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PSI Moissan 2013Cinematique des
uidesSeptembre 2013Cinematique des uidesL'objectif de la cinematique des
uides est de se doter des outils necessaires a la description du mou- vement du uide. Une particule uide, a la base de la description du uide, etant un systeme deformable, on ne peut pas parler delavitesse du uide, mais du champ de vitesses dans le uide, ce qui va necessiter l'introduction progressive d'elements d'analyse vectorielle qui seront reutilises plus tard.I Description du mouvement du
uideI.1 Particule
uide Un uide est une substance materielle susceptible de se deformer et de s'ecouler sous l'eet d'une force. L'etat physique d'un uide est le plus souvent gazeux ou liquide, bien que certains systemes solides puissent ^etre consideres comme uides sur des grandes periodes de temps (glacier qui s'ecoule).A l'echelle microscopique, le
uide est caracterise par une absence de structure et une agitationthermique. Cette agitation peut ^etre grossierement decrite a l'aide dulibre parcours moyen`qui est la
distance moyenne parcourue par une molecule entre deux chocs (cas du gaz) ou par la distance moyenne intermoleculaire(cas du liquide). En ordre de grandeur,`. On peut estimer que`100nmest la borne superieure du monde microscopique. A l'echelle macroscopique, les capteurs de mesure les plus precis eectuent des mesures sur des dis- tances de l'ordre deL101mm.L'echelle mesoscopiquelest l'echelle situee entre ces deux extr^emes. A cette echelle, on va considerer
qu'il y a susamment de particules dans un volume de contr^olel3pour pouvoir y eectuer une moyenne qui ne varie pas au cours du temps a cause des uctuations statistiques microscopiques. Par ailleurs,cette echelle est largement inferieure a l'echelle macroscopique, ce qui permet de considerer les grandeurs
macroscopiques (pression, temperature, etc ...) comme uniformes. Un volume elementairevl3situe au pointMest donc appeleparticule uide, ce qui permet d'utiliser les grandeurs macroscopiques aupointMdans le sens suivant :La valeur de la grandeur macroscopiqueGau pointMest la valeur moyenne de cette grandeur
sur le volume mesoscopiquel3d.Remarque :La particule uide est un systeme ferme.I.2 Description LagrangienneLa description Lagrangienne est une description dans laquelle on s'interesse au mouvement
d'uneparticuleuidei.C'est la description qui est implicitement utilisee en mecanique du point. On repere la position de la
particule uide par le vecteur positionÝÝÑOMiptq, et on peut alors denir sa vitesse ~v iptq dÝÝÑOMiptqdtLa seule variable explicite intervenant dans la position et la vitesse est le tempst. On retrouve dans cette
description la notion de trajectoire, qui est l'ensemble des positions occupees au cours du temps par la
particule uide. 1PSI Moissan 2013Cinematique des
uidesSeptembre 2013Cette description "naturelle" qui correspond au suivi d'une particule par l'observateur est cependant
inapte a rendre compte de l'etat global du uide qui necessiterait le suivi de toute les particules de uide.Le nombre de particules
uide dans un ecoulement macroscopique emp^eche ce suivi.I.3 Description EulerienneLa description Eulerienne est une description dans laquelle on s'interesse au mouvementdes
particulesuides passant en un pointMxe dans le referentiel considere.La vitesse est alors une fonction des coordonnees d'espace et de temps~vpM;tqet constitue un champ
vectoriel appelechamp des vitesses. Il faut remarquer que la vitesse (au sens Eulerien) au pointMa deux instants dierentstett1est donc la vitesse (au sens Lagrangien) de deux particules uides dierentes. Par ailleurs, compte tenu de la denition, la vitesse selon l'axexn'est pasdx{dt. Dans la suite, sauf mention explicite, on se placera toujours en mecanique des uides dans la descriptionEulerienne du mouvement du
uide.I.4 Lignes de courantUne ligne de courant est une ligne du champ~v. C'est une courbe orientee qui est tangente en
chacun des points au vecteur~va un instant donne. Une ligne de courant depend de l'instant considere.Mathematiquement, une ligne de courant est donc denie par le lieu ou ~v^d~lÝÑ0 Remarque :Cette notion est analogue a celle de ligne de champ rencontree en electromagnetisme en1ere annee.
