[PDF] consequence mauvaise relation mere fille
[PDF] ilots bonifiés anglais fiche
[PDF] quelles expériences ont forgé votre caractère
[PDF] exercice sur le système solaire cm2
[PDF] sémiologie dermatologique pdf
[PDF] lesions dermatologiques images
[PDF] fracture de segond traitement
[PDF] exercices corrigés programmation maple
[PDF] cours maple pdf
[PDF] fonction maple
[PDF] dosage chlorure de sodium par nitrate d'argent
[PDF] argentimétrie dosage
[PDF] tp4 titrage par précipitation méthode de mohr
[PDF] dosage des chlorures par la méthode de mohr tp
[PDF] dosage argentimétrique des chlorures
donc, il suffit que :
[PDF] ilots bonifiés anglais fiche
[PDF] quelles expériences ont forgé votre caractère
[PDF] exercice sur le système solaire cm2
[PDF] sémiologie dermatologique pdf
[PDF] lesions dermatologiques images
[PDF] fracture de segond traitement
[PDF] exercices corrigés programmation maple
[PDF] cours maple pdf
[PDF] fonction maple
[PDF] dosage chlorure de sodium par nitrate d'argent
[PDF] argentimétrie dosage
[PDF] tp4 titrage par précipitation méthode de mohr
[PDF] dosage des chlorures par la méthode de mohr tp
[PDF] dosage argentimétrique des chlorures
Lydex - Benguerir PCSI Essaidi Ali
TD - séries numériques - Correction
Exercice 1 :Étudier les séries :
1)Pcos1n
22)P(1)nnn+ 13)P
1 +1n n 4)P cos1n n2Solution de l"exercice 1 :Étude de la série Pcos1n
2: On a :
cos 1n2!16= 0
donc la sériePcos1n
2est divergente car elle ne vérifie pasla condition nécessaire de convergence.
Étude de la série
P(1)nnn+ 1: On a :(1)nnn+ 1
=nn+ 1!16= 0 donc la série P(1)nnn+ 1est divergente car elle ne vérifie pasla condition nécessaire de convergence.Étude de la série
P 1 +1n n : On a : ln 1 +1n n =nln 1 +1n =n1n +o1n = 1 +o(1)!1 donc : 1 +1n n !e6= 0 d"où la série P 1 +1n n est divergente car elle ne vérifie pasla condition nécessaire de convergence.Étude de la série
P cos1n n2 : On a : ln cos1n n2 =n2lncos1n =n2ln112n2+o1n
2 =n212n2+o1n
2 =12 +o(1)! 12 donc : cos1n n2 !1pe 6= 0 d"où la série P cos1n n2 est divergente car elle ne vérifie pasla condition nécessaire de convergence.Exercice 2 :Soita >0. Étudier les séries :
1) P1a lnn2)P1(lnn)n3)Papn n!4)Pa(1)nnSolution de l"exercice 2 :
Étude de la série P1a
lnn: Soitn2N. On alnalnn= lnalnn= lnnlnadoncalnn=nlnad"où1a lnn=1n lna. On déduit qu"il s"agit d"unesérie de Riemanndonc la sérieP1a lnnest convergente si, et seulement si,lna >1si, et seulement si,a > e. essaidiali.co.nf 1/15 mathlaayoune@gmail.comLydex - Benguerir PCSI Essaidi Ali
Étude de la série
P1(lnn)n: On a8ne2;lnn2donc8ne2;(lnn)n2nd"où8ne2;1(lnn)n12 n.Or la série
P1(lnn)nest positive etP12
nconvergente donc, d"aprèsle critère de comparaison, la sérieP1(lnn)nest convergente.Étude de la série
Papn n!:Si a1alors8n2N;apn
n!1n!, orPapn n!est positive etP1n!est convergente donc, d"aprèsle critère de comparaison, la sériePapn n!est convergente.Si a >1alors8n2N;apn
n!ann!, orPapn n!est positive etPann!est convergente donc, d"aprèsle critère de comparaison, la sériePapn n!est convergente.On déduit que, dans tous les cas, la série
Papn n!est convergente.Étude de la série
Pa(1)nn
: On a :8n2N;a(1)nn
=8 :asinest pair 1a sinest impair donc :8n2N;a(1)nn
