[PDF] fic00105pdf - Exo7 - Exercices de mathématiques

2x3cosx+1

7. lim x!01+tanx1+thx

1=sinx

8. lim x!e;x1xx1ln(1px 21)
10. lim x!+¥xln(chx1)x 2+1 11. lim x!0;x>0(sinx)xxsinxln(xx2)+xlnx 12. lim x!+¥ln(x+1)lnx x 13. lim x!1=p2 (arcsinx)2p2162x21 14. lim x!+¥cos(a+1x )cosa x(où cosa6=0) 1.

11x2x3(ordre 7 en 0)

1cosx(ordre 7 en 0)

3. arccos px tanx(ordre 3 en 0) 4. tan x(ordre 3 enp4

5.(chx)1=x2(ordre 2 en 0)

1 6.tan

3x(cos(x2)1) (ordre 8 en 0)

7. ln(1+x)x

2(ordre 3 en 1)

8. arctan (cosx) (ordre 5 en 0) 9. arctan qx+1x+2(ordre 2 en 0) 10. 1x

21arcsin

2x(ordre 5 en 0)

11. Rx2 x1p1+t4dt(ordre 10 en 0) 12. ln

å99k=0xkk!

(ordre 100 en 0) 13. tan

3p4(p3+x3) (ordre 3 enp)

1=x.

233p8x3+7x2+1.

2+3x+5x+1.

Equi valentsimple en 0, 1, 2 et +¥de 3x26x

Equi valentsimple en 0 de (sinx)xx2(xx2)sinx.

Equi valentsimple en +¥dexthx.

Equi valentsimple en 0 de tan (sinx)sin(tanx).

3deun=1n!ånk=0k!.

2. 2. Dév eloppementasymptotique à la précision 1x

3en+¥dexln(x+1)(x+1)lnx.

2 n. 1. Equi valentsimple quand ntend vers+¥defn(a+b)fn(a)fn(b). 2.

Même question pour eafn(a)1+a22n.

]. Pourn2N, on poseun+1=sin(un). 1. Montrer brièv ementque la suite uest strictement positive et converge vers 0. 2. (a) Déterminer un réel atel que la suiteuan+1uanait une limite finie non nulle. (b) En utilisant le lemme de C ESARO, déterminer un équivalent simple deun. simple deunquandntend vers+¥. naturel donné. On notexncette solution. 2. T rouverun dév eloppementasymptotique de xnà la précision1n 2. 1.

Montrer que l"équation x+lnx=kadmet, pourkréel donné, une unique solution dans]0;+¥[, notéexk.

2. Montrer que, quand ktend vers+¥, on a :xk=ak+blnk+clnkk +olnkk oùa,betcsont des constantes

à déterminer.

2six6=0 et 1 six=0.

1. Montrer que fadmet en 0 un développement limité d"ordre 2. 2.

Montrer que fest dérivable surR.

3. Montrer que f0n"admet en 0 aucun développement limité d"aucun ordre que ce soit. 3

1arcsinx(existence d"une tangente ?)

Equi valentsimple de arccos xen 1.

2. Soit aklek-ème coefficient. Montrer queakest le nombre de solutions dansN2de l"équationp+2q=k.

Correction del"exer cice1 N1.Si x2]0;p[, sinx>0, de sorte que la fonction proposée est bien définie sur un voisinage pointé dep2

(c"est-à-dire un voisinage dep2 auquel on a enlevé le pointp2 ) et de plus(sinx)1=(2xp)=eln(sinx)=(2xp).

Quandxtend versp2

, sinxtend vers 1 et donc ln(sinx)sinx1=

1cosp2

x 12 p2 x

2=(2xp)28

Donc, ln(sinx)2xp 2xp8 !0 et enfin(sinx)1=(2xp)=eln(sinx)=(2xp)!e0=1. lim x!p2 (sinx)1=(2xp)=1.2.Si x2]0;p[np2 ,jtanxj>0, de sorte que la fonction proposée est bien définie sur un voisinage pointé de p2 et de plusjtanxjcosx=ecosxln(jtanxj). Quandxtend versp2 lnjtanxj=lnjsinxjlnjcosxj lnjcosxj; puis cosxlnjtanxj cosxlnjcosxj !0 (car, quandutend vers 0,ulnu!0). Donc,jtanxjcosx= e cosxlnjtanxj!e0=1. lim x!p2 jtanxjcosx=1.3.Quand ntendvers+¥, cosnp3n+1+sinnp6n+1!cosp3 +sinp6 du type 1 +¥). Quandntend vers+¥, cos np3n+1=cos p3 1+13n 1! =cosp3 p9n+o1n 12 cosp9n+o1n +p3 2 sinp9n+o1n =12 1+o1n +p3 2 p9n+o1n 12 +p3p18n+o1n

De même,

sin np6n+1=sin p6 1+16n 1! =sinp6 p36n+o1n 12 cosp36n+o1n p3 2quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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