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Planche4:Introductionà l'analysecombinatoire

Exercice1.Soitn∈N

.Montrerque quelasomme desnpremiersentiersimpairs estégaleà n 2 .Endéduire quelasomme desnpremiersentiersest égaleà n(n+1) 2 Indication:Sionne saitpas commentdémarrer ,onpeutmontrercettepropriété parrécurrence surnparexemple. ...... ... ........................................................................ application.Onconsidère lesassertionssuivantes : (i)festinjective. (ii)festsurjective. (iii)festbijective.

Indication:

Card(E)=Card(F),onen déduitquef(E)estunsous-ensemble deFayantlemême nombred'élémentsque Fdoncf(E)=Fetparconséquent, festsurjective. Montronsque(ii)⇒(iii):Raisonnonspar l'absurdeen supposantfnoninjective.. ........ 1

Exercice3.Soientn∈N

etx 0 ,x 1 ...,x n ∈[0,1].Enutilisant leLemmedes tiroirs,montrer qu'il existex i ,x j ∈{x 0 ,x 1 ...,x n }telsque￿￿x i -x j 1 n

Indication:Soientn∈N

etx 0 ,x 1 ...,x n ∈[0,1].Onnote ∀k∈{0,...,n-2},t k k n k+1 n ￿￿ett n-1 =￿￿1- 1 n ,1￿￿ 0 ,x 1 ...,x n }→{t 0 ,...,t n-1 quiàc haquex i (0￿￿i￿￿n)associeun tiroirt j (0￿￿j￿￿n-1)danslequel onle range.On a

Card({x

0 ,x 1 ...,x n })=..............etCard({t 0 ,...,t n-1 })=............,ily adonc........................ depoints dansl'espacede départquedetiroirs dansl'espaced'arrivée ,l'applicationfnepeutdonc être ..........................Ainsi, ilexistex i ,x j ∈{x 0 ,x 1 ...,x n }telsquef(x i )=f(x j

Cecidonne￿￿x

i -x j

￿￿￿￿.....................,cartous lestiroirsont unelongueurégale à................

Exercice4.SoientAunensemblefini etB⊂Aunsous-ensemblede A.Montrerque Si

Card(B)=Card(A).AlorsA=B.

Indication:Raisonnerparl'absurde ensupposant queA≠B. Exercice5.SoientAetBdeuxensemblesfinis .Montrerque

Card(A×B)=Card(A)×Card(B).

Corrigé:SoientAetBdeuxensemblesfinis .Notonsn=Card(A).Ona deuxcas: Sin=0alorsA=￿￿etdoncA×B=￿￿etona bienCard(A×B)=Card(A)×Card(B).

Sin≠0,onpeut écrireAsouslaforme A={x

1 ,x 2 ,...,x n },poserpour toutidans{1,...,n}, A i ={x i }×Betnoterque A×B= n i=1 A i .LesA i sontdeuxà deuxdisjoints, ontlemême cardinalqueBet

Card(A×B)=Card￿￿

n i=1 A i n i=1

Card(A

i n i=1

Card(B)=n×Card(B)=Card(A)×Card(B).

2

Exercice6.Soientn∈N

etE,Fdeuxensemblesfinis avecCard (E)=Card(F)=n. unraisonnementpar récurrence, montrerque

Card￿￿B(E,F)￿￿=n!.

Corrigé:Nousallonsprouver parrécurrencesur n∈N l'assertionsuivante: (P n

Initialisation:P

1 estvraiecar ilexiste uneuniquebijection d'unensembleà 1élémentdansun ensembleà1élément.

Hérédité:Fixonsn∈N

,supposons P n vraieetmontrons queP n+1 l'estaussi.Soit EetFdeux ensemblesfinisa vecC ard(E)=Card(F)=n+1.Fixons a∈E.Pour chaqueb∈F,ily ad'aprèsP n exactement..........applicationsbijectivesde E￿￿{a}dansF￿￿{b}car Chacunedeces applicationsseprolongeen unebijectionde EdansEendonnantcomme imageà

al'élémentb∈F.Commeil ya...........choixpourb∈Falorsnousobtenons .................=.................

bijectionsdeEdansF.Ainsi,P n+1 estvraiece quiachève larécurrence.

Exercice7.Soientn∈N

etk∈{1,...,n}.Montrerque k￿￿ n k ￿￿=n￿￿ n-1 k-1

Indication:Onapour toutn∈N

etk∈{1,...,n} k￿￿ n k

Exercice8.Soientn∈N

etEunensemble finidecardinaln.Enutilisant laformuledu binômedeNewton, montrerqueEpossède2 n sous-ensembles. Indication:Onremarqueque Epossèdedessous-ensembles ayant n+1cardinauxdifférents:

0,1,2,...,n.Ilsuffit alorsàdénombrer lenombre desous-ensemblespossibles ayantpour cardinal

kpourchaque k∈{0,...,n}. Sous-ensemble(s)à0élément:il yen a................... Sous-ensemble(s)à1élément:il yen a................... 3 Sous-ensemble(s)à kéléments:il yena ................... Sous-ensemble(s)ànéléments:il yen a................... n k=0 ..................sous-ensembles. Pourdéterminercetentier, onutilise laformuledu binômedeNewton,onobtient Exercice9.SoientAetBdeuxensemblefinis .On noteAB=(A∪B)￿￿(A∩B).Déterminer

Card(AB).

Indication:Applicationdesformules ducours .

Exercice10.SoitEunensembleà n∈NélémentsetA⊂Eunensembleà p∈Néléments,p￿￿n.

Quelestle nombredeparties deEquicontiennentun uniqueélémentde A? Indication:Remarquonsqu'uneparti ede Econtenantununi queélémentde Apeuts'écrire

souslafo rme{a}∪Boùa∈AetB⊂E￿￿A.OnaCard (E￿￿A)=..........,ily adonc...................façons

dechoisir kélémentsdeE￿￿A,pourk=0,...,n-p.Lenombr ed'ensemblesdans lecomplémentaire

deAestdonc n-p k=0 ...................=...................caronsait parlebinôme deNewtonque n k=0 n k Pourchoisirunélément deA,ona .......possibilitéscarCard (A)=.......Ainsi,le nombretotal d'ensemblesnecontenant qu'unseulélément deAest.................... 4quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24