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THEG24colange@epita.lrde.frIIAlgorithmes de recherche du plus court chemin
-3 237
-31
-2 217
-31 -4-2Exemples :Distance-pondere-pos (graphe G=
, sommet s)
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THEG24colange@epita.lrde.frIIAlgorithmes de recherche du plus court chemin
THEG25colange@epita.lrde.frMotivation
Beaucoup de problèmes de la vie quotidienne
peuvent être représentés sous forme de graphes... Le calcul de distance (et donc un plus court chemin) en est un des plus courants : Les logiciels de GPS calculant des itinéraires routiersDistribution de chaleur dans les alentours
Connexion à haut débit par câble
Routage dans des réseaux de télécommunications THEG26colange@epita.lrde.frQuelques définitions AB FECD HG4 242-3 237
-31
48Définitions :La longueur d'un chemin est la somme des poids des arcsLa distance entre x et y (noté, d(x,y)) est le minimum des
longueurs sur tous les chemins. Un plus court chemin entre x et y est un chemin dont la longueur est égale à d(x,y).Exemples : Longueur de (A,E,F,B) est
4 + 2 + (-3) = 3 d(A, B) = 3 Plus court chemin entre A et B :
(A, E, F, B)THEG27colange@epita.lrde.frRemarques
Etant donnés deux sommets x et y, plusieurs cas se présentent :1) il n'y a pas de chemin de x à y.
2) il existe un ou plusieurs plus courts chemins de x à y.
3) il existe des chemins de x à y mais pas de plus court.
AB FECD HG4 241-2 217
-31 -4-2Exemples :
1) il y a pas de chemins entre A et H
(donc, pas de plus court chemin)2) il existe deux plus courts chemins
entre A et B : (A,B) et (A,E,F,B)3) il existe une infinité de plus courts
chemins entre B et F : (B,C,F), (B,C,F,B,C,F)....4) Il existe des chemins entre D et G mais pas de plus court : les chemins
(D,H,G,D,H,G....) sont arbitrairement courts.THEG28colange@epita.lrde.frCircuit absorbant
Définition :
Un circuit absorbant est un circuit de longueur négative. Si un graphe possède un circuit absorbant, alors il n'existe pas de plus court chemin entre certains de ses sommets. Théorème : Soit G un graphe orienté pondéré n'ayant pas de circuits absorbants, et x et y deux sommets de G. Si il existe un chemin allant de x à y, alors la distance d(x,y) est bien définie et il existe au moins un plus court chemin d e x à y. Attention : sauf indication contraire, les graphes que nous allons traiter par la suite sont sans circuit absorbant. THEG29colange@epita.lrde.frPropriétés des plus courts chemins Propriété 1 : Tout sous-chemin d'un plus court chemin est un plus court chemin. Propriété 2 : Si il existe un plus court chemin entre deux sommets x et y, alors il existe un plus court chemin élémentaire (sans cycle) entre x et y. THEG30colange@epita.lrde.frCalcul de distance : cas d'un graphe pondéré à 1 C'est un cas particulier de calcul de distance, dans le cas où tous lesarcs sont de poids 1. Étant donné un sommet initial x, on cherche à déterminer d(x,y) pour
tout sommet y.Principe :
Un sommet y est à distance n de x si :
il existe un chemin de longueur n de x à y, il n'existe pas de chemin de longueur strictement inférieure à n de x à y.Ces deux conditions peuvent se réécrire :
y est le successeur d'un sommet à distance n - 1 de x. La distance de x à y n'est pas plus petite que n. THEG31colange@epita.lrde.fr Calcul de distance : algorithmeDistance (graphe G, sommet s)
POUR CHAQUE
v ≠ s FAIRE couleur(v) Blanc ; distance(v) ∞ couleur( s) Rouge distance( s) 0F {s}
TANT-QUE not (FileVide(
F)) FAIRE
s Défiler(F )POUR CHAQUE
v δ(s)SI couleur( v) = Blanc ALORS couleur( v) Rouge distance( v) distance(s) + 1 père( v) sEnfiler(
