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Lydex - Benguerir PCSI Essaidi Ali

TD - séries numériques - Correction

Exercice 1 :Étudier les séries :

1)

Pcos1n

22)P(1)nnn+ 13)P

1 +1n n 4)P cos1n n2Solution de l"exercice 1 :

Étude de la série Pcos1n

2: On a :

cos 1n

2!16= 0

donc la série

Pcos1n

2est divergente car elle ne vérifie pasla condition nécessaire de convergence.

Étude de la série

P(1)nnn+ 1: On a :(1)nnn+ 1

=nn+ 1!16= 0 donc la série P(1)nnn+ 1est divergente car elle ne vérifie pasla condition nécessaire de convergence.

Étude de la série

P 1 +1n n : On a : ln 1 +1n n =nln 1 +1n =n1n +o1n = 1 +o(1)!1 donc : 1 +1n n !e6= 0 d"où la série P 1 +1n n est divergente car elle ne vérifie pasla condition nécessaire de convergence.

Étude de la série

P cos1n n2 : On a : ln cos1n n2 =n2lncos1n =n2ln

112n2+o1n

2 =n2

12n2+o1n

2 =12 +o(1)! 12 donc : cos1n n2 !1pe 6= 0 d"où la série P cos1n n2 est divergente car elle ne vérifie pasla condition nécessaire de convergence.

Exercice 2 :Soita >0. Étudier les séries :

1) P1a lnn2)P1(lnn)n3)Papn n!4)Pa(1)nn

Solution de l"exercice 2 :

Étude de la série P1a

lnn: Soitn2N. On alnalnn= lnalnn= lnnlnadoncalnn=nlnad"où1a lnn=1n lna. On déduit qu"il s"agit d"unesérie de Riemanndonc la sérieP1a lnnest convergente si, et seulement si,lna >1si, et seulement si,a > e. essaidiali.co.nf 1/15 mathlaayoune@gmail.com

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Étude de la série

P1(lnn)n: On a8ne2;lnn2donc8ne2;(lnn)n2nd"où8ne2;1(lnn)n12 n.

Or la série

P1(lnn)nest positive etP12

nconvergente donc, d"aprèsle critère de comparaison, la sérieP1(lnn)nest convergente.

Étude de la série

Papn n!:

Si a1alors8n2N;apn

n!1n!, orPapn n!est positive etP1n!est convergente donc, d"aprèsle critère de comparaison, la sériePapn n!est convergente.

Si a >1alors8n2N;apn

n!ann!, orPapn n!est positive etPann!est convergente donc, d"aprèsle critère de comparaison, la sériePapn n!est convergente.

On déduit que, dans tous les cas, la série

Papn n!est convergente.

Étude de la série

Pa(1)nn

: On a :

8n2N;a(1)nn

=8 :asinest pair 1a sinest impair donc :

8n2N;a(1)nn

bn avecb= mina;1a . Or la sériePbn est divergente positive donc, d"aprèsle critère de comparaison, la sérieXa(1)nn est divergente. Exercice 3 :Soita;b2Ravecb >0. Étudier les séries : 1)

Pnabn2)P(3n)!(n!)33)Pnnn!(2n)!4)X1(2n)!n

Y k=1(a+k)Solution de l"exercice 3 :

Étude de la série Pnabn: On a :

(n+ 1)abn+1n abn=(n+ 1)an ab!b Si b >1alors, d"aprèsla règle de D"Alembert, la sériePnabnest divergente. Si b <1alors, d"aprèsla règle de D"Alembert, la sériePnabnest convergente.

Si b= 1alors8n2N;nabn=na=1n

adonc il s"agit d"unesérie de Riemannd"où la sériePnabnest convergente si, et seulement si,a >1si, et seulement si,a <1. On déduit que la sériePnabnest convergente si, et seulement si,b= 1oub <1ou (b= 1eta <1).

Étude de la série

P(3n)!(n!)3: On a :

(3(n+ 1))!((n+ 1)!)3(n!)3(3n)!=(3n+ 3)!((n+ 1)!)3(n!)3(3n)!=(3n+ 3)(3n+ 2)(3n+ 1)(n+ 1)3!27>1 donc, d"aprèsla règle de D"Alembert, la sérieP(3n)!(n!)3est divergente.

