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Test 5 : Variables al´eatoires discr`etesCorrig´eSQ20Une secr´etaire effectuenappels t´el´ephoniques versnpersonnes distinctes (n≥2). On admet que les
nappels constituentnexp´eriences ind´ependantes, et que pour chaque appel, la probabilit´e d"obtenir le
correspondant demand´e estp?]0,1[. On noteq= 1-p.Xd´esigne la variable al´eatoire ´egale au nombre de personnes obtenues au t´el´ephone.1.Quelle est la loi deX? DonnerE[X] etV(X).
Ayant obtenukpersonnes, la secr´etaire rappelle une deuxi`eme fois, dans les mˆemes conditions, chacune
desn-kpersonnes qu"elle n"a pas r´eussi `a joindre la premi`ere fois. SoitYle nombre de personnesobtenues dans la deuxi`eme s´erie d"appels, etZ=X+Y, le nombre total de personnes obtenues.2.Quelles sont les valeurs prises parZ?3.Calculer les probabilit´esP(Z= 0) etP(Z= 1).4.Soientk??0,n?, etl??0,n-k?. Calculer la probabilit´e conditionnelleP(Y=l|X=k).5.CalculerP(Z=s). Quelle est la loi deZ?1.X≂ B(n,p), et doncE[X] =np, etV(X) =npq.2.Zest `a valeurs dans?0,n?.3.P(Z= 0) = (q2)n=q2n(en effet chaque personne est appel´ee 2 fois, avec un r´esultat n´egatif `a
chaque appel). On peut obtenirZ= 1 de deux mani`eres diff´erentes : soit on obtient 0 personne (surn) lors de lapremi`ere s´erie et 1 personne (surn) lors de la deuxi`eme, soit on obtient 1 personne (surn) lors de
la premi`ere s´erie et 0 personne (surn-1) lors de la deuxi`eme. Ainsi :P(Z= 1) =qn×?n
1? q n-1p+?n 1? qn-1p×qn-1=npq2n-2(q+ 1).4.Sachant queX=k, la secr´etaire doit rappelern-kpersonnes, chacune avec la probabilit´ep. Ainsi
(Y|X=k)≂ B(n-k,p). Donc :P(Y=l|X=k) =?n-k
l?×pl×qn-k-l.5.
P(Z=s) =l=s?
l=0P(Y=l|X=s-l)×P(X=s-l) l=s? l=0? n-s+l l?×pl×qn-s×?n
s-l?×ps-l×qn-s+l
l=s? l=s? l=0n!l!(n-s)!(s-l)!×ps×q2n-2s+l n!(n-s)!×ps×q2(n-s)l=s? l=01l!(s-l)!ql n!(n-s)!s!×ps×q2(n-s)l=s? l=0s!l!(s-l)!ql×1s-l ?n s? p s×q2(n-s)×(1 +q)s=?n s? (1-q2)s×q2(n-s)..Et donc,Z≂ B(n,1-q2) (ce qui paraˆıt logique, vu que chaque personne se voit offrir une deuxi`eme
chance, et la probabilit´e d"obtenir une personne vaut donc 1-q2).UTBM11 avril 2008quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3