Remarque bis :La notion de trajectoire (formalisme Lagrangien) est a separer de la notion de lignede courant : il n'y a pas de raison a priori pour que les trajectoires des particules soient identiques aux
lignes de champ a un instant donne ... sauf si les lignes de courant ne changent pas au cours du temps!
Situation atligne de courant
particuleuide~vpM;tqet atdtdans le cas d'un ecoulement permanent et d'un ecoulement non permanentligne de courant~vpM;tq~vpM;tqdt(trajectoire)ligne de courant~vpM;tq~vpM;tqdt(trajectoire)2
PSI Moissan 2013Cinematique des
uidesSeptembre 2013I.5Ecoulement permanentUn ecoulement permanent (ou stationnaire) est un ecoulement dans lequel les champs euleriens
denis ne dependent pas du temps. En particulier, la vitesse ne depend pas du temps~vpM;tq ~vpMq. Les trajectoires des particulesuides se confondent alors avec les lignes de courant.PreuvePar denition, chaque element de trajectoired~lMveried~lM~vpM;tqdt, ou~vpM;tqest la
vitesse de la particule enpM;tq. Si la ligne de courant n'est pas modiee entretettdt,~vne depend que deMetd~lM~vpMqdt. Cet element de trajectoire est confondu avec la ligne de courant.II Derivee particulaire
Dans le cadre de la dynamique, nous allons avoir besoin de deriver un certain nombre de grandeurs par rapport au temps. En representation Lagrangienne, cette operation ne presente pas de diculte. Ilen va autrement en representation Eulerienne puisque la variation d'une grandeur physique associee a la
particule uide par rapport au temps peut provenir de deux sources : la v ariation"in trinseque"temp orelledu c hampEulerien, le d eplacementde la particule uide dans le c hampEulerien, eventuellementnon uniforme.II.1 Exemple du champ de temperature
Considerons un champ de temperature non uniforme et variable dans le tempsTpx;y;z;tqque nousetudions en coordonnees cartesiennes pour simplier l'etude. Lors d'un deplacement dans l'air, la particule
uide situee enpx;y;zqa l'instanttse retrouve a l'instanttdta la positionpxvxdt;yvydt;zvzdtq, ~vvx~exvy~eyvz~ezetant le champ eulerien des vitesses. Sa temperature est alorsTpxvxdt;yvydt;zvzdt;tdtq
Laderivee particulairede la temperature est, par denition, la derivee par rapport au temps de la temperature d'une particule uide suivie dans son mouvement. On la note DTdtDTDtTpxvxdt;yvydt;zvzdt;tdtq Tpx;y;z;tqdt
qui se reecrit au premier ordreDTDt1dt
BTBxvxdtBTByvydtBTBzvzdtBTBtdt
ce qui permet d'ecrireDTDtvxBTBxvyBTByvzBTBzBTBt
On peut faire apparaitre un operateur sur la fonctionTdans cette formule DTDt v xBBxvyBByvzBBz TBTBtCommeÝÝÑgradBBx~exBBy~eyBBz~ez
~vvx~exvy~eyvz~ez, /-ñ~vÝÝÑgradvxBBxvyBByvzBBz 3PSI Moissan 2013Cinematique des
uidesSeptembre 2013que l'on reconnait dans l'expression de la derivee particulaire, ce qui donneDTDt p~vÝÝÑgradqTBTBt
Remarques :
On ob tientdonc une expression in trinsequede la d eriveeparticulaire, c'est adire qu'elle ne d epend
pas du systeme de coordonnees choisi (bien que nous ayons eectue la demonstration en coordonnees cartesiennes), la d eriveeparticulaire est un "p ont"en treles descriptions Eulerienne et Lagrangienne du uide,II.2 Interpretation des termes
