Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé

[PDF] examen 6eme année primaire 2015

[PDF] tous égaux tous différents

[PDF] différents mais égaux 5ème

[PDF] brassage allélique def

[PDF] exemple de progression pédagogique en bac pro

[PDF] séquence pédagogique bac pro gestion administratio

[PDF] sequence pedagogique bac pro commerce

[PDF] fiche pédagogique stmg

[PDF] fiche de déroulement de séance

[PDF] progression bac pro commerce

[PDF] l'argent zola résumé

[PDF] l'argent livre

[PDF] l'argent zola film

[PDF] l'argent zola personnages

[PDF] comprendre l'argent pdf

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

1Nombre dérivé - Fonction dérivée :

DÉFINITIONEtant donnéfest une fonction définie sur un intervalleIcontenant le réela,fest dérivable enasi limh!0f(a+h)f(a)h

existe et est égale à un réel que l"on appelle alors nombre dérivé defenaet que l"on notef0(a).

Sifest dérivable pour tous les éléments deI, on dit quefest dérivable surIet on appelle dérivée defla fonction, notée

0, qui à toutadeIassocief0(a), le nombre dérivé defena.Exemple :Soitfdéfinie surRparf(x) =x2.

Pour touta, limh!0f(a+h)f(a)h

=limh!0(a+h)2a2h =limh!0a

2+2ah+h2a2h

=limh!02a+h=2a.fest donc dérivable enaet f

0(a) =2a.

On dit quefest dérivable surRet que sa fonction dérivée est définie parf0(x) =2x.

2Dérivées des fonctions usuelles :FonctionFonction dérivéepour toutxdeExemples

f(x) =af

0(x) =0Rf(x) =3)f0(x) =0f(x) =ax+bf

0(x) =aRf(x) =x)f0(x) =1

f(x) =2x4)f0(x) =2f(x) =xn(nentier>2)f

0(x) =nxn1Rf(x) =x2)f0(x) =2x

f(x) =x3)f0(x) =3x2f(x) =1xf

0(x) =1x

2R f(x) =1x n(nentier>2)f

0(x) =nx

n+1R f(x) =1x

2)f0(x) =2x

3 f(x) =1x

3)f0(x) =3x

4f(x) =pxf

0(x) =12

px]0;+¥[f(x) =sinxf

0(x) =cosxR

f(x) =cosxf

0(x) =sinxR

1 reSérie Générale - Dérivationc

P.Brachet -www .xm1math.net1

3Etude forme par forme des opérations sur les fonctions dérivables :

Avertissement :Nous utiliserons par souci de simplification le traditionnel et affreux abus de langage qui consiste par exemple à

dire que la dérivée dex2est égale à 2x(alors que nous devrions dire en fait que la dérivée de la fonction qui àxassociex2est la

fonction qui àxassocie 2x).

Il ne faut jamais oublier que l"on ne doit pas confondre unefonctionfavecf(x)(l"image dexparfqui est unréel) et que la

dérivéef0est elle-même unefonctionqui à toutxassocief0(x)(le nombre dérivé defenx, qui est unréel).

afin de nous concentrer sur l"utilisation des formules.

3-1Formef+g

PROPRIÉTÉSifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIalors la fonctionf+gest aussi dérivable surIet(f+g)0=f0+g0.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2+xest définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2+1|{z}

´eriv´eedex

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4xest définie par :

0(x) =3x2|{z}

´eriv´eedex3+4|{z}

´eriv´eede4x

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =px+1x

est définie par : f

0(x) =12

px |{z} d

´eriv´eedepx

(1)x 2|{z} d

´eriv´eede1x

3-2Formekf(kréel)

PROPRIÉTÉSifest une fonction dérivable sur un intervalleIet sikest un réel alors la fonctionkfest aussi dérivable surIet(kf)0=kf0.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =3x2est définie par :

0(x) =32x|{z}

´eriv´eedex2=6x

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =5x3est définie par :

0(x) =53x2|{z}

´eriv´eedex3=15x2

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x

=21x est définie par : f

0(x) =2(1)x

2|{z} d

´eriv´eede1x

=2x 2

3-3Formefg

PROPRIÉTÉSifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIalors la fonctionfgest aussi dérivable surIet(fg)0=f0g+fg0.2

c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Générale - Dérivation

Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =xpxest définie par :

0(x) =1|{z}

´eriv´eedexpx+x12

px |{z} d

´eriv´eedepx

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2(3+px)est définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2(3+px)+x212

px |{z} d

´eriv´eede3+px

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2sinxest définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2sinx+x2cosx|{z}

