La théorie des perturbations est un domaine des mathématiques, qui consiste à étudier les contextes où il est possible de trouver une solution approchée à une équation en partant de la solution d'un problème plus simple.
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^H() =^H0+^H1 ??????? ??????? ?? ???? ?^H0jni="njni; n0
0"1"2:::???????
??????? ???? ?? ????jni? hn0j^H1jni; ;n0;n0 :?????? E "="n="n+1=:::="n+N1 ???? ????? ??????E1E 2E 3 E n() ="n+E(1)+2E(2)+::: j n()i=jni+j (1)i+2j (2)i+::: E hn0j (1)i=hn0j^H1jni" ??hnj (1)i= 0? E (2)=X n 06=n hn0j^H1jni2" j (1)i=X n
06=njn0ihn0j (1)i=X
n
06=njn0ihn0j^H1jni"
n"n0 E λ0
ε +λΕ(1)
0 (1) 2ε +λ Ε +λ Ε(2)Ε
1er ordre
2eme ordre
hnj n()i= 1
1 =hnj n()i=hnjni+hnj (1)i+:::= 1 +hnj (1)i+:::
hnj (i)i= 0; i= 1;2::: ^H0+^H1jni+j (1)i+:::="n+E(1)+jni+j (1)i+::: ???i????i= 0;1;:::? ???? ????? ?
0:^H0jni="njni
1:^H0j (1)i+^H1jni="nj (1)i+E(1)jni
2:^H0j (2)i+^H1j (1)i="nj (2)i+E(1)j (1)i+E(2)jni
????1? n0hn0j (1)i+hn0j^H1jni="nhn0j (1)i+E(1)hn0jni E ?? ????n06=n? hn0j (1)i=hn0j^H1jni" nhnj (2)i+hnj^H1j (1)i="nhnj (2)i+E(1)hnj (1)i+E(2) ????E(2)=hnj^H1j (1)i=P n
06=nhnj^H1jn0ihn0j (1)i???? ?
E (2)=X n 06=n hn0j^H1jni2" kx2? ???? ?????? ??????? ??? ?? ????? ??????? s i= 0??? ???? ?? ?????? ??? ???0 =diSds i(0) =s0? ???? ?????0 =S0(0) =s1??? ??????? ??? ?? ????? ??x4?
H=^p22m+12
k^x2+^x4???????
H0=^p22m+12
k^x2 ^H1=^x4 0=12 hxj0i=1(2)1=4exp x222 =~m! 1=2 E (1)=h0j^H1j0i=Z dxh0j^x4jxihxj0i Z dxx
4jhxj0ij2=1(2)1=2Z
e x2
2x4dx=34
4 E (2)=X n 06=0 hn0j^H1j0i2"
0"n0=:::=218
8~! jn0i?^H1= ^x4? ?????? ??a+??j0i?? E
0="0+E(1)+2E(2)+:::
E
00.10.20.30.40.50.60.7
E Exact (numérique)
perturbation
2ème ordre
ki?i= 1;:::;N?? ???? ??????? ??? "+E(1) k X jH i;j j k=E(1) k?k= 1:::N?????? ????? 3 E E
E2,12,22,3Dégénérescence
E() ="+E(1)+2E(2)+:::
j ()i=j (0)i+j (1)i+2j (2)i+:::
0:^H0j (0)i="j (0)i
1:^H0j (1)i+^H1j (0)i="j (1)i+E(1)j (0)i
("n0")hn0j (0)i= 0 "hn;ij (1)i+hn;ij^H1j (0)i="hn;ij (1)i+E(1)hn;ij (0)i hn;ij^H1j (0)i=E(1)hn;ij (0)i;8i= 1;:::;N N X
Onde plane incidenteE
kx
E(~x;t) =<~E~k;!ei!tei~k~x
;~E~k;!2C3???????