bn avecb= mina;1a . Or la sériePbn est divergente positive donc, d"aprèsle critère de comparaison, la sérieXa(1)nn est divergente. Exercice 3 :Soita;b2Ravecb >0. Étudier les séries : 1)Pnabn2)P(3n)!(n!)33)Pnnn!(2n)!4)X1(2n)!n
Y k=1(a+k)Solution de l"exercice 3 :Étude de la série Pnabn: On a :
(n+ 1)abn+1n abn=(n+ 1)an ab!b Si b >1alors, d"aprèsla règle de D"Alembert, la sériePnabnest divergente. Si b <1alors, d"aprèsla règle de D"Alembert, la sériePnabnest convergente.Si b= 1alors8n2N;nabn=na=1n
adonc il s"agit d"unesérie de Riemannd"où la sériePnabnest convergente si, et seulement si,a >1si, et seulement si,a <1. On déduit que la sériePnabnest convergente si, et seulement si,b= 1oub <1ou (b= 1eta <1).Étude de la série
P(3n)!(n!)3: On a :
(3(n+ 1))!((n+ 1)!)3(n!)3(3n)!=(3n+ 3)!((n+ 1)!)3(n!)3(3n)!=(3n+ 3)(3n+ 2)(3n+ 1)(n+ 1)3!27>1 donc, d"aprèsla règle de D"Alembert, la sérieP(3n)!(n!)3est divergente.Étude de la série
Pnnn!(2n)!: On a :
(n+ 1)n+1(n+ 1)!(2(n+ 1))!(2n)!n nn!=(n+ 1)n+1(n+ 1)!(2n+ 2)!(2n)!n nn!=(n+ 1)n+1(n+ 1)n n(2n+ 2)(2n+ 1)= 1 +1n nn+ 14n+ 2!e4 <1 donc, d"aprèsla règle de D"Alembert, la sériePnnn!(2n)!est convergente. essaidiali.co.nf 2/15 mathlaayoune@gmail.comLydex - Benguerir PCSI Essaidi Ali
Étude de la série
X1(2n)!n
Y k=1(a+k): On pose8n2N;an=1(2n)!n Y k=1(a+k)donc : a n+1a n=1(2(n+ 1))!n+1Y k=1(a+k)(2n)!n Y k=1(a+k)=1(2n+ 2)!n+1Y k=1(a+k)(2n)!n Y k=1(a+k)=a+n+ 1(2n+ 2)(2n+ 1)!0<1 donc, d"aprèsla règle de D"Alembert, la sérieX1(2n)!n Y k=1(a+k)est convergente. Exercice 4 :On considère la série :X(1)nn+ 11 :Montrer que la série est convergente.
2 :Montrer que8n2N:
nX k=0(1)kk+ 1=Z 10dt1 +t(1)n+1Z
1 0t n+11 +tdt3 :Montrer que :
8n2N;0Z
1 0t n+11 +tdt1n+ 24 :En déduire que :
+1X n=0(1)nn+ 1= ln25 :Donner une valeur approchée deln2à la précision103.Solution de l"exercice 4 :
1 :La sérieP(1)nn+ 1est alternée, or la suite1n+ 1
n2Nest décroissante de limite nulle donc, d"aprèsle critère spécial des séries alternées, la sérieP(1)nn+ 1est convergente.2 :Soitn2N. On a :
Z 10dt1 +t(1)n+1Z
1 0t n+11 +tdt=Z 1 011 +t(1)n+1tn+11 +t
dt=Z 101(1)n+1tn+11 +tdt=Z
101(t)n+11 +tdt
or :8t2[0;1];1(t)n+1= (1(t))nX
k=0(t)k= (1 +t)nX k=0(1)ktk donc :8t2[0;1];1(t)n+11 +t=nX
k=0(1)ktk d"où : Z 10dt1 +t(1)n+1Z
1 0t n+11 +tdt=Z 1 0 nX k=0(1)ktk! dt=nX k=0(1)kZ 1 0 tkdt=nX k=0(1)ktk+1k+ 1 1 0 =nX k=0(1)kk+ 16 :Soitn2N. On a :
8t2[0;1];0tn+11 +ttn+1
donc : 0Z 1 0t n+11 +tdtZ 1 0 tn+1dt=tn+2n+ 2 1 0 =1n+ 27 :On a :
0Z 1 0t n+11 +tdt1n+ 2!0 essaidiali.co.nf 3/15 mathlaayoune@gmail.comLydex - Benguerir PCSI Essaidi Ali
donc : lim n!+1Z 1 0t n+11 +tdt= 0D"autre part :
Z10dt1 +t= [ln(1 +t)]1
0= ln2
Or : nX k=0(1)kk+ 1=Z 10dt1 +t(1)n+1Z
1 0t n+11 +tdt= ln2(1)n+1Z 1 0t n+11 +tdt donc, parpassage à la limite: +1X k=0(1)kk+ 1= ln23 :La sérieP(1)nn+ 1est alternée, or la suite1n+ 1
n2Nest décroissante de limite nulle donc, d"aprèsla majoration du reste dans le critère spécial des séries alternées, : 8n2N; +1X k=n+1(1)kk+ 1 1n+ 2 or :8n2N;+1X
k=n+1(1)kk+ 1=+1X k=0(1)kk+ 1nX k=0(1)kk+ 1= ln2nX k=0(1)kk+ 1 donc : 8n2N; ln2nX k=0(1)kk+ 1 1n+ 2On déduit que pour que
nX k=0(1)kk+ 1soit une valeur approchée deln2à la précision103il faut que : ln2nX k=0(1)kk+ 1 103donc, il suffit que :