´eriv´eede sinx

3-4Formef2

PROPRIÉTÉSifest une fonction dérivable sur un intervalleIalors la fonctionf2est aussi dérivable surIetf20=2f0f.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (3x+1)2est définie par :

0(x) =23|{z}

´eriv´eede3x+1(3x+1) =6(3x+1)

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4x2est définie par :

0(x) =2(3x2+4)|{z}

´eriv´eedex3+4x(x3+4x)

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (cosx)2est définie par :

0(x) =2(sinx)|{z}

´eriv´eede cosx(cosx) =2sinxcosx

3-5Forme1f

PROPRIÉTÉSifest une fonction dérivable sur un intervalleI(oùf(x)ne s"annule pas) alors la fonction1f

est aussi dérivable surIet 1f 0 =f0f

2.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =15x1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede5x1z}|{5(5x1)2

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =1x

2+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2+3z}|{2x(x2+3)2

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =1sinxest définie par :

0(x) =d

´eriv´eede sinxz}|{

cosx(sinx)21 reSérie Générale - Dérivationc

P.Brachet -www .xm1math.net3

3-6Formefg

PROPRIÉTÉSifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleI(oùg(x)ne s"annule pas) alors la fonctionfg

est aussi dérivable surI et fg 0 =f0gfg0g

2.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =7x2x+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede7xz}|{

(7)(2x+3)(7x)d

´eriv´eede2x+3z}|{

(2)(2x+3)2=14x+2114x(2x+3)2=21(2x+3)2

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x23x+1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2z}|{

(2x)(3x+1)(x2)d

´eriv´eede3x+1z}|{

3-7Formef(ax+b)(aetbréels)

PROPRIÉTÉSoitfdéfinie sur un intervalleI,aetbdeux réels etJun intervalle tel que, pour toutxdeJ,ax+b2I. Sifest dérivable surI

alors la fonctiongdéfinie parg(x) =f(ax+b)est dérivable surJetg0(x) =af0(ax+b).Exemples de fonctionnement de cette formule :

[PDF] Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée

1Nombre dérivé - Fonction dérivée :

0, qui à toutadeIassocief0(a), le nombre dérivé defena.Exemple :Soitfdéfinie surRparf(x) =x2.

Pour touta, limh!0f(a+h)f(a)h

2+2ah+h2a2h

0(a) =2a.

2Dérivées des fonctions usuelles :FonctionFonction dérivéepour toutxdeExemples

0(x) =0Rf(x) =3)f0(x) =0f(x) =ax+bf

0(x) =aRf(x) =x)f0(x) =1

0(x) =nxn1Rf(x) =x2)f0(x) =2x

0(x) =1x

0(x) =nx

2)f0(x) =2x

3)f0(x) =3x

4f(x) =pxf

0(x) =12

0(x) =cosxR

0(x) =sinxR

P.Brachet -www .xm1math.net1

3Etude forme par forme des opérations sur les fonctions dérivables :

3-1Formef+g

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2+xest définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2+1|{z}

´eriv´eedex

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4xest définie par :

0(x) =3x2|{z}

´eriv´eedex3+4|{z}

´eriv´eede4x

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =px+1x

0(x) =12

´eriv´eedepx

´eriv´eede1x

3-2Formekf(kréel)

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =3x2est définie par :

0(x) =32x|{z}

´eriv´eedex2=6x

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =5x3est définie par :

0(x) =53x2|{z}

´eriv´eedex3=15x2

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x

0(x) =2(1)x

´eriv´eede1x

3-3Formefg

Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =xpxest définie par :

0(x) =1|{z}

´eriv´eedexpx+x12

´eriv´eedepx

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2(3+px)est définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2(3+px)+x212

´eriv´eede3+px

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2sinxest définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2sinx+x2cosx|{z}

´eriv´eede sinx

3-4Formef2

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (3x+1)2est définie par :

0(x) =23|{z}

´eriv´eede3x+1(3x+1) =6(3x+1)

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4x2est définie par :

0(x) =2(3x2+4)|{z}

´eriv´eedex3+4x(x3+4x)

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (cosx)2est définie par :

0(x) =2(sinx)|{z}

´eriv´eede cosx(cosx) =2sinxcosx

3-5Forme1f

2.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =15x1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede5x1z}|{5(5x1)2

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =1x

2+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2+3z}|{2x(x2+3)2

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =1sinxest définie par :

0(x) =d

´eriv´eede sinxz}|{

P.Brachet -www .xm1math.net3