F,v)FIN SI
FIN POUR
couleur( s) Noir FIN-TANT-QUECalculer la complexité dans les deux cas :1) liste d'adjacence ;
2) matrice d'adjacence
THEG32colange@epita.lrde.fr Calcul de distance : liste d'adj.Distance (graphe G, sommet s)
POUR CHAQUE
v ≠ s FAIRE couleur(v) Blanc ; distance(v) ∞ couleur( s) Rouge distance( s) 0F {s}
TANT-QUE not(FileVide(
F)) FAIRE
s Défiler(F )POUR CHAQUE
v δ(s)SI couleur( v) = Blanc ALORS couleur( v) Rouge distance( v) distance(s) + 1 père( v) sEnfiler(
F,v)FIN SI
FIN POUR
couleur( s) NoirFIN-TANT-QUEO(|S|)
O(1)O(|S|)
O(|S|)
O(|A|)O(|A|)
O(|A|)
O(|S|)
O(|S| + |A|)
THEG33colange@epita.lrde.frCalcul de distance : matrice d'adj.Distance (graphe G, sommet s)
POUR CHAQUE
v ≠ s FAIRE couleur(v) Blanc ; distance(v) ∞ couleur( s) Rouge distance( s) 0F {s}
TANT-QUE not(FileVide(
F)) FAIRE
s Défiler(F )POUR CHAQUE
v δ(s)SI couleur( v) = Blanc ALORS couleur( v) Rouge distance( v) distance(s) + 1 père( v) sEnfiler(
F,v)FIN SI
FIN POUR
couleur( s) NoirFIN-TANT-QUEO(|S|)
O(1)O(|S|)
O(|S|)
O(|S|2)O(|A|)
O(|A|)
O(|S|)
O(|S|2 + |A|)
THEG34colange@epita.lrde.frExemple calcul de distanceA l'état initial :
seul le sommet A est rougeLa file est réduite au site A
AB FECD dA(H)=∞dA(G)=∞dA(F)=∞dA(E)=∞AFile F THEG35colange@epita.lrde.frExemple calcul de distanceOn défile le sommet A
On visite les voisins blancs de A : B et E
Le sommet A devient noir
B FECDHGdA(A)=0dA(B)=1dA(B)=∞dA(D)=∞
dA(H)=∞dA(G)=∞dA(F)=∞dA(E)=1File FBBEA THEG36colange@epita.lrde.frExemple du BFS et le calcul de distanceOn défile le sommet B
On visite le voisin blanc de B : C
Le sommet B devient noir
B FECDHGdA(A)=0dA(B)=1dA(B)=2dA(D)=∞
dA(H)=∞dA(G)=∞dA(F)=∞dA(E)=1File FA BCBE THEG37colange@epita.lrde.frExemple calcul de distanceOn défile le sommet E
On visite le voisin blanc de B : F
Le sommet B devient noir
dA(A)=0dA(B)=1dA(B)=1dA(D)=∞ dA(H)=∞dA(G)=∞dA(F)=1dA(E)=1File FA BFBC EB FC GD H THEG38colange@epita.lrde.frExemple calcul de distanceOn défile le sommet F
F n'a pas de voisin blanc
Le sommet F devient noir
dA(A)=0dA(B)=1dA(B)=1dA(D)=∞ dA(H)=∞dA(G)=3dA(F)=1dA(E)=1File FA BG EB FC GD H THEG39colange@epita.lrde.frExemple calcul de distanceOn défile le sommet G
G n'a pas de voisin blanc
Le sommet G devient noir
dA(A)=0dA(B)=1dA(B)=1dA(D)=∞ dA(H)=∞dA(G)=1dA(F)=1dA(E)=1File FA EB FCDHG: VIDE
THEG40colange@epita.lrde.frExemple calcul de distance Il n'y a plus de sommet à défiler : Fin de l'algorithmeOn obtient une arborescence en largeurv S, dA(v) = longueur du plus court chemin entre A et vdA(A)=0dA(B)=1dA(B)=2dA(D)=∞
dA(H)=∞dA(G)=3dA(F)=1dA(E)=1File FA EB FCDHG: VIDE
THEG41colange@epita.lrde.frExemple calcul de distance dA(A)=0dA(B)=1dA(B)=1dA(D)=∞ dA(H)=∞dA(G)=1dA(F)=1dA(E)=1A EB FCDHGATTENTION :
Dans un parcours en largeur : tous les sommets ne sont pas visités Ainsi les sommet inaccessibles depuis l'origine gardent une distance ∞Sommets
inaccessibles depuis le sommet A THEG42colange@epita.lrde.frPrincipes des algorithmes dans le cas général (1/2) Étant donnés un graphe pondéré et un sommet s, on veut déterminer pour chaque sommet x la distance et un plus court chemin (par rapport à s). Les algorithmes de recherche de distance et de plus court chemin dans un graphe pondéré fonctionnent de la façon suivante. On calcule les distances d(s,x) par approximations successives. À un stade donné de l'algorithme on dispose d'estimations, distance(s), (éventuellement égales à +∞) pour ces distances, et de la donnée d'un prédécesseur Père(s) pour les plus courts chemins. THEG43colange@epita.lrde.frPrincipes des algorithmes dans le cas général (2/2) s