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DÉMONTRER QU'UN POINT EST LE MILIEU D'UN SEGMENT

EXERCICES TYPE

1 Sur la figure ci-dessous, les droites (ES) et

(RO) sont parallèles. Démontre que S est le milieu de [OP]. 2 Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle rectangle en C, M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et AB = 4 cm. Quelle est la longueur du segment [AM] ? Justifie ta réponse. Dans le triangle RPO, le point E est le milieu de [RP], et la droite (SE) est parallèle au côté [RO]. Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté. Donc la droite (SE) coupe le côté [PO] en son milieu, le point S.Dans le triangle ABC rectangle en C, le point M est le centre du cercle circonscrit au triangle. Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse. Donc le point M est le milieu de l'hypoténuse [AB] et si

AB = 4 cm alors AM = 2 cm.

3 Sur la figure ci-contre, on

donne : AO = OB, AOC = 114°, BOC = 66°. a.Montrer que les points A, O et B sont alignés. b.Que représente le point O pour le segment [AB] ? 4 Le quadrilatère BLEU est un parallélogramme de centre S tel que sa diagonale [BE] a pour longueur 8 cm. Donne la longueur BS. a. Les angles AOC et BOC sont adjacents et AOC BOC =114° + 66° = 180°. L'angle AOB est un angle plat, donc les points A, O et B sont alignés. b. Le point O appartient au segment [AB] et AO = OB. Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment. Donc O est le milieu de [AB].Le quadrilatère BLEU est un parallélogramme de centre S. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc le point S est le milieu des diagonales [BE] et [LU]. Donc BS=1

2BE, c'est-à-dire BS = 4 cm.

5 ABC est un triangle tel que AB = 4 cm,

AC = 5 cm, et BC = 6 cm. Le point I est le milieu

de [AB] et D est le symétrique de C par rapport à

I. Donne les mesures de AD et BD en justifiant la

réponse. 6 Soit un segment [AB] de longueur 4,3 cm, un point M tel que AM = MB = 3,5 cm et un point N tel que AN = NB =2,8 cm. La droite (MN) coupe le segment [AB] en I. Montre que I est le milieu de [AB]. Le point D est le symétrique de C par rapport à I, donc I est l milieu du segment [DC]. Dans le quadrilatère ACBD, les diagonales [AB] et [DC] se coupent en leur milieu I. Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme. Donc ABDC est un parallélogramme. Les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur, donc AD = BC = 6 cm et BD = AC = 5 cm.Les points M et N sont tels que AM = MB et AN = NB. Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Donc la droite (MN) est la médiatrice du segment [AB]. Elle coupe le segment [AB] en I.

Si une droite est la médiatrice d'un segment

alors elle coupe ce segment en son milieu.

Donc le point I est le milieu du segment [AB].R

OPE S MAB C AB OC DÉMONTRER QU'UN POINT EST LE MILIEU D'UN SEGMENT

PROPRIÉTÉS UTILES

P1. Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment.O appartient à [AB] et OA = OB donc

O est le milieu de [AB].

P2. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. (Ceci est aussi vrai pour les losanges, rectangles et carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.)ABCD est un parallélogramme donc ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu. P3. Si A et A' sont symétriques par rapport à un point O alors O est le milieu du segment [AA'].A et A' sont symétriques par rapport au point O donc le point O est le milieu de [AA']. P4. Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle coupe ce segment en son milieu.(d) est la médiatrice du segment [AB] donc (d) coupe le segment [AB] en son milieu. P5. Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse.ABC est un triangle rectangle d'hypoténuse [AB] donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de [AB]. P6. Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et la parallèle (d) à (BC) coupe [AC] en J donc J est le milieu de [AC].AB(d)AB CD

AA'OABO

BOA BC A (d)I C BJquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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