Étude de la série

Pnnn!(2n)!: On a :

(n+ 1)n+1(n+ 1)!(2(n+ 1))!(2n)!n nn!=(n+ 1)n+1(n+ 1)!(2n+ 2)!(2n)!n nn!=(n+ 1)n+1(n+ 1)n n(2n+ 2)(2n+ 1)= 1 +1n nn+ 14n+ 2!e4 <1 donc, d"aprèsla règle de D"Alembert, la sériePnnn!(2n)!est convergente. essaidiali.co.nf 2/15 mathlaayoune@gmail.com

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Étude de la série

X1(2n)!n

Y k=1(a+k): On pose8n2N;an=1(2n)!n Y k=1(a+k)donc : a n+1a n=1(2(n+ 1))!n+1Y k=1(a+k)(2n)!n Y k=1(a+k)=1(2n+ 2)!n+1Y k=1(a+k)(2n)!n Y k=1(a+k)=a+n+ 1(2n+ 2)(2n+ 1)!0<1 donc, d"aprèsla règle de D"Alembert, la sérieX1(2n)!n Y k=1(a+k)est convergente. Exercice 4 :On considère la série :X(1)nn+ 1

1 :Montrer que la série est convergente.

2 :Montrer que8n2N:

nX k=0(1)kk+ 1=Z 1

0dt1 +t(1)n+1Z

1 0t n+11 +tdt

3 :Montrer que :

8n2N;0Z

1 0t n+11 +tdt1n+ 2

4 :En déduire que :

+1X n=0(1)nn+ 1= ln2

5 :Donner une valeur approchée deln2à la précision103.Solution de l"exercice 4 :

1 :La sérieP(1)nn+ 1est alternée, or la suite1n+ 1

n2Nest décroissante de limite nulle donc, d"aprèsle critère spécial des séries alternées, la sérieP(1)nn+ 1est convergente.

2 :Soitn2N. On a :

Z 1

0dt1 +t(1)n+1Z

1 0t n+11 +tdt=Z 1 0

11 +t(1)n+1tn+11 +t

dt=Z 1

01(1)n+1tn+11 +tdt=Z

1

01(t)n+11 +tdt

or :

8t2[0;1];1(t)n+1= (1(t))nX

k=0(t)k= (1 +t)nX k=0(1)ktk donc :

8t2[0;1];1(t)n+11 +t=nX

k=0(1)ktk d"où : Z 1

0dt1 +t(1)n+1Z

1 0t n+11 +tdt=Z 1 0 nX k=0(1)ktk! dt=nX k=0(1)kZ 1 0 tkdt=nX k=0(1)ktk+1k+ 1 1 0 =nX k=0(1)kk+ 1

6 :Soitn2N. On a :

8t2[0;1];0tn+11 +ttn+1

donc : 0Z 1 0t n+11 +tdtZ 1 0 tn+1dt=tn+2n+ 2 1 0 =1n+ 2

7 :On a :

0Z 1 0t n+11 +tdt1n+ 2!0 essaidiali.co.nf 3/15 mathlaayoune@gmail.com

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donc : lim n!+1Z 1 0t n+11 +tdt= 0

D"autre part :

Z1

0dt1 +t= [ln(1 +t)]1

0= ln2

Or : nX k=0(1)kk+ 1=Z 1

0dt1 +t(1)n+1Z

1 0t n+11 +tdt= ln2(1)n+1Z 1 0t n+11 +tdt donc, parpassage à la limite: +1X k=0(1)kk+ 1= ln2

3 :La sérieP(1)nn+ 1est alternée, or la suite1n+ 1

n2Nest décroissante de limite nulle donc, d"aprèsla majoration du reste dans le critère spécial des séries alternées, : 8n2N; +1X k=n+1(1)kk+ 1 1n+ 2 or :

8n2N;+1X

k=n+1(1)kk+ 1=+1X k=0(1)kk+ 1nX k=0(1)kk+ 1= ln2nX k=0(1)kk+ 1 donc : 8n2N; ln2nX k=0(1)kk+ 1 1n+ 2

On déduit que pour que

nX k=0(1)kk+ 1soit une valeur approchée deln2à la précision103il faut que : ln2nX k=0(1)kk+ 1 103
donc, il suffit que :

1n+ 2103

donc, il suffit quen1032 = 998d"où il suffit de prendren= 998.

SousPython:

In [1]: S=0

In [2]: for k in range(999):

...: S += pow(-1, k) /(k + 1)

In [3]: S

Out[3]: 0.6936474305598223

On va comparer avec la valeur deln2proposée parPython:

In [4]: from math import log

In [5]: log(2)

Out[5]: 0.6931471805599453

In [6]: abs(log(2) - S)

Out[6]: 0.0005002499998769672

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On voit bien que :

ln2X k=0(1)kk+ 1

0:0005103

Exercice 5 :Soit:N!Nune bijection. Étudier les séries : X

1(n)2etX1n(n)Solution de l"exercice 5 :

La série P1n

2est positive convergente donc elle est commutativement convergente d"où la sérieP1(n)2est conver-

gente.

On a :

8a;b0;0ab2aba2+b2

donc :

8n1;01n(n)1n

2+1(n)2

Or les séries

P1n

2etP1(n)2sont convergente donc, d"aprèsle critère de comparaison, la sérieP1n(n)est conver-

gente.

Exercice 6 :Étudier les séries :

1)

P1cos1n

exp 1n

12)P2n+ 5n3n4

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