Introduction a la Topologie - Université Grenoble Alpes

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20 octobre 2013

COURS DE TOPOLOGIE (L3)

Universite Lille 1

2013-2014

L ea Blanc-Centi

1 ESPACES NORM

ES, ESPACES METRIQUES1.1 Rappels sur les ensembles denombrables

1.1.1 Denition

EFINITION-PROPRIETEUn ensembleIest ditdenombrable

()i) il existe une bijection deIsur une partie deN; ()ii) il existe une bijection deIsur une partie de la formef0;:::;q1gou surNentier; ()iii) il existe une suite croissante de parties niesJkItelle queI=[ k2NJ k. Autrement dit, on peut numeroter les elements deI. D

EMONSTRATION:

i) equivaut aii) car toute partieKnie de cardinalq(resp. innie) deNest en bijection avec l'ensemblef0;:::;q1g(resp. avecNentier). ii) =)iii) : commeiii) est inchangee par bijection, il sut de traiter les cas {I=f0;:::;q1g: alorsJk=Ipour toutkconvient; {I=N: alorsJk=f0;:::;kgconvient. iii) =)ii) : on numerote progressivement les elements deI. NotonsJ0=fa0;:::;aq01g, J

1=fa0;:::;aq01;aq0;:::;aq11g(puisqueJ0J1), etc. Il y a deux cas.

Ou bien la suite Jkest stationnaire : il existe un indicek0tel que8kk0; Jk=Jk0; dans ce casI=Jk0est ni. Ou bien le pro cessusest inni : d ansce c asl 'applicationn7!anest bien denie de NdansI, est injective par construction, et surjective (car tout element deIest dans l'un desJk).

1.1.2 ExemplesToute partie nie, toute partie deN, tout ensemble en bijection avec un ensemble denombrable

sont denombrables.Z=S k2Nfl2Zj klkgest denombrable.

PROPOSITION 1.1QetQ[X]sont denombrables.

EMONSTRATION:

On utilise leiii) de la denition. PourQ, on pose

J k=nab

2Qj jaj k+ 1;0 et pourQ[X], on poseJ0kl'ensemble des polyn^omesP2Q[X] de degre au pluskdont tous les coecients sont dansJk. PROPOSITION 1.2Un produitnide denombrables, une reunion denombrable de denombrables, une partie d'un denombrable, l'image (surjective) d'un denombrable sont egalement denombrables. 1 D
EMONSTRATION:
il sut de montrer que le produit de deux ensembles denombrables est denombrable : si I=[ k2NJ ketI0=[ k2NJ
0k(ou lesJketJ0ksont nis, et les suites croissantes pour l'inclusion),
alorsII0=[ k2N(JkJ0k). Les partiesJkJ0ksont nies et la suite est croissante pour l'inclusion. siLest une partie denombrable et pour toutl2L,Ilest denombrable : on peut ecrire I l=[ k2NJ l;k(ou lesJl;ksont nis, et la suite est croissante pour l'inclusion). CommeL est denombrable on peut supposer que c'est une partie deN. Alors[ l2LI l=[ p2NJ 0pou J 0p=[ k2N; l2L; k+lpJ l;k. On verie que lesJ0kforment bien une suite croissante de parties nies. siI=[ k2NJ kest denombrable, etI0I, alorsI0=[ k2N(I0\Jk); sifest une fonction denie surI, alorsf(I) =[ k2Nf(Jk) ou lesf(Jk) forment bien une suite croissante de parties nies : doncf(I) est denombrable.
1.2 Espaces vectoriels normes1.2.1 Denitions
D EFINITIONSoitEunK-espace vectoriel (K=RouC). On appellenormesurEune application notee k k:E!R+veriant :
1.8x2E;82K;kxk=jjkxk(homogeneite);

2.8x;y2E;kx+yk kxk+kyk(inegalite triangulaire);

3.kxk= 0()x= 0.

