[PDF] Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuel
[PDF] Intégrales dépendant d 'un paramètre - Math France
[PDF] Dérivées et différentielles des fonctions de plusi
[PDF] Dérivées partielles - Exo7 - Emathfr
[PDF] FICHE-56-Comment-deriver-les-fonctions-de-base-97-
[PDF] Tableau des dérivées élémentaires et règles de - L
[PDF] Tableau des dérivées élémentaires et règles de - L
[PDF] Calculs de dérivées Table des mati`eres 1 Fonction
[PDF] opérations sur les fonctions dérivées applications
[PDF] LA DÉRIVÉE
[PDF] Les intégrales
[PDF] contruction amateur d un vaurien - AS Vaurien Fran
[PDF] ecole nationale vete ecole nationale veterinaire d
[PDF] Médecins Spécialistes
[PDF] Dermite du siège chez le sujet âgé
INSTITUTUNIVERSITAIREDE TECHNOLOGIE
IUT"A"Pa ulSabatier ,Toulouse3.
DUTG´enieC ivil
ModuledeMath´ematiq ues.
MATH
EMATIQUES
El´ementsdecalculspourl'´ etude
desfonc tionsdeplusieursvariables etdes ´equati onsdi
´erentielles.
G.Ch `eze
guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http://www.mat h.univ-toulouse.fr/!cheze/Enseignements.html 2
R`egledujeu
Ceciestunsup portdecou rspou rlemoduleM3del'IUTG´enieCiv ilde Toulouse.Danscemoduleilest questiondefo nctions deplusieursvariableset d'´equationsdi
´erentielles.
Certainspassagesdecec ourscomportentdestrous, ilssontl` avolontairement. C'est`avousde lescomp l´eterduran tl'heure decour shebdomadaire.Lapar tie ducour strait´eeenamph ith´eˆatreseracompl´e t´eeet disponibler´eg uli`erementsur internet`al'adresse:http://www.ma th.univ-toulouse.fr/!cheze/. Lesexercic es`afaireenTDsetrouvent` alasuite ducoursetles corrections`ala findech aquech apitre. Jeser aireconnaissant` atoutepersonnemesignalantuneoudeserreursse trouvantdanscedocum ent.
Apr ´esent,autravailetboncourag e`atou s!
i iiR`egledujeu
Tabledesmati` eres
R`egledujeui
IFonctionsdeplusieursvariables1
1Fonctionsdeplusieursvariables5
1.1D´efi nition.................................5
1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariable s......6
1.2.1D´efin ition.............................6
1.2.2Commen trepr´esenterlegraphe d'unefonctiondedeuxvariables8
1.3Exer cicesduTD.............................14
1.4Cor rectiondesexercices.........................17
2D´eriv´eespartielles,Di
´erentielles25
2.1Rapp el...................................25
2.2D´er iv´eespartielles.............................26
2.3Di
2.4Utilisa tiondesdi
´erentielles,di
´erentielled'unefonctioncomp os´ee.30
2.5Exer cicesduTD.............................33
2.6Cor rectiondesexercices.........................34
3Approximationa
ne,Calculd'incertitude37
3.1App roximationd'unefonction`auneseulevaria ble...........37
3.2Appr oximationd'unefonctiondeplusieursvaria bles..........39
3.3Calcu ld'erreur..............................40
3.3.1Lecasd esfonc tionsd'une seulevariab le............40
3.3.2Lecasd esfonc tionsdeplu sieursvaria bles...........42
3.4Exer cicesduTD.............................45
3.5Corr ectiondesexercices.........................48
4Extremad'unefonctiondedeuxvariables55
4.1Rapp eldanslecasd'uneseu levariable.................55
4.2Extr ´emumlocald'unefonctiondeplusie ursvariables.........58
4.3Exer cicesduTD.............................64
4.4Cor rectiondesexercices.........................65
iii ivTABLEDESMATI ERES II
Equationsdi
´erentielles71
1
Equationsdi
´erentielleslin´eairesd'ordre173
1.1Pr´e sentationg´en´erale...........................73
1.1.1
Equationsdi
1.1.2Solution sd'une´equationdi
´erentielle..............74
1.1.3Inter pr´etationg´eom´etrique....................75
1.2M´e thodesder´esolutiondes´equat ionsdi
´erentielleslin´eairesd'o rdre177
1.2.1
1.2.2Calcul d'unesolutionpartic uli`ere................79
1.2.3Solution g´en´erale.........................81
1.2.4Astuce s..............................81
1.3Exer cicesduTD.............................85
1.4Corr ectiondesexercices.........................87
2
Equationsdi
