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[PDF] 22 Quelques propriétés des intégrales définies

Définition2.4.(Intégrabili téausensdeR iemann)Unefonc tionréellef:[a,b]Restdite intégrablesur[a,b],si ??>0,?f 1 ,f 2 :[a,b]Rfonctionsenescalierstell esque : 1.f 1 ?f?f 2 (i.e.?x?[a,b],f 1 (x)?f(x)?f 2 (x)) 2. a b f 2 (x)dx- a b f 1 (x)dx

Théorème2.5.(Intégrale définie)Onsu pposequelafonctionré ellef:[a,b]Restinté grablesur

0 Alorslasuite réelle determegénérale I n convergedansRets alimit e,notée a b f(x)dxestappel éeintégraledéfiniede fsur[a,b]. Danscecour snousn ousintéressero nsessentiell ementauxfonctionscontinueset auxfonctionsconti- nuesparmo rceaux,dé finiessurunintervallefermébo rné[a,b]deR. Définition2.6.Ondi tquelafon ctionf:[a,b]Restcont inueparmorceauxsifestborn éeet l'ensembledespointsdedisco ntinuité defestdeca rdinal fini. Nousadmettr onsetutiliseronssouventle théorè mesuivant: Théorème2.7.Soit[a,b]unin tervallefermébornédeR.Alorstoutefonctioncontinuef:[a,b]R estinté grablesur[a,b].

Note2.8.Dansl'exp ression

a b f(x)dx,aetbsontlesbo rnesd'intég ration,xestlav ariabl ed'inté-

gration;c'estunevariab lemuette.Ellepe utdoncêt reremplacéepartoute autrevaria ble,àl'exception

dece llesdesbornesd'int égratione tbiensûrdelavaria bleutiliséepournomméelafonc tion.Ainsi,si f:

[a,b]Restinté grablesur[a,b],onaleségalitéssuivantes: a b f(x)dx= a b f(t)dt= a b f(u)du= a b f(v)dv= a b f(y)dy.

2.2Que lquespropriétésdesintégral esdéfinies

Onsu pposedanslalistedespr opriétésci- dessou sque[a,b]estunin terval lefermébornédeR,fetg

sontdesfon ctions intégrablessur[a,b].

1.Qu andlesbornesd 'intégratio nsontconfondues:

a a f(x)dx=0

2.La relat iondeChasles:

?c?[a,b], a c f(x)dx+ c b f(x)dx= a b f(x)dx

3.Qu andonpermutele sbor nesd'intégration:

b a f(x)dx=- a b f(x)dx

4.La linéa rité:

i. a b (f+g)(x)dx= a b f(x)dx+ a b g(x)dx ii. ?λ?R, a b (λf)(x)dx=λ a b f(x)dx

5.Qu andlegraphed'u nedesf onctionsesttou joursaudessusdel' autre:

Sif?gsur[a,b],alors

a b f(x)dx? a b g(x)dx

2.2Quel quespropriétésdesintég ralesdéfinies11

6.Com paraisondelavaleurabsoluedel'i ntégra leetde l'intégraledelavaleura bsolue :

a b f(x)dx a b |f(x)|dx

2.3Pri mitives:calculd'intégralesdéfinies

Souvent,danslapratique,cal culerun eintég raledéfinieseramènerapournous,àch ercheruneprim itive

pourlafon ctionà intégrer. Définition2.9.Soitf:[a,b]Runefonc tionréelle.Onappellepri mitivedef,toutefonctiondéri- vableFdéfiniesur[a,b]etvér ifiantF =f.

Exemple2.10.

•Surl' intervalle[-2,3],lafonctionFdéfinieparF(x)=-cos(x)estunep rimitive delafonction fdéfiniesur[-2,3]parf(x)=sin(x). •SurR,lafonctionx- 1 2 x 2 estune primitive def:x-x;lafonctionx- 1 2 x 2 +7enes t uneaut re. Théorème2.11.Sil afoncti onf:[a,b]Radmetunepri mitiveF,alorslesprimitivesdefsont touteslesfoncti onsGdela formeG=F+λpourλparcourantR. Corollaire2.12.Soientf:[a,b]Runefonc tionréellesupposéeadmett reuneprimitiveF,x 0 ?[a,b] ety 0 0 enx 0 Exemple2.13.Soitf:[-2,2]Rdéfinieparf(x)=-x.fadmetuneuniqu eprimitiv eF,prenant lava leur3en1.PourdéterminerF,onécritquetouteprimitivedefestdel aforme F(x)=- 1 2 x 2

oùλestunec onstanter éelle.LaconditionF(1)=3fixelava leurde laconstanteλ.F(1)=3siet seule-

mentsiλ= 7 2 .Conclusion:F(x)= 1 2 (-x 2 +7). Note2.14. Uneprim itive(quellequ'ellesoit)de f:[a,b]Restauss iappeléeintégral eindéfiniedef etest notée f(x)dx(noterl'absence debornes). Remarque2.15.(conséque ncedelalinéari tédeladérivation)

1.Po urdeuxfoncti onsf,g:[a,b]R,siFetGsontdesprimi tivesr espectivesdefetg,alorsla

somme(F+G)estunep rimitived e(f+g).