Si seulement les proprietes 1:) et 2:) sont veriees, mais pas 3:), on parle desemi-norme.UnK-espace vectoriel normeest un couple (E;k k) ouk kest une norme surE.
On peut ecrire l'inegalite triangulaire de facon equivalente sous la forme suivante, appeleeseconde inegalite triangulaire:
8x;y2E;jkxk kykj kxyk:
D EFINITIONUnealgebre normee unitaireest un quadruplet (E;+;;k k) ou : 1. ( E;k k) est un espace vectoriel norme; 2. ( E;+;) est une algebre;
3.8x;y2E;kxyk kxk kyk.
Exemple :l'ensemble des fonctions bornees deIdansK, muni deN1ouN1(f) = Sup x2Ijf(x)j.
1.2.2 Normes provenant d'un produit scalaireRappelons qu'unproduit scalaireest une applicationhji:EE!K, qui est
lin eairepar r apport ala seconde v ariable; 2 {d eniep ositive: 8x6= 0;hxjxi>0.
Exemple :surRnouCn,hxjyi=Pn
1x kyk. TH EOREME 1.1SoitEunK-espace vectoriel,hjiun produit scalaire surE. On a : l'inegalite de Cauchy-Schwarz :8x;y2E;jhxjyij phxjxiphyjyi avec egalite ssi les vecteursxetysont colineaires. l'inegalite de Minkowski :en posantkxk=phxjxi,
8x;y2E;kx+yk kxk+kyk
avec egalite ssixetysont colineairesde m^eme sens(i.e.le coecient de proportionnalite est dansR+).
En particulier,k kest une norme surE, et on a

8x;y2E;jhxjyij kxkkyk:
ATTENTION :deux vecteursx;y2Esont colineaires ssi ou bien92Kjy=x, ou bienx= 0. D
EMONSTRATION:
Commencons par montrer l'inegalite de Cauchy-Schwarz. On se donnex;y2E. Six= 0 ouy= 0 on a bien s^ur l'inegalite voulue. On suppose doncx6= 0 ety6= 0. Soit2Rtel que hxjeiyi 2R: Par exemple, puisquehxjeiyi=eihxjyi, on peut prendre=Arghxjyisihxjyi 2C, et = 0 sihxjyi= 0. En particulier, puisqueeihxjyi 2R: jhxjyij2=jeihxjyij2= (eihxjyi)2: Pourt2R, on posef(t) =hx+teiyjx+teiyi. Le produit scalaire etant deni positif, on af(t)0 pour toutt2R. De plus : f(t) =hxjxi+hxjteiyi+hteiyjxi+hteiyjteiyi[bilineaire] =hxjxi+hxjteiyi+hxjteiyi+te ihyjteiyi[hermitienne] =hxjxi+ 204eihxjyi24hxjxihyjyi= 4(jhxjyij2 hxjxihyjyi)

c'est-a-dire l'inegalite de Cauchy-Schwarz. De plus il y a egalite ssi il existet02Rtel que f(t0) = 0. Par denition defet d'apres les proprietes du produit scalaire, cela signie que x+t0eiy= 0. Donc il y a egalite ssi il existe2C(=t0ei) tel quex=y.

Pour l'inegalite de Minkowski :

hx+yjx+yi=hxjxi+hxjyi+hyjxi+hyjyi=kxk2+ 2Or kx+yk2 kxk2+ 2kxkkyk+kyk2= (kxk+kyk)2; 3 avec egalite ssi il y a egalite a chaque etape c'est-a-dire, egalite dans l'inegalite de Cauchy-

Schwarz et Or il y a egalite dans l'inegalite de Cauchy-Schwarz ssixetysont colineaires,i.e.ssi ou bien92C= x=you bieny= 0. Comme1.2.3 Exemples fondamentauxOn note`1(K) =f(uk)2KNjPjukjconvergeg,`2(K) =f(uk)2KNjPjukj2convergeget

1(K) l'ensemble des suites bornees.

versionespaceN 1N 2N 1nieK n x= (x1;:::;xn)n X k=1jxkjv uutn X k=1jxkj2Max

1knjxkjdiscreteespace des suites (uk)2KN

telles que le terme suivant ait un sens+1X k=0jukjv uut+1X k=0jukj2Sup k2NjukjcontinueC

0([a;b];K)Z

b a jf(t)jdtsZ b a jf(t)j2dtMax x2[a;b]jf(x)jJustications : pourN1surC0([a;b];K) : une fonction continue sur un segment est bornee (et atteint ses bornes); pourN2: dans chacun des cas, c'est une norme provenant d'un produit scalaire : {hxjyi=nX k=1x kyksurKn; {h(uk)j(vk)i=+1X k=0u kvksur`2(K); {hfjgi=Rb af(t)g(t)dtsurC0([a;b];K).