´erentielleslin´eairesd'ordre2`ac oe
cientscons tants95
2.1G´en ´eralit´es................................95
2.2R´es olution.................................96
2.2.1R´esolu tiondel'´equationhomog`eneass oci´ee ..........96
2.2.2Calculd 'unesolutionpartic uli`ere................99
2.3Exe rcicesduTD.............................101
2.4Corr ectiondesexercices.........................102
IIIA nnexes109
AAnnalescorrig´ees111
BTrouverl'erreur121
CAlphabetgrec125
Premi`erepartie
Fonctionsdeplusieursvari ables
1 Jusqu'`apr´esentvousav ezsurtoutrencontr´edesf onctionsd'unevariable. Cepen- dantlesph´eno m`enes naturelsned´ependentpaseng´en´erald'uneseulevar iable.Par exemple:lavitessemoye nne vd´ependdeladistanceparc ourue detdu tempstmis poure ectuerceparcours,o nav=d/t.Un autree xempleestdonn´ep arlecalcul del'aired 'unrectang le:A=L"l.L 'aireestunefon ctiondelalon gueurLetdela largeurl.Da nscettepartie ,nousallons´etud ierlesfonctionsdeplus ieursvariables. Nousauronsun eattentiontoutepar ticuli`erep ourlesfonctionsdedeux variablescar danscecasnou spourr onsencor efairedesdess ins.Ensuitenousverronsquenous pouvonsaussifairedesca lculsded´eriv´ees .Celaserautilis´ epoure !ectuerdescalculs d'incertitudeetpourtrouverlesextr ema(ma ximum,minimum)d 'unefonctionde plusieursvariables. 3 4
Chapitre1
Fonctionsdeplusieursvari ables
Nousallonsdan scechapitred´ efinirlesfonct ionsdep lusieursvariables.Nousno us int´eresseronsplusparticuli`erementauxfonc tionsdedeu xvariablesetauxdive rses
1.1D´efinit ion
L'exempleleplussimpledefon ctio nsdedeux variablesestdo nn´epa rl'aired'un rectangle:A=L"l.Letl´etantdesnombresp ositifsnous repr´esentonscette fonctiondelamani`eresuiv ante: f:R "R #$R (L,l)%#$L"l R "R s'appelleledomaineded´ efin itiondelafonctionf. D'unemani`ere g´en´eralenouspouvonsavo irnvariableso`und´esigneunnombre entier. D´efinition1.Soitnunn ombreentieretDunepart iedeR n .Unefonctionfde nvariablesestunproc´ ed´e quiatoutn-uplet(x 1 ,...,x n )deDassocieununiqu e nombrer´eel.
Celasenote delaman i`eresuivant e:
f:D#$R (x 1 ,...,x n )%#$f(x 1 ,...,x n
Destle domaineded´ efinitiondef.
Remarque:Lanotation(x
1 ,...,x n )es tl`apourm ontrer quenousavons nva- riables.Enpratique,lo rsquen ousn'avonsquedeuxvariables nouslesnoton sxety plutˆotquex 1 etx 2 5
6Fonctionsdeplusieursvariables
Parexemple ,lafonctionsuivantedonn elad istanced'unpointdecoordonn´ees(x,y) `al'origin eduplan. f:R 2 #$R (x,y)%#$ x 2 +y 2 festunefon ctiondedeu xvariables,R 2 estsondom aineded´efi nition. Voici,iciunexe mpled'un efonct iondetroisvariables:( x;y;z). g:R"R"R #$R (x,y,z)%#$ xcos(y)+2y 3 z 5 gestunefo nctiondetr oisvariables,R"R"R estsondo maineded´e finition. Exercice1.Lafo rmulesuivantepermetd ed´efinirunefonctionde2v ariables: f(x,y)=ln (x)+s in(y)
1.Donner l'imagede (e,0).
2.D onnerleplus granddomainede d´efinitionpossibl epourf.
Solution:
1.f(e,0)=ln(e)+s in(0 )=1+0=1.
L'imagede(e,0)par fest1.
2.Pour queln(x)ex isteilfaut(etilsu"t)quex>0.Don cx&R
sin(y)ex istepourtouty&R.Doncy&R. Ainsileplusgra ndd omaineded´ efinitionpossiblepo urfest:R "R.
1.2Repr´es entationgraphiqued'unefonctionde
deuxvari ables
1.2.1D´efini tion
Avantdedonnerlad ´efinitio ndugraphed'unefonc tion dedeuxvariablesnous allonsrappeler cequ'estlegraphed'unefon ctiond 'unevariable.
D´efinition2.Soit
f:D#$R x%#$f(x)
Legra pheC
f def(fonctiond'uneseule variable)estl'ensemble despointsduplan deco ordonn´ees(x;f(x))avecx&D.
Celasenote :
C f ={(x,y)&R 2 |y=f(x),x&D}
1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariab les7
Ainsipourtrac erlegraphed'un efonctiond'unevariab lenousavons rajout´e unenouvelle variabley.Legrap heestalorsunecourb edansleplan R 2 Pourlesfonct ionsded euxvariablesxetynousallonsaus sirajouterunevariablez etlegra ph eseraalorsunesurfac edel'espaceR 3
D´efinition3.Soit
f:D#$R (x,y)%#$f(x,y)
Legra pheS
f def(fonctiondedeuxvariables) estl'en sembledespoin tsdel'espace deco ordonn´ees(x;y;f(x,y))avec(x,y)&D.