B(~x;t) =<~B~k;!ei!tei~k~x
;~B~k;!2C3 c=! ~k ~B=1c ~E B=1c 0 ~k ~k^~E1 AE B ~E~k;!???? ?? ???? ~B??????? ???? ???? ?? ?????~E? q vc
E=FE:vc
F BFE
E(~x;t)'~E(~x0;t)
FE=!grad(H1) =q~E(~x0;t)
H
1(~x;t) =q~x:~E(~x0;t) =~D:~E(~x0;t)
H=^H0+^H1(t)
^Wei!t+^W+ei!t ^W=12 q^~x:~
E(t) =~E(~x0;t) =<~E~k;!ei!tei~k~x0
=12
E~k;!ei!tei~k~x0+???????
;~E~k;!2C3 j (t= 0)i=j ai ^H0?
H0j ki=Ekj ki
P a!b(t) =jh bj (t)ij2=?EaE b a,b j (t)i=X kj kieiEkt=~ |{z} ck(t)|{z} ^H0;???? ??????? ?t= 0?? ? c k(0) =k;a???????
1 =h (t)j (t)i=X
kjck(t)j2 P a!b(t) =jh bj (t)ij2=jcb(t)j2 ???? ?? ????? ?????^H1(t) =q^~x:~E0(t)? ??
H(t) =^H0+^H1(t)
dj (t)idt i~ ^H(t) j (t)i X kj kieiEkt~ i~
Ekck+dckdt
=i~ ^H0+^H1(t) X kj kieiEkt~ ck! X ke iEkt~ ck i~
Ekj ki i~
^H1(t)j ki dc b(t)dt =i~ X kc k(t)eiEkt~ eiEbt~ h bj^H1(t)j ki??????? H b;k(t) =h bj^H1(t)j ki b;k=EbEk~ c k(t) =c(0) k+c(1) k+2c(2) k+:::???????
0:dc(0)
bdt = 0
1:dc(1)
bdt =i~ X kc (0) k(t)ei!b;ktHb;k(t) c (0) b(t) =b;a c (1) b(t) =i~ R t
0ei!b;at0Hb;a(t0)dt0???
???? ?? ??????? ?????jcb(t)j2=2c(1) (1) a!b(t) =2~ 2 Z t 0 ei!b;at0Hb;a(t0)dt02 P (1) a!b(t) =1~ 2 Wb;aZ t 0 ei +t0dt0+Wy b;aZ t 0 ei t0dt02 Z t 0 ei t0dt0=ei t1i F(t; ) :=ei t1i 2
4sin2(
t2 2:?? 6= 0 t 2:?? = 0??????? RFd = 2t?? F(t; )!2t( );????t! 1??????? P (1) a!b(t) =1~ 2 Wbaei ?t1 ++W+ baei t1 2 ΩF 2 0 a,b1/t C 1?? ?????P(1) ????? ? ???? ??!' !b;a? ?? ????? ?P (1) a!b(t)'jWbaj2~ 2F(t; !b;a=EbEa~ ??????Ea???? ?? ????Eb??Eb=Ea(~!)? abP (t) 2~1/ abΩ=ω-ω = 0si a!b(t)? ? =!!a;b???? ?????
6= 0??
E W ba=h bje2 ^~x:~
E~k;!j ai
~SE ="0c2 jWbaj2=14 ~E~k;!2~Dba2cos2??????? I2"0c Eθ j bi?? ??????? ??????? ? P P inca!b(t) =Z 1 0 P ab(t)d! incab(t) =2~
2jWbaj2t=I~
?? ????? ?T ab=dPincabdt =2~
2jWbaj2=constante:tauxdetransition??
ab=TabI T ab=I3~2c"0jDabj2
P (t)inc
(E) =dndE E a
TransitionContinuum
P a!cont=X bP inca!b(t) Z P inca!b(t)(E)dE???dn=dndE dE=(E)dE dEd =~?Pa!cont=~RPinca!b(t)(E)d ?P a!cont(t) =(Eb)2~ T a!cont=dPa!cont(t)dt =(Eb)2~ jWabj2 a-cont (E) =dndE =2h
3(2m)V p
dd (!) = 32~m! Zka a 5 cos 2 dd (!) = 16~m! Zka a 5quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
Chapitre 1 Perturbations stationnaires