1.2.4 Comparaison de normesPROPOSITION 1.3

SoitNetN0deux normes sur le m^emeK-espace vectorielE:

9k >0j 8x2E; N0(x)kN(x)

m toute suite(un)qui converge vers 0 dans(E;N)(i.e.N(un)!0) converge vers 0 dans(E;N0)(i.e.N0(un)!0) D

EMONSTRATION:

()) si9k >0j 8x2E; N0(x)kN(x) : pour toute suite (un)nd'elements deEtelle queN(un)!0, on a alors 0N0(un)kN(un) et doncN0(un)!0. 4 (() par l'absurde, supposons qu'il n'existe pas dek >0 tel que8x2E; N0(x)kN(x) : cela signie que pour toutk >0, en particulier pour toutk=n2N, il existe unx2E qu'on noteraxntel queN0(xn)> nN(xn). En particulierN0(xn)>0 et 1n >1N

0(xn)N(xn) =N1N

0(xn)xn

En posantyn=1N

0(xn)xn, on a 0N(yn)<1n

: doncN(yn)!0 maisN0(yn) = 1, contradiction. D EFINITIONDeux normesNetN0sur le m^emeK-espace vectorielEsont ditesequivalentes

9 k1; k2>0j 8x2E; k1N(x)N0(x)k2N(x);

()les suites qui convergent vers 0 pourNouN0sont les m^emes. Exemple :surKn, les normesN1,N2etN1sont equivalentes. Plus precisement, on a : N

1(x)N2(x)pnN

1(x) etN1(x)N1(x)nN1(x):

1.3 Espaces metriques1.3.1 Denition

Pour denir une norme on avait besoin d'une structure d'espace vectoriel surE; pour une distance ce n'est pas necessaire. D EFINITIONSoitEunensemble. UnedistancesurEest une applicationd:EE!R+veriant pour tousx;y;z2E:

1.d(x;y) = 0()x=y;

2.d(x;y) =d(y;x) (symetrie);

3.d(x;y)d(x;z) +d(z;y) (inegalite triangulaire).

Unespace metriqueest un couple (E;d) ouEest un ensemble etdune distance surE. SiAE, alorsdinduit une distance surA(la distance entrex;y2Aestd(x;y)), appelee distance induite.

PROPOSITION 1.4Sidest une distance surE:

8x;y;z2E;jd(x;z)d(y;z)j d(x;y)d(x;z) +d(z;y):

EMONSTRATION:

L'inegalite de droite est l'inegalite triangulaire. On l'applique de nouveau pour obtenir l'inegalite de gauche : d(x;z)d(x;y) +d(y;z) et doncd(x;z)d(y;z)d(x;y). De m^eme, en echangeant les variablesxety, on obtientd(y;z)d(x;z)d(x;y), d'ou la majorationjd(y;z)d(x;z)j d(x;y). Exemples :- surRouC:d(x;y) =jxyj. Plus generalement : PROPOSITION 1.5Sur un espace vectoriel norme(E;k k),d(x;y) =kxykdenit une distance. 5 - surZ:d(x;y) =jxyj, c'est la distance induite surZpar (R;j j) (d(x;y)<1()x=y). - surEquelconque :d(x;y) = 1 six6=y,d(x;x) = 0 denit bien une distance, appeleedistance discrete. PROPOSITION 1.6Si(E1;d1);:::;(Es;ds)sont des espaces metriques, on munit le produitE1:::Esd'une distance de la facon suivante :