Celasenote :
S f ={(x,y,z)&R 3 |z=f(x,y),(x,y)&D}
Remarque:
S f estunes urfacedan sR 3 Ach aquepoint(x,y)&DcorrespondunpointsurlasurfaceS f .Vo icicomment onplac elespointsdans unrep` ere. (x,y) z x y (x,y,f(x,y))
Figure1.1-Utilis atio nd'unrep`ere`a3dimensio ns.
Afindevous familiar iseraveclesgra phesdesfonctionsdedeuxva riablesvoici quelquesexemples.
1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariab les9
Remarque:Cesdeuxderniersp lan snesontpa sdesrepr´ese ntationsgraphiq ues d'unefonctiond edeuxvariables(x,y).Ene !etnous nepouvonspas fairec orres- pondreunpointde(xOy)av ecunseulpoint decesp lans.
Exercice2.Soit
f:R 2 #$R (x,y)%#$x 2 +y 2
1.D´ eterminer,nommerettracerlaprojectiondans leplanxOzdeS
f {y=k} pourk=1;2;puispourk&R.
2.E stcequeS
f {y=k}estle graphed'une fonctiond'u nevariable?Sioui , laquelle?
3.D ´eterminer,nommerettracerlaprojectiondans leplanyOzdeS
f {x=0}.
4.Est cequeS
f {x=0}estle graphed'unef onctiond'une variable?Sioui, laquelle?
5.D ´etermineretnommerlaprojectiondansle planxOydeS
f {z=k}pour k=1;2;0;#1puispourk&R
6.Est cequeS
f {z=k}estle graphed'une fonctiond'u nevariable?Sioui , laquelle?
7.E nd´eduir elarepr´esentationgraphiquedef.
Solution:
1.-S f {y=1}={(x,y,z)&R 3 |z=x 2 +y 2 ,y=1}. S f {y=1}={(x,1,z)&R 3 |z=x 2 +1 2
Laproj ectiondansleplanxOzdeS
f {y=1}est: {(x,z)&R 2 |z=x 2 +1}
Nousobteno nsuneparab oledesommet(0,1).
-La projec tiondansleplanxOzdeS f {y=2}est: {(x,z)&R 2 |z=x 2 +4}
Nousobteno nsuneparab oledesommet(0,4).
-La projec tiondansleplanxOzdeS f {y=k}est: {(x,z)&R 2 |z=x 2 +k 2
Nousobteno nsuneparab oledesommet(0,k
2
10Fonctionsdeplusieursvariables
x z k 2
Figure1.4-Cou ped eS
f parleplany=k. 2.S f {y=k}estlegrap hed elafonctiond'uneseulev ariable : f y=k :R#$R x%#$x 2 +k 2 3.S f {x=0}={(x,y,z)&R 3 |z=x 2 +y 2 ,x=0}. S f {x=0}={(0,y,z)&R 3 |z=0+y 2
Laproj ectiondansleplanyOzdeS
f {x=0}est: {(y,z)&R 2 |z=y 2
Nousobte nonsuneparabo ledesommet(0,0).
4.S f {x=0}estlegraph ede lafonctiond'uneseulev ariable: f x=0 :R#$R y%#$y 2 5.-S f {z=1}={(x,y,z)&R 3 |z=x 2 +y 2 ,z=1}. S f {z=1}={(x,y,1)&R 3 |1=x 2 +y 2
Laproj ectiondansleplanxOydeS
f {z=1}est: {(x,y)&R 2 |1=x 2 +y 2
Nousobteno nslece rcledecentreOetde rayon1 .
1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariab les11
-La projec tiondansleplanxOydeS f {z=2}est: {(x,y)&R 2 |2=x 2 +y 2
Nousobteno nslece rcledecentreOetde rayon
2. -La projec tiondansleplanxOydeS f {z=0}est: {(x,y)&R 2 |0=x 2 +y 2
Nousobte nonslepo intO(l'originedurep`ere).
-La projec tiondansleplanxOydeS f {z=#1}est: {(x,y)&R 2 #1=x 2 +y 2 Cetensem bleestvidecarlaso mmededeux ca rr´esestn´ecesa irement positive. -L aproje ctiondansleplanxOydeS f {z=k}est: {(x,y)&R 2 |k=x 2 +y 2 Commek>0,nou sobtenonslece rcledecentreOetde rayon k.
6.Uncerc lenepasˆetrelare pr´ese ntationgra phiqued'unefonct iond'uneseule
quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24
[PDF] de la 1`ere S `a la TS Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1