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Leçon 236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d"intégrales d"une ou plusieurs variables réelles (Mémoire pour le Master 2)
Novembre 2014
Florian LEMONNIER
ENS Rennes
Université de Rennes 1
Table des matières
Introduction2
1 Méthodes directes3
1.1 Primitives [Gou08] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.1.1 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.1.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.1.3 Polynômes en sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.3 Changement de variable [BP12, Gou08] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.4 Parenthèse sur la mesurabilité et l"intégrabilité [BP12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62 Utilisation de convergences 8
2.1 Sommes de Riemann [Gou08] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82.2 Suites et séries de fonctions [BP12, Gou08] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92.3 Régularité des intégrales à paramètre [BP12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113 Utilisation de l"analyse complexe [BMP05, AM04] 12
4 Calcul approché d"intégrales 16
4.1 Méthodes des rectangles [Dem06] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164.2 Méthode de quadrature de Gauss [Rom05] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184.3 Méthode de Monte-Carlo [Tou99] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20Références22
1Introduction
Le calcul intégral a de nombreuses applications en mathématiques. Tout d"abord, il permet de calcu-
ler des aires et des volumes d"objets dont on est capable de paramétrer le bord. Il permet d"établir la convergence de certaines suites en utilisant des sommes de Riemann, ou en comparant une intégrale à une série.En probabilités, on est souvent amené à calculer une intégrale pour déterminer la probabilité qu"une
variable aléatoire à densité prenne sa valeur dans un certain intervalle. Ceci a une grande application
quand on s"intéresse à des variables aléatoires normales : l"obtention d"intervalles de confiance par le
théorème central limite nécessite le calcul intégral.Dans cette leçon, on se placera dans le cadre de l"intégration de fonctions de la variable réelle. Cela ne
elle aura ici le rôle d"outil pour calculer d"autres intégrales de la variable réelle.Une première et large partie s"intéressera au calcul exact d"intégrales. On présentera diverses mé-
thodes, comme l"intégration par parties et le changement de variables, en dimension 1 ou plus; on uti-
lisera ensuite des résultats de convergence de suites et séries, ainsi que de continuité et dérivabilité
d"intégrales à paramètres : l"obtention d"équations différentielles, dont l"unicité de la solution est four-
nie par le théorème de Cauchy-Lipschitz, se révèlera cruciale. Enfin, on utilisera l"analyse complexe (le
théorème de résidus notamment) pour calculer des intégrales de la variable réelle.Cependant, on est forcé de constater qu"on ne peut pas toujours calculer une intégrale de façon
exacte : la gaussienne en est un illustre exemple. On abordera donc à la fin de ce mémoire quelques
méthodes de calcul approché d"intégrales : la méthode des rectangles, une méthode de quadrature (due
à Gauss), ainsi que la méthode de Monte-Carlo (basée sur la loi des grands nombres et le théorème
central limite). 21 Méthodes directes
1.1 Primitives [Gou08]
Soitfune fonction continue sur un intervalle[a,b]deR. La fonctionfadmet alors une primitiveF. SiFest facile à déterminer, on peut alors utiliser la formule bien connue : Z b af(x)dx=F(b)F(a)On adoptera la notation
Rf(x)dx=F(x) +klorsqueFest une primitive def, c"est-à-dire que l"ensemble des primitives defest l"ensemble des fonctionsx7!F(x) +k, oùk2R.1.1.1 Primitives usuelles
On commence par donner un tableau de primitives usuelles, qui ne se veut évidemment pas exhaus- tif.f(x)F(x)x a,a6=1x a+1a+11 xlnjxje xe2+b,b6=0ln
x+px 2+b1 x2+1arctanx1.1.2 Fractions rationnelles
Pour calculer l"intégrale d"une fraction rationnelle à coefficients réels, on commence par la décompo-
ser en éléments simples surR. On est ainsi ramené à calculer les primitives des fonctions de la forme :
Zdx(xa)hoùh2N
Z ax+b( x2+cx+d)hdxoùc24d<0 eth2NCes deux primitives peuvent être calculées en utilisant intégration par parties et changement de
variable, deux méthodes exposées plus bas.Exemple:On cherche une primitive de1x
(x2+1)2.On a :
1x (x2+1)2=1x xx 2+1x( x2+1)2.On en déduit alors :
Zdxx (x2+1)2=lnjxj 12 ln x2+1 +1211+x2+k.
