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Feuille d"exercices n°21 : corrigé

PTSI B Lycée Eiffel

5 juin 2014

Exercice 1 (* à ***)

En écrivantn13

n=13 n3 n113 n, on reconnait une somme de deux séries géométriques (dont une dérivée) convergentes, et on calcule facilement +1X n=0n13 n= 13 1(113 )21113 =13 94
32
=34 (il est normal que le résultat soit négatif, le premier terme de la somme est égal à1et les autres sont trop petits pour le compenser). On peut écrire, à partir den= 2(les deux premiers termes de la série sont de toute façon nuls), n(n1)n!=1(n2)!, ce qui permet de reconnaitre une série exponen- tielle convergente et de calculer +1X n=0n(n1)xnn!=+1X n=2x n(n2)!=x2+1X n=0x nn!= x 2ex.

Inutile de beaucoup se fatiguer ici,2n2n

312n
, terme général d"une série diver- gente, donc notre série diverge (elle est à termes positifs à partir du rang2).

On peut écrire12

2n+1=12

14 npour reconnaitre une série gémétrique convergente, de somme 12 1114
=23 Rien à faire ici, c"est un exemple direct de série exponentielle, de somme4e1=4e La série est à termes positifs et son terme général est équivalent à1n

3, donc elle

converge (comparaison avec une série de Riemann). Pour calculer sa somme, il faut faire un télescopage, en commençant par écrire

1n(n+ 1)(n+ 2)=an

+bn+ 1+ cn+ 2. En multipliant l"égalité parnet en évaluant pourn= 0, on trouvea=12 De même, en multipliant parn+ 1et en prenantn=1on ab=1. On trouve de mêmec=12 , soit1n(n+ 1)(n+ 2)=12n1n+ 1+12(n+ 2). Pour effec- tuer le télescopage, on travaille avec les sommes partielles : pX n=11n(n+ 1)(n+ 2)= 1 1 2 p X n=11n pX n=11n+ 1+12 p X n=11n+ 2=12 n X n=11n p+1X n=21n +12 p+2X n=31n =12 +14 12

1p+ 1+12(p+ 1)+12(p+ 2)=14

12(p+ 1)+12(p+ 2). Il y a bien convergence,

vers la somme suivante : +1X n=11n(n+ 1)(n+ 2)=14 Encore des géométriques à faire apparaitre :3 +n2n4 n+2=316 14 n+132 n2 n1, tout converge et +1X n=03 +n2n4 n+2=316 1114
+132
1(112 )2=14 +18 =38 Il y a un télescopage tout simple, mais il est n"est même pas utile de s"en rendre compter :lnn+ 1n = ln 1 +1n 1n , donc la série diverge (elle est à termes positifs).

Le terme général de cette série (positive à partir den= 1) étant équivalent à14n2,

elle converge. De plus,

14n21=a2n+ 1+b2n1, aveca(2n1)+b(2n+1) = 1

(pour changer, on met tout au même dénominateur et on identifie), soita+b= 0et ba= 1, doncb=12 eta=12 . On en déduit quenX k=014k21=12 n X k=012k1 12 n X k=012k+ 1=12 n X k=012k112 n+1X k=112k+ 1=12

12(2n+ 1). La série converge

donc vers12

Il suffit de se souvenir quech(n) =en+en2

pour écrire notre série comme somme de deux séries géométriques convergentes : +1X n=0ch(n)3 n=12 +1X n=0 e3 n+12 +1X n=01(3e)n= 12 11e3
+1113e!
12

33e+3e3e1

(inutile de tenter de simplifier plus).

Le terme général de cette série à termes positifs est équivalent à54n2, elle converge

donc. On effectue une décomposition en éléments simples :

5(2n+ 1)(2n+ 3)=

a2n+ 1+b2n+ 3=a(2n+ 3) +b(2n+ 1)(2n+ 1)(2n+ 3). Par identification, on obtient2a+2b=

0, soitb=a, et3a+b= 5, dont on déduita=52

etb=52 . Autre- ment dit, pX n=05(2n+ 1)(2n+ 3)=52 p X n=012n+ 152 p X n=012n+ 3=52 p X n=012n+ 1 52
p+1X n=112n+ 1=52

52(2p+ 3). Il y a bien convergence de la série, vers52

Si on tient vraiment à prouver la convergence avant d"essayer de calculer la somme, on peut trouver un équivalent du terme général à coup de développements limités. On peut aussi anticiper le télescopage et calculer directement la somme partielle : 2 n X k=21pk1+1pk+ 12pk =n1X k=11pk +n+1X k=31pk nX k=22pk = 1 +1p2 +1pn

1pn+ 12p2

2pn = 11p2 1pn +1pn+ 1, qui converge vers la somme11p2 On constate ici queenx= (ex)n. On est donc en présence d"une simple série géométrique de raisonex. Cette série convergera donc si et seulement six >0 (condition pour queex2]1;1[), vers11ex=exe x1. Rien d"évident ici, mais on sait que la suite(Fn)est récurrente linéaire d"ordre2, d"équation caractéristiquex2=x+ 1. Cette équation a pour discriminant = 5, et pour racinesx1=1 +p5 2 etx2=1p5quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14