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3M260 - Topologie et calcul différentielUniversité Pierre et MarieCurie

MathématiquesAnnée 2016/2017

Feuille d"exercices no1 - Espaces métriques

Dans tout ce qui suit, si(X,d)est un espace métrique et qu"il n"y a pas d"ambiguïté sur le choix deXetd,

nous noterons :

•Poura?Xetr >0,B(a,r)(resp.B?(a,r),S(a,r)) la boule ouverte (resp. la boule fermée, la sphère) de

centreaet de rayonr.

•PourA?X,Int(A),A◦ou°A(resp.

A,Fr(A)) désignera l"intérieur (resp. l"adhérence, la frontière)deA.

•Pourx?X,V(x)l"ensemble des voisinages dex.

1 ?Soit (X,d) un espace métrique. Pour tousx,y,z?X, montrer que|d(x,y)-d(x,z)|?d(y,z).

2 ?Soientn?N?etd1,d2,d∞:Rn×Rn→R+définies, pourx= (x1,...,xn), y= (y1,...,yn)?Rn, par :

d

1(x,y) =n?

i=1|xi-yi|;d2(x,y) =? n? i=1(xi-yi)2;d∞(x,y) = max{|xi-yi| |i??1,n?}.

1) Vérifier qued1,d2etd∞sont effectivement des distances surRn.

2) On supposen= 2. Dessiner, pour chacune de ces distances, la boule ouverte de centre (0,0) et de rayon 1.

3 ?SoientXun ensemble,n?N?,d1,...,dndes distances surXetλ1,...,λn?R?+. Pourx,y?X, on pose :

d(x,y) =n? i=1λ idi(x,y). Montrer que cette relation définit une distancedsurX.

4 ?Soitdla distance euclidienne surR2. On fixep?R2, puis pourx,y?R2, on pose :

D(x,y) =?d(x,y) six,y,psont alignés,

d(x,p) +d(p,y) sinon.

1) Prouver que la relation précédente définit une distanceDsurR2.

2) Pourx?R2,ρ >0 etδune distance parmidetD, nous noterons Bδ(x,ρ) la boule ouverte de centrexet

de rayonρde l"espace métrique (R2,δ). Soitr >0. a. Dessiner BD(p,r). b. Soita?R2?{p}. Dessiner BD(a,r), en distinguant les cas oùr?d(a,p) etr > d(a,p).

5 ?Soit (X,d) un espace métrique.

1) Soienta?Xetr >0. Montrer que pour toutx?B(a,r), il existeε >0 tel que B(x,ε)?B(a,r).

2)a. SoitU?X. Déduire de 1) l"équivalence entre les conditions suivantes :

(i) Pour touta?U, il exister >0 tel que B(a,r)?U. (ii)Uest réunion de boules ouvertes. b. Comment appelle-t-on une partieUvérifiant les conditions équivalentes de 2.a?

6 ?SoitXun ensemble non vide. Pourx,y?X, posons :

d(x,y) =?0 six=y,

1 six?=y.

1) Prouver que la relation précédente définit une distance surX, que l"on qualifie dediscrète.

2) Déterminer les ouverts et les fermés deX, ainsi que l"ensemble des voisinages dansXd"un pointx?X.

7 ?On se place dans l"espace métriqueRmuni de sa distance usuelle.

1) Soienta,b?Rvérifianta?b.

a. Montrer que les intervallesouverts]a,b[,]-∞,a[et]a,+∞[sont effectivement des ouverts deR.

b. Montrer que les intervallesfermés[a,b],]-∞,a]et[a,+∞[sont effectivement des fermés deR.

c. Montrer que l"intervalle[a,b[n"est ni ouvert, ni fermé dansR.

2) Les partiesN,Z,QetR?QdeRsont elles ouvertes? fermées?

1

3M260 - Topologie et calcul différentielFeuille d"exercices no1

8 ?On se place dans(X,d)un espace métrique. Dans chacun des cas suivants, dire si l"assertion proposée est

vraie ou fausse, en justifiant votre réponse.

1)∅etXsont à la fois ouvertes et fermées dansX.

2) Les seules parties à la fois ouvertes et fermées dansXsont∅etX.