La derivee particulaire comporte, comme attendu, deux termes : le te rmeBTBtrepresente la variation intrinseque temporelle du champ de temperature. C'est par exemple la variation du champ de temperature dans une piece remplie d'air au cours d'une journee, le terme p~vÝÝÑgradqTest appele termeadvectif. Il est du au deplacement de la particule uide (v doit ^etre non nul) dans le champTnon uniforme (s'il est uniforme, le gradient est nul).II.3 Derivee particulaire d'un champ vectoriel
On admettra que la relation precedente reste vraie pour un champ vectorielÝÑA. La derivee particulaire
s'ecrit donc de maniere generaleDÝÑADt p~vÝÝÑgradqÝÑABÝÑABt(1)Remarque :Les parentheses dans le terme advectif sont indispensables dans le cas d'un champ vectoriel,
puisque prendre le gradient d'un champ vectoriel n'a pas de sens.II.4 Application au champ de masse volumique
La derivee particulaire de la masse volumique a pour expressionDDt p~vÝÝÑgradqBBt
Cette expression nous servira a etablir une expression de l'equation de conservation de la masse.II.5 Application a l'acceleration
Si on applique la formule de derivee particulaire a la vitesse, on accede a l'acceleration, qui va nous
servir dans le chapitre suivant :~aD~vDt p~vÝÝÑgradq~vB~vBt(2)En utilisant la formule (6) du formulaire, on obtient
gradp~v~vq ÝÝÑgradpv2q 2~v^ÝÑrot~v2p~vÝÝÑgradq~v 4PSI Moissan 2013Cinematique des
uidesSeptembre 2013ce qui permet de reecrire le termep~vÝÝÑgradq~v: pÝÑrot~vq ^~v et d'obtenir une deuxieme version de l'acceleration particulaire~aD~vDtÝÝÑgradv22pÝÑrot~vq ^~vB~vBt(3)Cette relation fait intervenir un nouvel operateur, l'operateur rotationnel
ÝÑrot, deni dans le formulaire
dont on donnera une interpretation physique dans la derniere partie du chapitre.III Debit et conservation de la masse
III.1 Debits
III.1.1 Debit volumiqueLe debit volumiqueDva travers une surface orientee est le volume de uide traversant cette surface par unite de temps.~vdt dÝÑS~v
Le volume elementaire traversant la surfacedÝÑSpendant l'intervalle de tempsdtestdt~vdÝÑS.
Le debit volumique elementaire vaut doncdDvdt
~vdÝÑSet le debit volumique total s'obtient en integrant sur toute la surface :D v¼ ~vdÝÑS(4)Le debit volumique est donc le ux du champ de vitesse a travers la surface (voir denition du ux dans le formulaire). Il s'exprime enm3s1. III.1.2 Debit massiqueLe debit volumique massiqueDma travers une surface orientee est la masse de uide tra- versant cette surface par unite de temps.~vdt dÝÑS~v
5PSI Moissan 2013Cinematique des
uidesSeptembre 2013Le volume elementaire traversant la surfacedÝÑSpendant l'intervalle de tempsdtestdt~vdÝÑS. La
masse elementaire traversant la surface est doncmouest la masse volumique du uide. Le debit massique elementaire vaut doncdDmdt ~vdÝÑSet le debit massique total s'obtient en integrant sur toute la surface :D m¼ ~vdÝÑS(5)Le debit massique est donc le ux d'un vecteur ~jm~va travers la surface . Il s'exprime enkgs1.Le vecteur
~jmest levecteur densite de courant massiqueet s'exprime enkgm2s1. On peut reecrire l'expression du debit massiqueD m¼ jmdÝÑS(6)III.1.3 Debit d'une grandeur extensive quelconque Le debitDGd'une grandeur extensiveGa travers une surface orientee est la quantite deGtraversant cette surface entretettdt.Le volume elementaire traversant la surfacedÝÑSpendant l'intervalle de tempsdtestdt~vdÝÑS. La
