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DERNIÈRE IMPRESSION LE21 juin 2015 à 9:13
ROC : Restitution organisées des
connaissances
Paul Milan
21 juin 2015
Les démonstrations suivantes sont à connaître. Les raisonnementsmis en oeuvre peuvent être demandés dans un contexte légérement différent. En particulier en ce qui concerne les équations différentielles et les suites récurrentes. Bien lire les pré-requis dans les questions ROC, on peut demanderune autre dé- monstration que celle vue en cours.
Bon courage!
Table des matières
1 Arithmétique2
1.1 Opération sur les multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Compatibilité avec la congruence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Le théorème de Bezout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Le théorème de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Infinité des nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
PAUL MILAN1TERMINALE S SPÉ
TABLE DES MATIÈRES
1 Arithmétique
1.1 Opération sur les multiples
Théorème 1 :Soit trois entiers relatifsa,betc. Siadivisebetcalorsadiviseb+c,b-cou toute combinaison linéaire deb et dec. Démonstration :On sait queadivisebetc, donc il existe deux entiers relatifs ketk?tels que : b=kaetc=k?a
On a alors :
b+c= (k+k?)a,b-c= (k-k?)aetαb+βc= (αk+βk?)a
Doncadiviseb+c,b-cetαb+βc
PAUL MILAN2TERMINALE S SPÉ
1. ARITHMÉTIQUE
1.2 Compatibilité avec la congruence
Théorème 2 :Soitnun entier naturel(n?2),a,b,c,ddes entiers relatifs vérifiant : a≡b(n)etc≡d(n)
La congruence est compatible :
1. avec l"addition :
a+c≡b+d(n)
2. avec la multiplication :
ac≡bd(n)
3. avec les puissances :
?k?Nak≡bk(n)
Démonstration :
1.
Compatibilitéavecl"addition.
On sait que :a≡b(n)etc≡d(n), donc(a-b)et(c-d)sont des multiples den. Il existe donc deux entiers relatifsketk?tels que : a-b=knetc-d=k?n En additionnant ces deux égalités, on obtient : a-b+c-d=kn+k?n (a+c)-(b+d) = (k+k?)n Donc(a+c)-(b-d)est un multiple den, donc d"après le théorème 2, on obtient : a+c≡b+d(n) 2.
Lacompatibilitéaveclamultiplication.
On sait que :a≡b(n)etc≡d(n), donc, il existe deux entiers relatifsket k ?tels que : a=b+knetc=d+k?n En multipliant ces deux égalités, on obtient : ac= (b+kn)(d+k?n) ac=bd+k?bn+kdn+kk?n2 ac=bd+ (k?b+kd+kk?n)n ac-bd= (k?b+kd+kk?n)n Donc(ac-bd)est un multiple den, donc d"après le théorème 2, on a : ac≡bd(n) 3.
Compatibilitéaveclespuissances.
On prouve cette compatibilité par récurrence surk, à l"aide de la compatibi- lité avec la multiplication.
PAUL MILAN3TERMINALE S SPÉ
TABLE DES MATIÈRES
1.3 Le théorème de Bezout
Théorème 3 :Égalité de Bezout
Soitaetbdeux entiers non nuls etD=PGCD(a,b)
Il existe alors un couple(u,v)d"entiers relatifs tels que : au+bv=D
Ce théorème est admis
Théorème 4 :Théorème de Bezout
Deux entiers relatifsaetbsont premiers entre euxsi et seulement si, il existe deux entiers relatifsuetvtels que : au+bv=1
Démonstration :
Danslesens?: Immédiat grâce à l"égalite de Bezout.
Danslesens?:
On suppose qu"il existe deux entiersuetvtels que :au+bv=1.
SiD=PGCD(a,b)alorsDdiviseaetbdoncDdiviseau+bv.
DoncDdivise 1. On a bienD=1.
Théorème 5 :Corollaire du théorème de Bezout L"équationax+by=cadmet des solutions entièressi et seulement sicest un multiple duPGCD(a,b).
Démonstration :
Danslesens?
ax+by=cadmet une solution(x0,y0).
CommeD=PGCD(a,b)diviseaetbil diviseax0+by0.
Ddivise doncc
Danslesens?
cest un multiple deD=PGCD(a,b).
Donc il existe un entier relatifktel que :c=kd
De l"égalité de Bezout, il existe deux entiers relatifsuetvtels que : au+bv=D
En multipliant park, on obtient :
auk+bvk=kD?a(uk) +b(vk) =c
Donc il existex0=ukety0=vktels queax0+by0=c
PAUL MILAN4TERMINALE S SPÉ
1. ARITHMÉTIQUE
1.4 Le théorème de Gauss
Théorème 6 :Soita,betctrois entiers relatifs non nuls. Siadivise le produitbcet siaetbsont premiers entre eux alorsadivisec.
Démonstration :
Siadivise le produitbc, alors il existe un entierktel que : bc=ka Siaetbsont premiers entre eux, d"après le théorème de Bezout, il existe deux entiersuetvtels que : au+bv=1
En multipliant parc, on a :
acu+bcv=corbc=ka, donc : acu+kav=c a(cu+kv) =c
Doncadivisec.
Propriété 1 :Soita,betctrois entiers non nuls. Sibetcdiviseaet sibetcsont premiers entre eux alorsbcdivisea Démonstration :Sibetcdivisea, il existe(k,k?)?Z2tel que :a=kb=k?c cdivise donckbet commebetcsont premiers entre eux, d"après le théorème de
Gauss,cdivisek.
Il existe donck???Ztel que :k=k??c. On a alors :a=k??bc.bcdivise alorsa.
PAUL MILAN5TERMINALE S SPÉ
TABLE DES MATIÈRES
1.5 Infinité des nombres premiers
Théorème 7 :Il existe une infinité de nombres premiers Démonstration :Supposons qu"il existe un nombre fini de nombres premiers : p
1,p2,...,pi, ...,pn.
PosonsN=p1×p2× ··· ×pi× ··· ×pn+1 D"après le critère d"arrêt,Nadmet un diviseur premier. Soitpice diviseur pre- mier. p idivisep1×p2× ··· ×pi× ··· ×pnetN. Il divise donc la différenceN-(p1×p2× ··· ×pi× ··· ×pn) =1. Ceci est impossible, donc l"hypothèse qu"il existe un nombre finide nombres pre- miers est absurde.
PAUL MILAN6TERMINALE S SPÉ
quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22
An introduction to ROC analysis - UC Davis