3) Toute partie deXest ouverte ou fermée.

4) Sia,a??Xetr,r?>0vérifientB(a,r) = B(a?,r?), alorsa=a?etr=r?.

5) Toute intersection de boules ouvertes deXest une boule ouverte deX.

6) Toute intersection d"ouverts deXest ouverte dansX.

7) Une bouleferméedeXest effectivement fermée dansX.

8) Tout singleton deXest fermé dansX.

9) Toute partie finie deXest fermée dansX.

9 ?On se place dansZque l"on munit des deux distances :

d

0:Z×Z→R+,(p,q)?→?0sip=q

1sip?=qetd1:Z×Z→R+,(p,q)?→ |p-q|.

1) Vérifier que les distancesd0etd1définissent les mêmes ouverts surZ.

2)a. Existe-t-il une constanteC >0telle qued1(p,q)?Cd0(p,q)pour tousp,q?Z?

b. Qu"en déduisez-vous?

10 ?Soient(X,d)un espace métrique, etA,Bdeux parties deX.

1) On supposeA?B. Montrer que°A?°Bet

A?B.

2) Montrer queInt(X?A) =X?

AetX?A=X?°A.

11 ?Soient(X,d)un espace métrique,a?Xetr >0. Montrer que

B(a,r)?B?(a,r)etB(a,r)?Int[B?(a,r)],

mais que les inclusions réciproques sont généralement fausses.

12 ?Soient(X,d)un espace métrique,n?N?, etA1,...,Andes parties deX.

1)a. Montrer que

A1? ··· ?An=A1? ··· ?An.

b. Montrer que A1∩ ··· ∩An?A1∩ ··· ∩An. A-t-on toujours égalité?

2)a. ComparerInt(A1? ··· ?An)avec°A1? ··· ?°An.

b. ComparerInt(A1∩ ··· ∩An)avec°A1∩ ··· ∩°An.

13 ?Soient(X,d)un espace métrique et(Ai)i?Iune famille de parties deX. On suppose que la réunion des

Ai, pouriparcourantI, est fermée dansX. Montrer qu"alors : i?IA i=? i?IAi. Ce résultat reste-t-il vrai si l"on ne suppose plus i?I

Aifermée?

14 ?Soient(X,d)un espace métrique etAune partie non vide deX. Établir :

A=? r?R?+? a?AB(a,r)?

15 ?Soient(X,d)un espace métrique etAune partie non vide deX. Un pointa?Aest ditisolédansAs"il

existeVun voisinage deadansXtel queV∩A={a}. On suppose queAne possède pas de point isolé. Montrer qu"il en va de même pour A.

16 ?Soient(X,d)un espace métrique etA,Bdeux parties deX. On suppose que

A∩B=A∩B=∅, et que

A?Best fermée dansX. Montrer qu"alors,AetBsont fermées dansX.

17 ?Soient(X,d)un espace métrique etUune partie deX. Prouver l"équivalence entre les assertions :

(i)Uest un ouvert deX. (ii) Pour toute partieA?X, on a

A∩U=A∩U.

18 ?Soient(X,d)un espace métrique,Aune partie non vide deXque l"on regardera comme un sous-espace

métrique de(X,d), etBune partie deA.

1) Montrer que l"intérieur deBdansAcontient l"intérieur deBdansX, mais que l"inverse est généralement faux.

2) On suppose à présentAouverte dansX. Montrer qu"alors, les intérieurs deBdansAetXcoïncident.

2

3M260 - Topologie et calcul différentielFeuille d"exercices no1

19 ?(D"après l"examen de 2010)

Soit(X,d)un espaceultramétrique, à savoir un espace métrique où la distancedvérifie, pour tousx,y,z?X,

l"axiome supplémentaired(x,z)?max{d(x,y), d(y,z)}.

1) Montrer que tout triangle deXest isocèle, autrement dit que pour tousx,y,z?Xvérifiantd(x,z)?=d(y,z),

on ad(x,y) = max{d(x,z), d(y,z)}.

2)a. Montrer que tout point d"une boule ouverte ou fermée deXest centre de cette boule.

b. Prouver que toute boule ouverte ou fermée deXest à la fois ouverte et fermée dansX.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3