quantite elementaire deGtraversant la surface est doncGgougG est la grandeur volumique (intensive) associee aG. Le debit elementaire vaut doncdDGgdt g~vdÝÑSet le debit total s'obtient en integrant sur toute la surface :D G¼ g~vdÝÑS(7)Le debit est donc le ux d'un vecteur ~jGg~va travers la surface . Le vecteur~jGest levecteur densite de courant deG. On peut reecrire l'expression du debit massiqueD G¼jGdÝÑS(8)Remarque :Les vecteurs densite de courants evoques ici sont des analogues du vecteur densite de
courant electrique ~j~vvu en premiere annee en electromagnetisme.III.2 Conservation de la masse
III.2.1 Bilan global
On considere un volume de
uideVentoure par une surface fermee . On cherche a calculer la variation de masse dans ce volume (dit de contr^ole) entre les instantst(massemptq) ettdt(massemptdtq). La variation de masse est alors egale a la masse qui rentre dans le volumeVdans l'intervalle
dt. Par convention, une surface fermee est orientee vers l'exterieur, donc mptdtq mptq Dmdt 6PSI Moissan 2013Cinematique des
uidesSeptembre 2013et donc dmdt jmdÝÑS ce qu'on reecritdm dtjmdÝÑS0(9) Cette equation est l'equation globale de conservation de la masse. Elle est valable si les variations de
masse sont dues uniquement aux mouvement du uide.III.2.2 Bilan local
On reprend l'equation precedente en utilisant le fait que m½ V d ouest la masse volumique du uide. On peut alors ecrire, en echangeant derivee temporelle et integrale spatiale½VBBtd¿
jmdÝÑS0 On utilise alors le theoreme de Green-Ostrogradski (formulaire) jmdÝÑS½ V div ~jmd pour reecrire l'equation de conservation de la masse VBBtdiv~jm
d0Cette relation etant vraie quelque soit le volume d'integrationV, on obtient alors la version locale de
l'equation de conservation de la masseBBtdiv~jm0(10) Remarque :Cette relation fait intervenir un nouvel operateur, l'operateur divergence div, deni dans
le formulaire dont on donnera une interpretation physique dans la derniere partie du chapitre. Comme ~jm~v, d'apres le formulaire, div ~jmdivp~vq ~vÝÝÑgraddiv~v et doncBBt~vÝÝÑgraddiv~v0
ou l'on voit apparaitre la derivee particulaire de la masse volumiqueDDtBBt~vÝÝÑgrad
ce qui permet d'obtenir une deuxieme version 7PSI Moissan 2013Cinematique des
uidesSeptembre 20131DDtdiv~v0(11) III.2.3 Sources et puits
Les equations precedentes ne tiennent pas compte de lieux d'apparition ou de disparition de matiere,que l'on va appeler respectivement sources et puits. On tient compte de ces modications en ajoutant des
termes de debit massique des sourcesDmset des puitsDmp, positifs, dans le bilan global, ce qui donnedm
dt jmdÝÑSDmsDmp(12)III.3Ecoulement stationnaire
Dans le cas d'un ecoulement stationnaire (ou permanent),ne depend pas du temps, doncBBt0 et donc div ~jm0 qui est une condition valable partout dans l'ecoulement. On a alors, d'apres le theoreme de Green-Ostrogradski
D m¿ jmdÝÑS½ V div ~jmd0Le debit massique est donc nul a travers toute surface fermee. Par ailleurs, d'apres le formulaire, le
debit massique est le m^eme a travers toute section d'un tube de courant. On parle de ux (ou de debit) conservatif. III.4