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Licence 2 Eco-gestion2020{2021Feuille d'exercices 7 DiagonalisationExercice1On considere l'endomorphismefdeR3deni parf: (x;y;z)7!(3xz;2x+4y+2z;x+3z).
2 42 1 0 3 Je developpe ce determinant par rapport a la deuxieme colonne, puisqu'elle contient un maximum de termes nuls. On a donc p
A
1 11 On a donc en developpement par rapport a la premiere ligne disons, p
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Licence 2 Eco-gestion2020{2021Feuille d'exercices 7 DiagonalisationExercice1On considere l'endomorphismefdeR3deni parf: (x;y;z)7!(3xz;2x+4y+2z;x+3z).
1. Determiner la matriceA=Mat(f)Bdefdans la base canonique deR3.
2. Determiner le polyn^ome caracteristique def. En deduire les valeurs propres def.
3. Determiner une base pour chaque espace propre def. L'endomorphismefest-il diago-
nalisable?4. Trouver une matricePtelle queA=PDP1, ouDest une matrice diagonale que l'on
explicitera.5. Determiner la matriceAn, pour toutn1.
Solution11. La matrice de l'endomorphismefdans la base canonique est donnee parMat(f)B0
@3 01 2 4 21 0 31
A2. Le polyn^ome caracteristique defest celui associe a la matriceA:
pA() = det(AI3) =
3012 42 1 0 3 Je developpe ce determinant par rapport a la deuxieme colonne, puisqu'elle contient un maximum de termes nuls. On a donc p
A() = (4)31
1 3 = (4)((3)21): On a pas d'autre choix que de developper la parenthese pour en trouver les racines, ce qui donne pA() = (4)(26+ 8):
Le polyn^ome26+ 8 est de degre 2, on sait donc facilement trouver ses racines en en calculant le discriminant et on obtient les deux racines 4 et 2, autrement dit pA() =(4)2(2):
3. On rappelle que les espaces propres deA, notesEouest une valeur propre deA,
sont simplement denis par E = ker(AI3): Il s'agit donc simplement ici de determiner des bases pour des noyaux, ce que l'on sait parfaitement faire avec la methode de Gauss ou par resolution d'un systeme. | Base deE2= ker(A2I3) : 0 @1 011 0 02 2 20 1 0
1 0 10 0 1
1 AC3 C3+C1!0
@1 0 01 0 12 2 40 1 0
1 0 00 0 1
1 A C3 C32C2!0
@1 0 01 0 12 2 00 12
1 0 00 0 1
1 AUne base deE2est donc donnee par8
:0 @1 2 11 A9= | Base deE4= ker(A4I3) : 0 @1 011 0 02 0 20 1 0
1 010 0 1
1 AC3 C3C1!0
@1 0 01 012 0 00 1 0
1 0 00 0 1
1 AUne base deE4est donc donnee par8
:0 @0 1 01 A ;0 @1 0 11 A9= On a donc dim(E2) + dim(E4) = 3 etAest diagonalisable.4. Notons
P=0 @1 01 2 1 01 0 11
A la matrice de passage obtenue gr^ace aux vecteurs de la question precedente. Le cours assure que l'on a alors A=P0 @2 0 0 0 4 00 0 41
A P1:5. Pour toute matriceBet pour tout entiern, on a toujours
(PBP1)n=PB(P1P)BP1:::PB(P1P)BP1=PBnP1:On a donc pour tout entiern
A n= (PDP1)n=PDnP1: On calcule donc l'inverse dePavec la methode de Gauss par exemple et on trouve P 1=0 @1=2 0 1=2 1 1 11=2 0 1=21
AOn calcule donc
A n=PDnP1=0 @1 01 2 1 01 0 11
A0 @2 0 0 0 4 00 0 41
An 0 @1=2 0 1=2 1 1 11=2 0 1=21
A 0 @1 01 2 1 01 0 11
A0 @2n0 0 0 4 n0 0 0 4 n1 An 0 @1=2 0 1=2 1 1 11=2 0 1=21
A = 2n10 @2n+ 1 0 12n 2(2 n1) 2n+12(2n1)12n0 2n+ 11
A Ne vous inquietez pas si vous ne trouvez pas le m^eme resultat, on ne vous demandera pas a l'examen de faire des calculs aussi lourds... L'important est que vous compreniez la methode. Exercice2Diagonaliser les matrices suivantes, lorsque cela est possible. A=0 @1 1 1 11 1 1 111 A ;B=0 @21 1 1 01 22 11A
Solution2| MatriceA.
On commence par calculer le polyn^ome caracteristique deA. On pourrait le simplier en faisant les operationsC1 C1+C2+C3puisL2 L2L1etL3 L3L1mais faisons comme si nous n'avions pas cette astuce en t^ete et developpons le "b^etement". p A() = 11 1 1111 11 On a donc en developpement par rapport a la premiere ligne disons, p