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[PDF] Vestiges dune terminale S – Pas de complexes sur les complexes Vestiges d"une terminale S - Pas de complexes sur les complexes ! - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)

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Les nombres complexes Définition d"un nombre complexe On appelle nombre complexe tout nombre de la forme

z a .b= + i où a et b sont deux réels a est la partie réelle du nombre complexe z. On note : a Re z=. b est la partie imaginaire du nombre complexe z. On note : b Im z=. Les réels sont les seuls nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle.

L"ensemble des nombres complexes est noté ?. Le nombre i Le nombre i est l"une des deux solutions de l"équation

2 2x 1 0 x 1

L"autre solution de cette équation est

-i. Les nombres i et -i vérifient les égalités : 2 1 i 2 1 - = -i

2x 1 x . x+ = - +

i i

Les puissances et l"inverse du nombre i Les puissances du nombre i sont cycliques. Les mêmes valeurs reviennent suivant une

période de 4. 0 1= i 1 =i i 2 1 i 3 21 i i i i i 4 3 1 i i i i i 5 4 1 i i i i 6 4 2 1 i i i

7 4 31= × = × - = -

i i i i i

L"inverse du nombre i est son opposé

-i. En effet : 1 1

1×= = = -

× -i i

i i i i.

Le conjugué d"un nombre complexe Définition du conjugué d"un nombre complexe Le conjugué du nombre complexe

z a .b= + i est le nombre complexe z a .b= - i ? Les parties réelle et imaginaire du complexe z a .b= + i s"expriment à partir de z et z z z a .bRe z2+ += =i a .b+ -i a 2 z z aIm z2.-= =i .b a + -i .b b 2. i i Les nombres réels sont les seuls nombres complexes qui sont égaux à leurs conjugués. z z Im z 0 z est un réel= ? = ? ? La conjugaison est compatible avec toutes les opérations. z z" z z"+ = + z z" z z"- = - z z" z z"× = × n nz z z zz" z"

Le module d"un nombre complexe Définition du module d"un nombre complexe Le module du nombre complexe

z a .b= + i est le réel positif ou nul 2 2 z a b= + La notation du module d"un nombre complexe est la même que celle de la valeur absolue d"un nombre réel. D"ailleurs, le module d"un nombre réel est sa valeur absolue :

7 7- =

Le seul nombre complexe qui ait un module nul est 0.

Le module par le conjugué Le carré du module est égal au produit du complexe et de son conjugué :

2z z z

En effet si

z a .b= + i où a et b sont les parties réelle et imaginaire du complexe z alors : 2 z z a .b . a .b a .a.b× = + - = -i i i .a.b+i 2

2 2 2 2 2 2.b a 1 .b a b z

- = - - = + =i ? On simplifie une fraction complexe en multipliant ses numérateur et dénominateur par

le conjugué de son dénominateur. On applique alors la propriété précédente. Par exemple :

2 2 2 z z z

2 3 2.

2 6 4. 3. 2 4 73 2. 3 2. 3 2. 13

3 2 = = =- + - + × - -- +i i

Module et opérations A l"instar de la valeur absolue, le module n"est compatible qu"avec la multiplication, le

quotient et la puissance. z z" z z"× = × z zz" z" n nz z Par contre, le module n"est compatible ni avec l"addition, ni avec la soustraction. z z" z z"+ = + z z" z z"- = - Mais le module vérifie l"inégalité triangulaire.

Le module de la somme est inférieur ou é

gal à la somme des modules

Equation du second degré à coefficients réels de discriminant négatif Lorsque le discriminant

2b 4.a.c

Δ = - de l"équation du second degré

2 a.z b.z c 0 est négatif, 1 2 Mais aucune solution réelle !Deux nombres complexes conjugués b . b .celle-ci admet deux solutions complexes : z et z2.a 2.a- - Δ - + Δ= =i i Vestiges d"une terminale S - Pas de complexes sur les complexes ! - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)

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Dans le plan complexe... Lorsque le plan est muni d"un repère orthonormal direct ( O;u,v , tout point M x;y est associé au nombre complexe z x .y= + i . On dit que z est l"affixe du point M.

La distance OM est égale au module de z.

z OM=

Un argument

θ de nombre complexe z est une mesure de

l"angle orienté ( u,OM?????? arg z u,OM Deux arguments θ et θ" d"un même nombre complexe z diffèrent d"un certain nombre de fois 2.π. Autrement dit : " k 2.θ = θ+ × π où k est un entier relatif

Ecritures algébrique et trigonométrique d"un nombre complexe Tout nombre complexe z est parfaitement défini par ses parties réelle x et imaginaire y.

Il peut aussi être défini par son module

z et l"un de ses arguments θ. On écrit alors : ( ) ( )

Ecriture algébrique de z

Ecriture exponentielle de z

Ecriture trigonométrique de z

z x .y z cos .sin z e ii i

L"exponentielle imaginaire

.e cos .sinθ= θ + θ ii possède des propriétés similaires à celles de sa consoeur réelle. . a b .a .be e e

× =ii i

.a . a b .beee =ii i .a .a1 e e i i ()n .a .n.ae e=i i

Les propriétés de l"argument L"argument possède des propriétés similaires à celle du logarithme népérien.

arg z z" arg z arg z" z arg arg z arg z" z"( )= -( )( ) n arg z n arg z La figure ci-contre illustre les propriétés suivantes : ? arg z arg z arg z arg z ? Un argument d"un réel positif est 0. ? Un argument d"un réel négatif est π. ? arg

2π=i et

arg 2π - = -i. 0 1 e i et . /2e =ii Equivalents complexes de notions géométriques Notion géométrique

Traduction complexe

Le vecteur

AB????

B A

ABz z z

La distance

AB AB B A

AB z z

Une mesure de l"angle orienté

u,AB? ???? B A u,AB arg z z

Une mesure de l"angle orienté

AB,CD???? ????

D CB Az z

AB,CD arg

z z( )

G est le barycentre des n points pondérés (

1 1 n nA , , , A ,

1 n

1 A n A

G1 n.z .z

zα + +α=α + +α

Quelques trucs... Pour démontrer que...

Etablir que...

Le point C est équidistant de A et B ou

AC BC ou C appartient à la médiatrice du segment [AB]. C B

C Az z

BC 1

AC z z-

Le point M appartient au cercle de centre A et de

rayon r

M Az z r

ou

M Az z r.e

i

Les vecteurs

AB????

et

CD????

sont égaux

B A D Cz z z z

Les vecteurs

AB????

et

CD????

sont colinéaires

D CB Az zz z

- est un réel

AB????

et

CD????

sont orthogonaux

D CB Az zz z

- est un imaginaire pur

Le triangle ABC est équilatéral et

( )triangle directAB,AC

3π=

.C A3

B Az z

1 . 3 ez z 2π -+= =-i i

Ecriture complexe de quelques transformations Le point M" d"affixe z" est l"image du point M d"affixe z par la transformation indiquée. Transformation

Ecriture complexe

Translation de vecteur

w??? w z" z z= + Rotation d"angle θ et de centre Ω d"affixe ω .z" e . zθ i Homothétie de rapport k?? et de centre Ω d"affixe ω z" k. z-ω = -ω Réflexion d"axe celui des abscisses ou des réels z" z= Pour déterminer le centre d"une rotation ou d"une homothétie, on cherche son point fixe. O M z u? v? x y 0 1 i 1- -i z z z- z-

Arg /2

Arg /2

Arg Arg 0 u? v?quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35