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Planche4:Introductionà l'analysecombinatoire
Exercice1.Soitn∈N
.Montrerque quelasomme desnpremiersentiersimpairs estégaleà n 2 .Endéduire quelasomme desnpremiersentiersest égaleà n(n+1) 2 Indication:Sionne saitpas commentdémarrer ,onpeutmontrercettepropriété parrécurrence surnparexemple. ...... ... ........................................................................ application.Onconsidère lesassertionssuivantes : (i)festinjective. (ii)festsurjective. (iii)festbijective.Indication:
Card(E)=Card(F),onen déduitquef(E)estunsous-ensemble deFayantlemême nombred'élémentsque Fdoncf(E)=Fetparconséquent, festsurjective. Montronsque(ii)⇒(iii):Raisonnonspar l'absurdeen supposantfnoninjective.. ........ 1Exercice3.Soientn∈N
etx 0 ,x 1 ...,x n ∈[0,1].Enutilisant leLemmedes tiroirs,montrer qu'il existex i ,x j ∈{x 0 ,x 1 ...,x n }telsquex i -x j 1 nIndication:Soientn∈N
etx 0 ,x 1 ...,x n ∈[0,1].Onnote ∀k∈{0,...,n-2},t k k n k+1 n ett n-1 =1- 1 n ,1 0 ,x 1 ...,x n }→{t 0 ,...,t n-1 quiàc haquex i (0in)associeun tiroirt j (0jn-1)danslequel onle range.On aCard({x
0 ,x 1 ...,x n })=..............etCard({t 0 ,...,t n-1 })=............,ily adonc........................ depoints dansl'espacede départquedetiroirs dansl'espaced'arrivée ,l'applicationfnepeutdonc être ..........................Ainsi, ilexistex i ,x j ∈{x 0 ,x 1 ...,x n }telsquef(x i )=f(x jCecidonnex
i -x j.....................,cartous lestiroirsont unelongueurégale à................
Exercice4.SoientAunensemblefini etB⊂Aunsous-ensemblede A.Montrerque SiCard(B)=Card(A).AlorsA=B.
Indication:Raisonnerparl'absurde ensupposant queA≠B. Exercice5.SoientAetBdeuxensemblesfinis .MontrerqueCard(A×B)=Card(A)×Card(B).
Corrigé:SoientAetBdeuxensemblesfinis .Notonsn=Card(A).Ona deuxcas: Sin=0alorsA=etdoncA×B=etona bienCard(A×B)=Card(A)×Card(B).Sin≠0,onpeut écrireAsouslaforme A={x
1 ,x 2 ,...,x n },poserpour toutidans{1,...,n}, A i ={x i }×Betnoterque A×B= n i=1 A i .LesA i sontdeuxà deuxdisjoints, ontlemême cardinalqueBetCard(A×B)=Card
n i=1 A i n i=1Card(A
i n i=1Card(B)=n×Card(B)=Card(A)×Card(B).
2Exercice6.Soientn∈N
etE,Fdeuxensemblesfinis avecCard (E)=Card(F)=n. unraisonnementpar récurrence, montrerqueCardB(E,F)=n!.
Corrigé:Nousallonsprouver parrécurrencesur n∈N l'assertionsuivante: (P nInitialisation:P
1 estvraiecar ilexiste uneuniquebijection d'unensembleà 1élémentdansun ensembleà1élément.Hérédité:Fixonsn∈N
,supposons P n vraieetmontrons queP n+1 l'estaussi.Soit EetFdeux ensemblesfinisa vecC ard(E)=Card(F)=n+1.Fixons a∈E.Pour chaqueb∈F,ily ad'aprèsP n exactement..........applicationsbijectivesde E{a}dansF{b}car Chacunedeces applicationsseprolongeen unebijectionde EdansEendonnantcomme imageàal'élémentb∈F.Commeil ya...........choixpourb∈Falorsnousobtenons .................=.................
bijectionsdeEdansF.Ainsi,P n+1 estvraiece quiachève larécurrence.Exercice7.Soientn∈N
etk∈{1,...,n}.Montrerque k n k =n n-1 k-1Indication:Onapour toutn∈N
etk∈{1,...,n} k n kExercice8.Soientn∈N
etEunensemble finidecardinaln.Enutilisant laformuledu binômedeNewton, montrerqueEpossède2 n sous-ensembles. Indication:Onremarqueque Epossèdedessous-ensembles ayant n+1cardinauxdifférents:0,1,2,...,n.Ilsuffit alorsàdénombrer lenombre desous-ensemblespossibles ayantpour cardinal
kpourchaque k∈{0,...,n}. Sous-ensemble(s)à0élément:il yen a................... Sous-ensemble(s)à1élément:il yen a................... 3 Sous-ensemble(s)à kéléments:il yena ................... Sous-ensemble(s)ànéléments:il yen a................... n k=0 ..................sous-ensembles. Pourdéterminercetentier, onutilise laformuledu binômedeNewton,onobtient Exercice9.SoientAetBdeuxensemblefinis .On noteAB=(A∪B)(A∩B).DéterminerCard(AB).
Indication:Applicationdesformules ducours .
Exercice10.SoitEunensembleà n∈NélémentsetA⊂Eunensembleà p∈Néléments,pn.
Quelestle nombredeparties deEquicontiennentun uniqueélémentde A? Indication:Remarquonsqu'uneparti ede Econtenantununi queélémentde Apeuts'écriresouslafo rme{a}∪Boùa∈AetB⊂EA.OnaCard (EA)=..........,ily adonc...................façons
dechoisir kélémentsdeEA,pourk=0,...,n-p.Lenombr ed'ensemblesdans lecomplémentaire
deAestdonc n-p k=0 ...................=...................caronsait parlebinôme deNewtonque n k=0 n k Pourchoisirunélément deA,ona .......possibilitéscarCard (A)=.......Ainsi,le nombretotal d'ensemblesnecontenant qu'unseulélément deAest.................... 4quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24