2.Si festunep rimitived ef,alorspourtoutréelλ,(λF)estunep rimitive de(λf).

Théorème2.16.(théorème delamoyenne)Soitf:[a,b]Runefonc tionréellecontinuesur [a,b].Ilexisteunpointc?[a,b]telquef(c)= 1 b-a a b f(x)dx. (Lenom breréel 1 b-a a b f(x)dxestlamoy enne delafonctionfsurl'in tervalle[a,b]). Enut ilisantlethéorèmedelamoyen neonpe utprouverlethéorèmefonda mentalsuivant: Théorème2.17.Soitf:[a,b]Runefonc tionréellecontinuesur[a,b].Etantdonnéunpointx 0 x 0 x f(t)dtestunep rimitivede f.Cetteprimitive s'annuleenx 0 Danslaprat ique,c 'estlecorollairesuivantque l'onappliquep ourcalculer l'intégraledéfinied'une fonctiondontonconna îtuneprimitiv e. Théorème2.18.Soitf:[a,b]Runefonc tionréellecontinuesur[a,b].SiFestunep rimitived ef, alorsona a b f(x)dx=F(b)-F(a).

12Intégration:fonctionréelled'unevari ableréelle.

2.4Tech niquesd'intégration

Danscepara graphe ,ondécritlestechniquesdebaseàmaî triserpou rmeneràbienl ecalculd'unein té-

graledéfinie.

2.4.1Primiti vesdefonctionsusuelles

Lali stedeprimitives defonc tionsusuellesàconnaître: Primitivesdequelquesfonctionsusu ell es(λestunec onstanterée lle)

1)pou rα?R,α-1,ona

x dx= x

α+1

2) 1 x dx=ln|x|+λ

3)p ourα?R,α0,ona

e αx dx= 1 e αx

4)p ourunréelastrictementpositifetdifférentde1,

a x dx= a x ln(a) 5) sin(x)dx=-cos(x)+λ 6) cos(x)dx=sin(x)+λ

2.4.2Techni qued'intégrationparparties

Late chniqued'intégrationparpar tiesestfondéesurlaformulededér ivatio nd'unproduitdefonctions

dérivables: (u×v) =u

×v+u×v

Théorème2.19.Soientuetvdeuxfoncti onsréellescontinûmentdériv ables(i.e.desfonctionsdériva-

blesetdo ntlesd érivéessontc ontinues)s urunintervalleI.

Alorslafoncti onréel leproduitu

×vadmetuneprimi tivesurIeton a:

1. (u

×v)(x)dx=(u×v)(x)-

(u×v )(x)dx

2.si aetbsontdeuxpo intsdeI,

a b (u

×v)(x)dx=[(u×v)(x)]

a b a b (u×v )(x)dx (danscetteformu le,[(u×v)(x)] a b désigne(u(b)×v(b)-u(a)×v(a))

Exemple2.20.

1.Cal culeruneprimitivedel afonctionf:RRdéfinieparf(x)=xe

αx oùαestunno mbrer éel nonnul .

Solution:

a)O nposeu (x)=e αx etv(x)=x,cequidonneparexempleu(x)= 1 e αx enu tilisantlesfor- mulesdesprimi tivesdesf onctionsusuelles.Onav (x)=1. b)En utilis antlea)etlatechniqued'intég ratio nparpar ties,onob tient: xe αx dx= 1 xe αx 1× 1 e αx dx.

Onen dédui t

xe αx dx= 1 xe αx 1 2 e αx +λ,oùλestuneco nstanterée llequelconque. 2. Calculeruneprimitived elafoncti onf:]0,+∞[R,f(x)=ln(x).

Solution:onposeu

(x)=1,v(x)=ln(x),d'oùu(x)=x,v (x)= 1 x etal ors ln(x)dx=xln(x)- x× 1 x dx=xln(x)- dx,cequidonne ln(x)dx=xln(x)-x+λoùλestune constanter éellequelconque.

2.4Techn iquesd'intégration13

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