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Loi de probabilite a densite : Exercices

Corriges en video avec le cours sur

jaicompris.com Demonter qu'une fonction est une densite de probabilite Dans chaque cas, justier que la fonctionfest une densite de probabilite sur l'intervalle I indique :

1)fest denie sur I=[0;2] par sa courbe ci-contre :

2)fest denie sur I=[-1;1] parf(x) =34

34
x2.

3)fest denie sur I=[0;+1[ parf(x) =ex.Calculer des probabilites avec une variable aleatoire continue

On considere la fonctionfdenie sur [0;+1[ parf(x) =exet X est une variable aleatoire de densitef.

Calculer les probabilites suivantes : a) P(1X2) b) P(X3).On considere la fonctionfdenie sur [0;4] parf(x) =18

x.

1) Verier quefest bien une densite de probabilite sur [0;4].

2) Soit X est une variable aleatoire de densitef. Determiner la probabilite : PX2(1X3).

3) Les evenements (X2) et (1X3) sont-ils independants?On considere la fonctionfdenie surh

2 ;2 i parf(x) =kcosxouk2R.

1) Determiner le reelktel quefsoit une densite de probabilite surh

2 ;2 i

2) Determiner le reela2h

2 ;2 i tel que P(aXa) =12 .On considere la fonctionfdenie sur [1;5] parf(x) =kt

2ouk2R.

1) Determiner le reelktel quefsoit une densite de probabilite sur [1;5].

2) Determiner le reelatel que P(Xa) = P(Xa).Esperance d'une variable aleatoire continue

Soit X une variable aleatoire de densitefdenie sur [0;3] parf(x) =19 x2. Determiner E(X).On considere la fonctionfdenie sur [1;+1[ parf(x) =2x 3.

1) Verier quefest bien une densite de probabilite sur [1;+1[.

2) Soit X une variable aleatoire de densitef. Determiner l'esperance de X, notee E(X).On considere la fonctionfdenie sur [1;2] parf(x) =2x

2.

1) Verier quefest bien une densite de probabilite sur [1;2].

2) Soit X une variable aleatoire de densitef. Determiner l'esperance de X, notee E(X).On considere la fonctionfdenie surh

0;2 i parf(x) = cosx.

1) Verier quefest bien une densite surh

0;2 i

2) Soient les fonctionsgetGdenies surh

0;2 i respectivement parg(x) =xcosxetG(x) =axsinx+bcosx, ouaetbsont des reels. Determineraetbtels que la fonctionGsoit une primitive deg.

3) Soit X une variable aleatoire de densitef. Determiner l'esperance de X, notee E(X).1

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