[PDF] fic00057pdf - Exo7 - Exercices de mathématiques

1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
View PDF Document




Previous PDF Next PDF


























1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
[PDF] diagonalisation matrice 2x2

[PDF] matrice non diagonalisable

[PDF] diagramme ? bandes 2e année

[PDF] activité diagramme ? bandes

[PDF] diagramme ? bandes vierge

[PDF] diagramme ? ligne brisée exercice

[PDF] diagramme circulaire en ligne

[PDF] diagramme circulaire tableau

[PDF] diagramme circulaire calcul

[PDF] diagramme circulaire exercices

[PDF] diagramme d'activité uml cours

[PDF] diagramme d'activité openclassroom

[PDF] diagramme d'activité ppt

[PDF] diagramme d'activité uml pdf

[PDF] diagramme d'activité vs diagramme de sequence

Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Exo7

Sujets de l"année 2007-2008

1 Partiel

Exercice 1Soita2RetAla matrice suivante

A=0 @1a0 a0 1 0 1a1 A 1. Calculer le déterminant de Aet déterminer pour quelles valeurs deala matrice est inversible. 2.

Calculer A1lorsqueAest inversible.

Soitq2R, on considère l"endomorphismefdeR3dont la matrice dans la base canonique est la suivante A=0 @cosqsinq0 sinqcosq0

0 0 11

A 1. Quelle est la nature géométrique de cet endomorphisme ? 2. Démontrer que, pour tout q2RnpZ, la matriceAadmet une unique valeur propre réelle. Quel est le sous-espace propre associé ? Que se passe-t-il siq2pZ? Soitul"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique est A=0 @422 2 0 2

3 3 11

A 1. Déterminer et f actoriserle polynôme caractéristique de A. 2.

Démontrer que les v aleurspropres de Asont 1 et2. Déterminer les sous-espaces propres associés.

3.

Démontrer que Aest diagonalisable et donner une base deR3dans laquelle la matrice deuest diagonale.

4.

T rouverune matrice Ptelle queP1APsoit diagonale.

Soitul"endomorphisme deR3, dont la matrice dans la base canonique est A=0 @3 22 1 0 1

1 1 01

A 1

1.Calculer les v aleurspropres de A. L"endomorphismeuest-il diagonalisable ? (Justifier).

2.

Calculer (AI)2. Démontrer queAn=nA+(1n)I.

Exercice 5SoitAla matrice

A=0 @1 0 0 1 2 1

0 0 21

A etfl"endomorphisme deR3associé. 1.

Déterminer les v aleurspropres de A.

2. Déterminer ,sans calculs, des v ecteurs~uet~vtels quef(~u) =2~uetf(~v) =2~v+~u. 3.

Soit ~etel quef(~e) =~e. Démontrer que(~e;~u;~v)est une base deR3et écrire la matrice defdans cette

base. 4. La matrice Aest-elle diagonalisable ? (Justifier.)

SoitAla matrice

A=0 @1 0 0 11 0 1 211 A etfl"endomorphisme deR3associé. 1. F actoriserle polynôme caractéristique de A. 2. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 3. Démontrer qu"il e xisteune base de R3dans laquelle la matrice defest B=0 @1 0 0 01 2 0 011 A et trouver une matricePinversible telle queAP=PB(ouA=PBP1). 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier). 5.

Pour t2R, calculer exptB.

6.

Donner les solutions des systèmes dif férentielsy0=Byetx0=Ax, oùxetydésignent des fonctions réelles

à valeurs dansR3.

Soita2RetAla matrice

A=0 @0 1 0 0a0

0a2 21

A 2

1.Pour quelles v aleursde ala matriceAest-elle diagonalisable ?

LorsqueAest diagonalisable, déterminer une base de vecteurs propres deA. 2.

Soit El"espace vectoriel des solutions du systèmex0=Ax, oùxest une fonction de la variable réelletà

valeur dansR3. (a) Lorsque Aest diagonalisable, donner une base deEen fonction des vecteurs propres et des valeurs propres deA. Ecrire la solution générale du système. (b) Lorsque An"est pas diagonalisable, intégrer directement le systèmex0=Ax. 3.

Soit E0l"ensemble des élémentssdeEtels que limt!+¥s(t) =~0. Démontrer queE0est un sous-espace

vectoriel deE. (hors barème) Déterminer sa dimension en fonction dea. 4.

Soit Fl"ensemble des élémentssdeEbornés sur[0;+¥[. Démontrer queFest un sous-espace vectoriel

deE. (hors barème) Déterminer sa dimension en fonction dea.

Exercice 8Soita2RetAa2M3(R)la matrice suivante

A a=0 @1 0a+1 12 0 1 1a1 A I 1. F actoriserle polynôme caractéristique PAa(X)en produit de facteurs du premier degré. 2.

Déterminer selon la v aleurdu paramètre ales valeurs propres distinctes deAaet leur multiplicité.

3. Déterminer les v aleursde apour lesquelles la matriceAaest diagonalisable. 4. Déterminer selon la v aleurde ale polynôme minimal deAa. II

On suppose, dans cette partie, quea=0, on noteA=A0etfl"endomorphisme deR3associé à la matriceA.

1. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 2. Démontrer que le sous-espace v ectorielk er(A+I)2est un plan stable parf. 3. Démontrer qu"il e xisteune base de R3dans laquelle la matrice defest B=0 @1 1 0 01 1 0 011 A et trouver une matricePinversible telle queA=PBP1(AP=PB). 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier). 5. Pour t2R, calculer exptBet exprimer exptAà l"aide dePet exptB. 6. Donner les solutions des systèmes dif férentielsY0=BYetX0=AX. 3 III On suppose, dans cette partie, quea=1, on noteA=A1. 1.

Vérifier que la matrice Aest diagonalisable.

2.

Diagonaliser la matrice A.

3. Donner les solutions du système dif férentielX0=A:X. IV On suppose, dans cette partie, quea=1, on noteA=A1. 1. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 2.

T rigonaliserla matrice A.

Correction del"exer cice1 NSoit a2Ret A la matrice suivante A=0 @1a0 a0 1 0 1a1 A

1.Calculons le déterminant de A et déterminons pour quelles valeurs de a la matrice est inversible.

On développe le déterminant par rapport à la première colonne, on obtient detA= 1a0 a0 1 0 1a =0 1 1a aa0 1a =1a3: La matriceAest inversible si et seulement si son déterminant est non nul. detA6=0()1+a36=0()a6=1:

2.Calculons A1lorsque A est inversible.

On supposea6=1, on aA1=1detAt˜A, où˜Aest la comatrice deAett˜Ala transposée de˜A. On a

A=0 @1a2a a2a1 a1a21 A =t˜A:

D"oùA1=11+a30

@1a2a a 2a1 a1a21 A

:Correction del"exer cice2 NSoitq2R, on considère l"endomorphisme f deR3dont la matrice dans la base canonique est la suivante

A=0 @cosqsinq0 sinqcosq0

0 0 11

A

1.Déterminons la nature géométrique de cet endomorphisme.

Notons(~i;~j;~k)la base canonique deR3, la matriceAest la matrice de la rotation d"axeR~kd"angleq. On peut ajouter que les vecteurs colinéaires àquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27