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CHAPITRE 9 : TRIGONOMÉTRIE

Objectifs

•[3.320] Connaître et utiliser les relations du cosinus dans un triangle rectangle. •[3.321] Connaître et utiliser les relations du sinus dans un triangle rectangle. •[3.322] Connaître et utiliser les relations de la tangente dans un triangle rectangle.

•[3.323] Utiliser les touches cos/cos-1, sin/ sin-1 et tan/ tan-1 de la calculatrice pour déterminer une

valeur approchée. •[3.324] Connaître et utiliser les relations cos² a + sin² a = 1 et tan a =sina cosa.

I. Rappels de vocabulaire

II. Relations entre les côtés d'un triangle rectangle a) Cosinus d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle

par la longueur de l'hypoténuse.

Dans le triangle ABC rectangle en A : cos

B=BA BC

On en déduit que BA = BC×cos

B AC B A C B

Hypoténuse

Côté adjacent à l'angle ABC

Côté opposé à l'angle ACB

Côté opposé à l'angle ABC

Côté adjacent à l'angle ACB

b) Sinus d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par

la longueur de l'hypoténuse. Dans le triangle ABC rectangle en A : sinB=AC BC

On en déduit que AC = BC×sin

B c) Tangente d'un angle aigu.

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle

par la longueur du côté adjacent à cet angle.

Dans le triangle ABC rectangle en A : tan

B=AC AB

On en déduit que AC = AB×tan

B

III. Propriétés

À retenir :

Pour tout angle aigu dans un triangle rectangle :

cosinus=côtéadjacent hypoténuse ;sinus=côtéopposé hypoténuse ;tangente=côtéopposé côtéadjacent Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont des valeurs comprises entre 0 et 1.

En effet, l'hypoténuse d'un triangle rectangle est le plus grand côté, donc le rapport longueur de côté/hypoténuse

sera plus petit que 1. Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d'un angle aigu, on a : tanx=sinx cosx* (si x ≠ 90°)et sin2xcos2x=1.*

Dans un triangle rectangle en A :

cos B = sin C = BA

BCet sin B = cos C = CA

Ainsi, lorsque deux angles sont complémentaires, le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre.

* Démonstrations : tan B = AC

AB ; sin B = AC

BC ; cos B = AB

BC d'oùsin B cos B=AC BC AB BC=AC

BC×BC

AB=tanB.sin2

B=AC2

BC2etcos2B=AB2

BC2d'où sin2

Bcos2B=AC2

BC2AB2

BC2=AC2AB2

BC2. Or, dans un triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore nous permet d'écrire :

BC2 = AB2AC2.

D'où

sin2Bcos2B=BC2

BC2=1.

IV. Le quart de cercle trigonométrique

Sur la figure ci-contre, OI = 1 unité de longueur. Le point M se déplace sur l'arc de cercle IJ, faisant ainsi varier l'angle a de

0° à 90°.

La droite (OM) coupe la perpendiculaire à (OI) passant par I en T. La perpendiculaire à (OI) passant par M coupe (OI) en N. La perpendiculaire à (OJ) passant par M coupe (OJ) en P.

Ainsi :

cos â = ON

OM ; sin â =

OM ; tan â = IT

OI.

Dans ces égalités, nous avons OM = OI = 1.

D'où :

cos â = ON ; sin â = OP ;tan â = IT.

Valeurs particulières :

Le quart de cercle trigonométrique permet de comprendre rapidement les cas particuliers des angles nuls

(mesure égale à O°) et droit (mesure égale à 90°).

•si â = 0°, dans ce cas le point M est en I, le point N est en I (cos â = 1), le point P est en O (sin â = 0), et le

point T est en I (tan â = 0).

•si â = 90°, dans ce cas le point M est en J, le point N est en O (cos â = 0), le point P est en J (sin â = 1), et le

point T est à l'infini (les droites (OP) et (IT) sont parallèles, pas de point d'intersection) donc tan â est

indéterminé (division par 0 impossible).

Le tableau suivant récapitule les valeurs des lignes trigonométriques d'angles souvent rencontrés et dont il est

intéressant d'en connaître les valeurs exactes.

Angles0°30°45°60°90°

sinus01 2 2

23

21
cosinus1 3

22

21
20 tangente0 3

313OIJ

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