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Les nombres complexes Définition d"un nombre complexe On appelle nombre complexe tout nombre de la forme
z a .b= + i où a et b sont deux réels a est la partie réelle du nombre complexe z. On note : a Re z=. b est la partie imaginaire du nombre complexe z. On note : b Im z=. Les réels sont les seuls nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle.L"ensemble des nombres complexes est noté ?. Le nombre i Le nombre i est l"une des deux solutions de l"équation
2 2x 1 0 x 1
L"autre solution de cette équation est
-i. Les nombres i et -i vérifient les égalités : 2 1 i 2 1 - = -i2x 1 x . x+ = - +
i iLes puissances et l"inverse du nombre i Les puissances du nombre i sont cycliques. Les mêmes valeurs reviennent suivant une
période de 4. 0 1= i 1 =i i 2 1 i 3 21 i i i i i 4 3 1 i i i i i 5 4 1 i i i i 6 4 2 1 i i i7 4 31= × = × - = -
i i i i iL"inverse du nombre i est son opposé
-i. En effet : 1 11×= = = -
× -i i
i i i i.Le conjugué d"un nombre complexe Définition du conjugué d"un nombre complexe Le conjugué du nombre complexe
z a .b= + i est le nombre complexe z a .b= - i ? Les parties réelle et imaginaire du complexe z a .b= + i s"expriment à partir de z et z z z a .bRe z2+ += =i a .b+ -i a 2 z z aIm z2.-= =i .b a + -i .b b 2. i i Les nombres réels sont les seuls nombres complexes qui sont égaux à leurs conjugués. z z Im z 0 z est un réel= ? = ? ? La conjugaison est compatible avec toutes les opérations. z z" z z"+ = + z z" z z"- = - z z" z z"× = × n nz z z zz" z"Le module d"un nombre complexe Définition du module d"un nombre complexe Le module du nombre complexe
z a .b= + i est le réel positif ou nul 2 2 z a b= + La notation du module d"un nombre complexe est la même que celle de la valeur absolue d"un nombre réel. D"ailleurs, le module d"un nombre réel est sa valeur absolue :7 7- =
Le seul nombre complexe qui ait un module nul est 0.Le module par le conjugué Le carré du module est égal au produit du complexe et de son conjugué :
2z z z
En effet si
z a .b= + i où a et b sont les parties réelle et imaginaire du complexe z alors : 2 z z a .b . a .b a .a.b× = + - = -i i i .a.b+i 22 2 2 2 2 2.b a 1 .b a b z
- = - - = + =i ? On simplifie une fraction complexe en multipliant ses numérateur et dénominateur parle conjugué de son dénominateur. On applique alors la propriété précédente. Par exemple :
2 2 2 z z z2 3 2.
2 6 4. 3. 2 4 73 2. 3 2. 3 2. 13
3 2 = = =- + - + × - -- +i iModule et opérations A l"instar de la valeur absolue, le module n"est compatible qu"avec la multiplication, le
quotient et la puissance. z z" z z"× = × z zz" z" n nz z Par contre, le module n"est compatible ni avec l"addition, ni avec la soustraction. z z" z z"+ = + z z" z z"- = - Mais le module vérifie l"inégalité triangulaire.Le module de la somme est inférieur ou é
gal à la somme des modulesEquation du second degré à coefficients réels de discriminant négatif Lorsque le discriminant
2b 4.a.c
Δ = - de l"équation du second degré
2 a.z b.z c 0 est négatif, 1 2 Mais aucune solution réelle !Deux nombres complexes conjugués b . b .celle-ci admet deux solutions complexes : z et z2.a 2.a- - Δ - + Δ= =i i Vestiges d"une terminale S - Pas de complexes sur les complexes ! - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)Page 2 sur 2
Dans le plan complexe... Lorsque le plan est muni d"un repère orthonormal direct ( O;u,v , tout point M x;y est associé au nombre complexe z x .y= + i . On dit que z est l"affixe du point M.La distance OM est égale au module de z.
z OM=Un argument
θ de nombre complexe z est une mesure de
l"angle orienté ( u,OM?????? arg z u,OM Deux arguments θ et θ" d"un même nombre complexe z diffèrent d"un certain nombre de fois 2.π. Autrement dit : " k 2.θ = θ+ × π où k est un entier relatifEcritures algébrique et trigonométrique d"un nombre complexe Tout nombre complexe z est parfaitement défini par ses parties réelle x et imaginaire y.
Il peut aussi être défini par son module
z et l"un de ses arguments θ. On écrit alors : ( ) ( )Ecriture algébrique de z
Ecriture exponentielle de z
Ecriture trigonométrique de z
z x .y z cos .sin z e ii iL"exponentielle imaginaire
.e cos .sinθ= θ + θ ii possède des propriétés similaires à celles de sa consoeur réelle. . a b .a .be e e× =ii i
.a . a b .beee =ii i .a .a1 e e i i ()n .a .n.ae e=i iLes propriétés de l"argument L"argument possède des propriétés similaires à celle du logarithme népérien.
arg z z" arg z arg z" z arg arg z arg z" z"( )= -( )( ) n arg z n arg z La figure ci-contre illustre les propriétés suivantes : ? arg z arg z arg z arg z ? Un argument d"un réel positif est 0. ? Un argument d"un réel négatif est π. ? arg2π=i et
arg 2π - = -i. 0 1 e i et . /2e =ii Equivalents complexes de notions géométriques Notion géométriqueTraduction complexe
Le vecteur
AB????
B AABz z z
La distance
AB AB B AAB z z
Une mesure de l"angle orienté
u,AB? ???? B A u,AB arg z zUne mesure de l"angle orienté
AB,CD???? ????
D CB Az z
AB,CD arg
z z( )G est le barycentre des n points pondérés (
1 1 n nA , , , A ,
1 n1 A n A
G1 n.z .z
zα + +α=α + +αQuelques trucs... Pour démontrer que...
Etablir que...
Le point C est équidistant de A et B ou
AC BC ou C appartient à la médiatrice du segment [AB]. C BC Az z
BC 1AC z z-
Le point M appartient au cercle de centre A et de
rayon rM Az z r
ouM Az z r.e
iLes vecteurs
AB????
etCD????
sont égauxB A D Cz z z z
Les vecteurs
AB????
etCD????
sont colinéairesD CB Az zz z
- est un réelAB????
etCD????
sont orthogonauxD CB Az zz z
- est un imaginaire purLe triangle ABC est équilatéral et
( )triangle directAB,AC3π=
.C A3B Az z
1 . 3 ez z 2π -+= =-i iEcriture complexe de quelques transformations Le point M" d"affixe z" est l"image du point M d"affixe z par la transformation indiquée. Transformation