xydistance(y) p(x,y)distance(x) A chaque étape, on essaye d'améliorer les valeurs obtenues précédemment : on considère un sommet x et un successeur y de x. On compare la valeur distance(y) a celle que l'on obtiendrait en passant par x, i.e., distance(x)+p(x,y). Si cette deuxième valeur est plus petite que distance(s), on remplace l'estimation distance(y) par distance(x)+p(x,y) et le père de y par x. Cette technique est appelée la technique de relaxation. La question est : comment appliquer la relaxation de façon efficace ? THEG44colange@epita.lrde.frCalcul de distance dans un graphe pondéré positif :Algorithme de Dijkstra (principe)
Met en oeuvre le principe général en le traduisant par la propriété suivante:Considérons un ensemble E de sommets (incluant la source s), dont on a calculé la distance
par rapport à s. Pour tout sommet x en dehors de E, nous déifinissons sa distance partielle (estimée) à s par :
distance(s, x) = min{ d(s, y) + p(y, x) | y ∈ E } (par convention : p(y,x) = +∞ si (y, x) ∉ A.)
Alors, si z est un sommet avec la plus petite distance partielle, sa distance partielle estégale à sa distance à s :
distance(s, z) = d(s, z) La distance partielle correspond à la longueur du plus court chemin de s à x qui n'emprunte que des sommets de E (à l'exception bien sûr du dernier sommet x). C'est donc le plus court chemin dans le sous-graphe induit par E ∪ {x}. THEG45colange@epita.lrde.frCalcul de distance dans un graphe pondéré positif :Algorithme de Dijkstra (principe)
Met en oeuvre le principe général en traduisant par la propriété suivante: On construit petit à petit, à partir de {s}, un ensemble E de sommets marqués. Pour tout sommet marqué x, l'estimation d(x) estégale à la distance d(s, x).
À chaque étape, on sélectionne un sommet non marqué x dont la distance estimée d(x) est la plus petite parmi tous les sommets non marqués. • On marque alors x (on rajoute x à E), puis on met à jour à partir de x les distances estimées des successeurs non marqués de x. • On recommence, jusqu'à épuisement des sommets non marqués. THEG46colange@epita.lrde.frCalcul de distance dans un graphe pondéré positif :Algorithme de Dijkstra
Distance-pondere-pos (graphe G=, sommet s)
POUR CHAQUE
v ≠ s FAIRE distance(v) ∞ distance( s) 0E ∅
TANT-QUE E ≠S FAIRE
s choisir({v S | distance(v)=min{distance(x) | xS}})E E ∪ {
s}POUR CHAQUE
v A(s)SI distance( v) > distance(s) + p(s,v) ALORS distance( v) distance(s) + p(s,v) père( v) sFIN SI
FIN POUR
FIN-TANT-QUEPreuve de correction ?
Complexité ?
THEG47colange@epita.lrde.frCalcul de distance dans un graphe pondéré positif :Algorithme de Dijkstra (Schéma de preuve)
La preuve se fait par l'absurde en utilisant la propriété 1. Supposons que pour un sommet y avec la plus petite distance partielle, on ait d(s,y) ≠ distance(s,y). La distance partielle correspondant à la longueur d'un chemin dans le graphe, on a donc en fait l'inégalité d(s,y) < distance(s,y). Pour obtenir une contradiction considérons un plus court chemin c de s à y, et sur ce chemin intéressons nous au premier sommet y' n'appartenant pas à E que nous rencontrons en partant de s. La longueur du chemin c est par déifinition d(s,y); elle est aussi d'après le propriété 1 d(s,y') + l(y',...,y). Nous avons donc d(s,y') Cependant le sommet y' étant non marqué, de par notre choix de y nous avons distance(s,y) d(s,y') < distance(s,y'). Pour conclure intéressons-nous au sommet x précédant y' sur lechemin c ; la propriété 1 implique que d(s,y') = d(s,x) +p(x,y'). Mais de par la déifinition de la
distance partielle, le sommet x appartenant à s, on a distance(s,y') CQFD.