31.1.3 Polynômes en sinus et cosinus
On veut calculer les primitives
Z sin mxcosnxdx, oùm,n2N. Simetnsont pairs, on opère parlinéarisation; sinon, il est préférable d"effectuer un changement de variable (la règle de Bioche sera pré-
sentée plus bas).Exemple:On cherche une primitive de cos4xsin2x.
On a :Z
cos4xsin2xdx=Z
cos 4xdxZ cos 6xdx.Or cos
4x=eix+eix2
4 =18 e4ix+e4ix2 +4e2ix+e2ix2+3 =18 cos(4x) +12 cos(2x) +38
De même cos
6x=132
cos(6x) +316 cos(4x) +1532 cos(2x) +516Et donc :
Z cos4xsin2xdx=1192
sin(6x) +564 sin(4x) +3164 sin(2x) +1116 x+k.1.2 Intégration par parties
Proposition 1 (Formule d"intégration par parties)Soientuetvdeux fonctions de classeC1sur le segment[a,b].
On a l"égalité suivante :
Z b au0(x)v(x)dx=u(b)v(b)u(a)v(a)Z b au(x)v0(x)dxCette formule est un corollaire de la formule de dérivation du produit : (uv)0(x) =u0(x)v(x) +u(x)v0(x) Application:Formule de récurrence des intégrales de WallisSoitn>2,Wn:=Z
p20sinn(x)dx=h
sinn1(x)cos(x)i p20+(n1)Z
p20cos2(x)sinn2(x)dx= (n1)(Wn2Wn).
Ce qui nous fournit :Wn=n1n
Wn2. Application:Évaluation de la fonction Gamma d"Euler aux points entiers naturelsPourn2N,G(n+1):=Z
0tnetdt=tnet¥
0+nZ0tn1etdt=nG(n).
Ce qui nous fournit :8n2N,G(n+1) =n!
1.3 Changement de variable [BP12, Gou08]
Proposition 2 (Formule de changement de variable unidimensionnel)SoitjunC1-difféomorphisme défini sur le segment[a,b], à valeurs réelles.
Soitfune fonction continue sur le segmentj([a,b]).On a l"égalité suivante :Zb
af(j(t))j0(t)dt=Z j(b) j(a)f(u)duCette formule est un corollaire de la formule de dérivation de la composée : (fj)0(x) =j0(x)f0(j(x)) Exemple:Règle de Bioche pour les fractions rationnelles en cos(x)et sin(x) Il s"agit d"étudier les invariances deR(cosx,sinx)dx:Si on a l"invariance x! x, on poset=cosx;
4 -Si on a l"invariance x!px, on poset=sinx;Si o na l"invariance x!p+x, on poset=tanx.
Application:On veut calculer une primitive dex7!sin3(x)1+cos2(x). La règle de Bioche nous invite à posert=cosx, et on a : Zsin3(x)1+cos2(x)dx=Z1t21+t2(dt) =t2arctan(t) +k=cos(x)2arctan(cos(x)) +k Proposition 3 (Formule de changement de variable multidimensionnel)SoitUun ouvert deRn.Soitj:U!RnunC1-difféomorphisme; on noteV=j(U).
16i,j6n.
Soitfune fonction continue surV.
On a l"égalité suivante :Z
V f(v)dv=Z Uf(j(u))jJj(u)jduApplication:Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires dansR2
SoitDun ouvert deR2, siD=(r,q)2R+[0,2p[(rcosq,rsinq)2D(c"est-à-dire siDreprésenteDen coordonnées polaires), alors on a : ZZ D f(x,y)dxdy=ZZ D f(rcosq,rsinq)rdrdq