[PDF] [PDF] Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul dintégrales



Previous PDF Next PDF




















[PDF] Exercices : Fonctions Dérivables - Chamilo

[PDF] Dérivation

[PDF] Première S Contrôle de Mathématiques n°4

[PDF] La formation de mots #8211 dérivation et compositi

[PDF] Les dérivations urinaires - Infirmierscom

[PDF] Fonction définie par une intégrale

[PDF] Dérivation I Nombre dérivé et tangente en un point

[PDF] COURS SUR LES FONCTIONS EXPONENTIELLES Bac Pro ter

[PDF] dérive génétique et sélection naturelle - SVT Vers

[PDF] Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuel

[PDF] 1 Exemples de distributions

[PDF] Dérivées des fonctions usuelles Opérations sur les

[PDF] Petit supplément sur les fonctions ? valeurs compl

[PDF] fonction d 'une variable complexe - CMAP, Polytech

[PDF] Fonctions de plusieurs variables - M212

Leçon 236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d"intégrales d"une ou plusieurs variables réelles (Mémoire pour le Master 2)

Novembre 2014

Florian LEMONNIER

ENS Rennes

Université de Rennes 1

Table des matières

Introduction2

1 Méthodes directes3

1.1 Primitives [Gou08] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3 Polynômes en sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Changement de variable [BP12, Gou08] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4 Parenthèse sur la mesurabilité et l"intégrabilité [BP12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 Utilisation de convergences 8

2.1 Sommes de Riemann [Gou08] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2 Suites et séries de fonctions [BP12, Gou08] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3 Régularité des intégrales à paramètre [BP12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3 Utilisation de l"analyse complexe [BMP05, AM04] 12

4 Calcul approché d"intégrales 16

4.1 Méthodes des rectangles [Dem06] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4.2 Méthode de quadrature de Gauss [Rom05] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.3 Méthode de Monte-Carlo [Tou99] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Références22

1

Introduction

Le calcul intégral a de nombreuses applications en mathématiques. Tout d"abord, il permet de calcu-

ler des aires et des volumes d"objets dont on est capable de paramétrer le bord. Il permet d"établir la convergence de certaines suites en utilisant des sommes de Riemann, ou en comparant une intégrale à une série.

En probabilités, on est souvent amené à calculer une intégrale pour déterminer la probabilité qu"une

variable aléatoire à densité prenne sa valeur dans un certain intervalle. Ceci a une grande application

quand on s"intéresse à des variables aléatoires normales : l"obtention d"intervalles de confiance par le

théorème central limite nécessite le calcul intégral.

Dans cette leçon, on se placera dans le cadre de l"intégration de fonctions de la variable réelle. Cela ne

elle aura ici le rôle d"outil pour calculer d"autres intégrales de la variable réelle.

Une première et large partie s"intéressera au calcul exact d"intégrales. On présentera diverses mé-

thodes, comme l"intégration par parties et le changement de variables, en dimension 1 ou plus; on uti-

lisera ensuite des résultats de convergence de suites et séries, ainsi que de continuité et dérivabilité

d"intégrales à paramètres : l"obtention d"équations différentielles, dont l"unicité de la solution est four-

nie par le théorème de Cauchy-Lipschitz, se révèlera cruciale. Enfin, on utilisera l"analyse complexe (le

théorème de résidus notamment) pour calculer des intégrales de la variable réelle.

Cependant, on est forcé de constater qu"on ne peut pas toujours calculer une intégrale de façon

exacte : la gaussienne en est un illustre exemple. On abordera donc à la fin de ce mémoire quelques

méthodes de calcul approché d"intégrales : la méthode des rectangles, une méthode de quadrature (due

à Gauss), ainsi que la méthode de Monte-Carlo (basée sur la loi des grands nombres et le théorème

central limite). 2

1 Méthodes directes

1.1 Primitives [Gou08]

Soitfune fonction continue sur un intervalle[a,b]deR. La fonctionfadmet alors une primitiveF. SiFest facile à déterminer, on peut alors utiliser la formule bien connue : Z b af(x)dx=F(b)F(a)

On adoptera la notation

Rf(x)dx=F(x) +klorsqueFest une primitive def, c"est-à-dire que l"ensemble des primitives defest l"ensemble des fonctionsx7!F(x) +k, oùk2R.

1.1.1 Primitives usuelles

On commence par donner un tableau de primitives usuelles, qui ne se veut évidemment pas exhaus- tif.f(x)F(x)x a,a6=1x a+1a+11 xlnjxje xe

2+b,b6=0ln

x+px 2+b1 x

2+1arctanx1.1.2 Fractions rationnelles

Pour calculer l"intégrale d"une fraction rationnelle à coefficients réels, on commence par la décompo-

ser en éléments simples surR. On est ainsi ramené à calculer les primitives des fonctions de la forme :

Zdx(xa)hoùh2N

Z ax+b( x2+cx+d)hdxoùc24d<0 eth2N

Ces deux primitives peuvent être calculées en utilisant intégration par parties et changement de

variable, deux méthodes exposées plus bas.

