L"aire totale des deux triangles vaut donc Ë chaque tape du dcoupage, le nombre des triangles est multipli par deux?; par les 1 4 1 4 1 4 1 16 1 2 ?1 4?1 4 1 161
16 2?2?1 2?1 16?1 8=1 64.

212Pour chercher et approfondir

APMEP n o 523
Moussa.qxp_Mise en page 1 29/03/2017 17:43 Page212 symtries obliques de la parabole, ils ont tous mme aire. En gardant la mme mthode pour le triangle le plus gauche, la longueur de la mdiane est divise par

4, et la hauteur par 2.

L"aire totale de tous ces triangles est donc multiplie par . . La somme infinie des aires des triangles ainsi dcoups vaut Le appara"t ici comme la somme d"une srie gomtrique de raison . s"agit dj d"intgration sans le dire. La mthode utilise une proprit que nous commenons par exposer. Nous construisons la mme figure que celle de la dfinition de la parabole, mais avec la construction de deux points M et M(fig.8). Le segment [SM] coupe la verticale en un point N.

Proposition?:

Preuve?: nous raisonnons sur les longueurs. L"quation de la parabole nous dit que KM est proportionnel au carr de SK. On en dduit que . Mais le 1 4 2?1 4?1 2?=1 4. 1quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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