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Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes
Jean-Paul Vincent
2008Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes
1Fonctions à valeurs complexes
Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesLimites et continuité
Definition
Une fonction à valeurs complexes est une fonction dont l"image est contenue dansC. En particulier, une suite complexe est une suite (un)n0où pour toutn:un2C. Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesDefinition
La conjuguée d"une fonctionfà valeurs complexes est la fonction ¯fdéfinie par¯f(x) =f(x).La partie réelle d"une fonctionfà valeurs complexes est la fonctionRef:=12 (f+¯f)et sa partie imaginaire,Imf, est définie parImf=12i(f¯f). Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesLimites et continuité
Definition
Une partieAdeCest bornée s"il existe un réelMtel que toutélémentzdeAsoit tel que :jzj M.
Autrement dit,Aest contenue dans le disque de centre 0 de rayon M. Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesLimites et continuité
Definition
Une partieAdeCestouverte, si tout élémentadeAest le centre d"un disque contenu dansA. Une partieAest diteferméesi la partie complémentaireCnAest ouverte. Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesLimites et continuité
La somme et le produit de deux fonctions complexes se définissent de la même manière que pour les fonctions réelles.Theorem L"ensemble des fonctions complexes bornées est muni de structuresd"espace vectoriel et d"anneau (algèbre).Les notions de limite, de convergence, sont analogues aux notions
réelles, le module remplaçant la valeur absolue. Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesLimites et continuité
Definition
Nous dirons que la fonction complexefadmet une limite ena si pour toute suite (réelle)(un)n0qui tend versa, la suite (complexe)(f(un))n0admet une limite (cette limite étantun (unique) complexe sifest bornée ou¥sinon).La fonction complexefest continue ena, élément deC, si
elle est définie enaet si elle admet une limite finie (lim af2C) ena.Ces définitions peuvent s"écrire avec la notion de voisinage etC=C[ f¥g.
Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesLimites et continuité
Theorem
Une fonction complexe admet une limite`dansCsi et seulement si ses parties réelle et imaginaire admettent une limite.Remarque fa une limite infinie si et seulement si sa partie réelle ou sa partie imaginaire admet une limite infinie.Theorem Une fonction complexe admettant une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point. Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesLimites et continuité
Opérations algébriques sur les limites de fonctions Hormis ce qui concerne¥toutes les relations réelles se récrivent telles quelles. D"aprés ce qui précède, il est toujours possible de se ramener au cas réel.Theorem Soit I un intervalle deR, l"ensembleC(I)est muni de structures d"espace vectoriel et anneau. Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes Dérivation des fonctions à valeurs complexes Tous les résultats concernant les fonctions à valeurs complexes ont leurs équivalents pour les fonctions à valeurs dansR2, sauf exception. Les notions de fonctions dominantes, négligeables se transcrivent au cas complexe, par exemple : Soientfetgdeux fonctions définies sur un intervalleIet à valeurs complexes, on dit queg=o(f)ena(a2R) si et seulement si pour toute>0 il existe un voisinageVdeatel quex2V impliquejg(x)j ejf(x)j. Par suiteDefinition ffonction définie au voisinage deaet à valeurs complexes est dérivable ena, de dérivée égale àf0(a)si et seulement si, pour toutxau voisinage dea: f(x)f(a)f0(a)(xa) =o(jxaj) Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes Dérivation des fonctions à valeurs complexesTheorem
f , fonction complexe, est dérivable en a si et seulement siRef etImf sont dérivables en a. Dans ce cas :
f0(a) =Ref0(a) +iImf0(a)Démonstration.
L"opération qui à une fonction associe son développement limité est linéaire.Nous définirions de même une fonction dérivable sur un intervalle, une fonctionnfois dérivable, une fonction de classeCk (k2N[ f¥g). La formule de Leibniz est valable pour les fonctions à valeurs complexes (les fonctions de classeCkforment une algèbre). Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes Dérivation des fonctions à valeurs complexesRemarque
Le théorème de Rolle est faux. En effet, soitf(x) =eix, on a f(0) =1 etf(2p) =1 pourtant, pour toutx:jf0(x)j=1. Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes Dérivation des fonctions à valeurs complexesTheorem
Soit f , fonction complexe définie et continue sur[a,b], dérivable sur ]a,b[(et à dérivée bornée), alors : jf(b)f(a)j jbajsup t2]a,b[jf0(t)j Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes Dérivation des fonctions à valeurs complexesPreuve
Soientf1=Re(f)etf2=Im(f),aetbdeux réels quelconques, on poseg(x) =af1(x) +bf2(x), on peut appliquer le théorème des accroissement finis, version réelle, àg: il existecdans]a,b[tel que g(b)g(a) =g0(c)(ba), d"où : a(f1(b)f1(a)) +b(f2(b)f2(a)) = (af01(c) +bf02(c))(ba)Posonsa=f1(b)f1(a)etb=f2(b)f2(a), alors :
jf(b)f(a)j2= (af01(c) +bf02(c))(ba) Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes Dérivation des fonctions à valeurs complexes (suite).D"après Cauchy-Schwarz-Bouniakovsky :
jf(b)f(a)j2qa2+b2jf0(c)jjbaj
L"inégalité attendue est obtenue car :
pa2+b2=jf(b)f(a)j.(si la dérivée n"est pas bornée, la conclusion reste valide mais pas très
utile.) Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesIntégration
La définition de l"intégrale s"étend naturellement au cas d"une fonction fdéfinie sur un intervalle[a,b]et à valeurs complexes.Definition Soitf, définie sur[a,b]à valeurs complexes, continue par morceaux (telle queRefetImfsoient continues par morceaux). Alors l"intégrale defsur[a,b]est : Z b af(t)dt=Z b aRe(f)(t)dt+iZ b aIm(f)(t)dt Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesIntégration
Theorem (Propriétés)
Soit f une fonction complexe définie et continue par morceaux sur [a,b]où ab : Rb af(t)dtRb ajf(t)jdt Rb af(t)dt jbajsup[a,b]jfj Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesIntégration
Démonstration.
Soientf1=Re(f)etf2=Im(f),aetbdeux réels quelconques (ab) : aZ b af1+bZ b af2 =Z b aaf1+bf2 Z b ajaf1+bf2jIntégronsjaf1+bf2j pa
2+b2jfjen posant :
a=Z b af1,b=Z b af2 il vient : Z b af2 Z b afZ b ajfj La seconde inégalité de la proposition découle de la première. Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesPrimitives
Theorem
Soit f , définie et continue sur[a,b]à valeurs complexes, alors la fonction F:x7!Rx af(t)dt est l"unique primitive de f , nulle pour x=a. Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexesFormules de Taylor
Theorem
Les formules de Taylor-Young et de Taylor avec reste intégral sontvalables pour les fonctions complexes.Il n"y a pas d"égalité pour la formule de Taylor-Lagrange mais
l"inégalité est valide (et utile lorsque la dérivée d"ordren+1 est bornée).Theorem Soit f , définie, de classeCnsur[a,b], n+1fois dérivable sur ]a,b[, à valeurs complexes. Alors : f(b)å