Exemple:On cherche une primitive de1x

(x2+1)2.

On a :

1x (x2+1)2=1x xx 2+1x( x2+1)2.

On en déduit alors :

Zdxx (x2+1)2=lnjxj 12 ln x2+1 +12

11+x2+k.

3

1.1.3 Polynômes en sinus et cosinus

On veut calculer les primitives

Z sin mxcosnxdx, oùm,n2N. Simetnsont pairs, on opère par

linéarisation; sinon, il est préférable d"effectuer un changement de variable (la règle de Bioche sera pré-

sentée plus bas).

Exemple:On cherche une primitive de cos4xsin2x.

On a :Z

cos

4xsin2xdx=Z

cos 4xdxZ cos 6xdx.

Or cos

4x=eix+eix2

4 =18 e4ix+e4ix2 +4e2ix+e2ix2
+3 =18 cos(4x) +12 cos(2x) +38

De même cos

6x=132

cos(6x) +316 cos(4x) +1532 cos(2x) +516

Et donc :

Z cos

4xsin2xdx=1192

sin(6x) +564 sin(4x) +3164 sin(2x) +1116 x+k.

1.2 Intégration par parties

Proposition 1 (Formule d"intégration par parties)Soientuetvdeux fonctions de classeC1sur le segment[a,b].

On a l"égalité suivante :

Z b au0(x)v(x)dx=u(b)v(b)u(a)v(a)Z b au(x)v0(x)dxCette formule est un corollaire de la formule de dérivation du produit : (uv)0(x) =u0(x)v(x) +u(x)v0(x) Application:Formule de récurrence des intégrales de Wallis

Soitn>2,Wn:=Z

p2

0sinn(x)dx=h

sinn1(x)cos(x)i p2

0+(n1)Z

p2

0cos2(x)sinn2(x)dx= (n1)(Wn2Wn).

Ce qui nous fournit :Wn=n1n

Wn2. Application:Évaluation de la fonction Gamma d"Euler aux points entiers naturels

Pourn2N,G(n+1):=Z

0tnetdt=tnet¥

0+nZ

0tn1etdt=nG(n).

Ce qui nous fournit :8n2N,G(n+1) =n!

1.3 Changement de variable [BP12, Gou08]

Proposition 2 (Formule de changement de variable unidimensionnel)SoitjunC1-difféomorphisme défini sur le segment[a,b], à valeurs réelles.

Soitfune fonction continue sur le segmentj([a,b]).

On a l"égalité suivante :Zb

af(j(t))j0(t)dt=Z j(b) j(a)f(u)duCette formule est un corollaire de la formule de dérivation de la composée : (fj)0(x) =j0(x)f0(j(x)) Exemple:Règle de Bioche pour les fractions rationnelles en cos(x)et sin(x) Il s"agit d"étudier les invariances deR(cosx,sinx)dx:

Si on a l"invariance x! x, on poset=cosx;

4 -Si on a l"invariance x!px, on poset=sinx;

Si o na l"invariance x!p+x, on poset=tanx.

Application:On veut calculer une primitive dex7!sin3(x)1+cos2(x). La règle de Bioche nous invite à posert=cosx, et on a : Zsin3(x)1+cos2(x)dx=Z1t21+t2(dt) =t2arctan(t) +k=cos(x)2arctan(cos(x)) +k Proposition 3 (Formule de changement de variable multidimensionnel)SoitUun ouvert deRn.

Soitj:U!RnunC1-difféomorphisme; on noteV=j(U).

16i,j6n.

Soitfune fonction continue surV.

On a l"égalité suivante :Z

V f(v)dv=Z U

f(j(u))jJj(u)jduApplication:Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires dansR2

SoitDun ouvert deR2, siD=(r,q)2R+[0,2p[(rcosq,rsinq)2D(c"est-à-dire siDreprésenteDen coordonnées polaires), alors on a : ZZ D f(x,y)dxdy=ZZ D f(rcosq,rsinq)rdrdq

Exemple:Volume de la boule euclidienne deRd:Bd:=n

x2Rdx21+...+x2d61o

Soitd>3.

V d=ld(Bd)=Z R d1fx21+...+x2d61gdx1...dxd Z R 2 Z R d21fx21+...+x2d261x2d1x2dgdx1...dxd2

1fx2d1+x2d61gdxd1dxd

Si x2d1+x2d=1,

alorsZ R Si x2d1+x2d<1, on posexi=uiq1x2d1x2d, pour 16i6d2. On définit alors clairement une application linéaire bijective de déterminant

1x2d1x2d

d2 1. V d=Z R 2 Z B d2

1x2d1x2d

d2

1du1...dud2!

1 fx2d1+x2d61gdxd1dxd Z f x2d1+x2d61gVd2

1x2d1x2d

d2

1dxd1dxd

=Vd2Z p pZ 1 0 1r2 d2

1rdrdq

=Vd22pZ 1 0 1r2 d2

1rdr=2pd

Vd2quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14