8x= (x1;:::;xs); y= (y1;:::;ys); dmax(x;y) = Max1isdi(xi;yi)

Sur (R;j j):::(R;j j), on obtient :8x;y2Rs; dmax(x;y) = Max1isjxiyij=N1(xy). D

EMONSTRATION:

Verions quedmaxest une distance surE=E1:::Es:

dmax(x;y) = 0() 8i; di(xi;yi) = 0() 8i; xi=yi()x=y. dmax(x;y) =dmax(y;x) par symetrie desdi. siz2E:dmax(x;y) = Max1isdi(xi;yi)Max1is[di(xi;zi) +di(zi;yi)] d'apres l'inegalite triangulaire pour lesdi. Or pour touti,di(xi;zi)dmax(x;z) etdi(zi;yi)dmax(z;y), doncdi(xi;zi) +di(zi;yi)dmax(x;z) +dmax(z;y), d'ou l'inegalite voulue.

1.3.2 BoulesD

EFINITIONSoit (E;d) un espace metrique,x2Eetr >0. On denit : la boule ouvertede centrexet de rayonr:B(x;r) =fy2Ejd(x;y)< rg; la boule fermeede centrexet de rayonr:BF(x;r) =fy2Ejd(x;y)rg; la spherede centrexet de rayonr:S(x;r) =fy2Ejd(x;y) =rg.

On a les inclusions

pour 0< r < r0:B(x;r)BF(x;r)B(x;r0) mais attention, ces inclusions ne sont pas toujours strictes. Ainsi, dans (Z;j j),

B(0;13

) =BF(0;13 ) =B(0;12 ) =f0g:

Exemples :- dansR2, la boule unite est un disque si l'on choisit la distance induite par la norme euclidienne

2, et un carre ]1;1[]1;1[ si l'on choisit la distance induite par la normeN1.

- si (E1;d1);:::;(En;dn) sont des espaces metriques etE=E1:::Enest muni de la distancedmax, B

E(x;r) =fy2Ejdmax(x;y)< rg

=fy= (y1;:::;yn)2E1:::Enjmaxj(dj(xj;yj))< rg =fy= (y1;:::;yn)2E1:::Enj 8j= 1;:::;n; dj(xj;yj)< rg =fy= (y1;:::;yn)2E1:::Enj 8j= 1;:::;n; yj2BEj(xj;r)g =BE1(x1;r):::BEn(xn;r) et bien s^ur ce n'est plus forcement vrai si l'on munitEd'une autre distance. - dansE=C0([a;b];R), on prend la distance induite parN1: d(f;g) =N1(fg) = Maxt2[a;b]jf(t)g(t)j 6 et la boule ouverte de centrefet de rayonrest l'ensemble des fonctionsgcontinues de [a;b] dans Rveriant8t2[a;b]; g(t)2]f(t)r;f(t) +r[) (i.e.dont le graphe est situe dans un \tube" de hauteur 2rcentre autour du graphe def). D EFINITIONDeux distancesdetd0sur le m^eme espaceEsonttopologiquement equivalentessi pour tout x2E, toute boule (ouverte) pourdcentree enxcontient une boule (ouverte) pourd0centree enx, et reciproquement. PROPOSITION 1.7l'equivalence topologique est une relation d'equivalence; siEest unK-espace vectoriel norme etN,N0sont deux normes equivalentes surE, alors les distances induites sont topologiquement equivalentes. D

EMONSTRATION:

Une relationRest une relation d'equivalence si elle est - re exive (dRd), - symetrique (dRd0=)d0Rd) - transitive (dRd0etd0Rd00=)dRd00), et ces proprietes sont ici toutes veriees. Sidest la distance induite par la normeN, etd0la distance induite par la normeN0: par denitiond(x;y) =N(xy) etd0(x;y) =N0(xy). Or les normesNetN0sont equivalentes :9k;k+>0j 8x2E; kN(x)N0(x)k+N(x). En particulier,

8x;y2E; kd(x;y)d0(x;y)k+d(x;y):

Ainsi, sir >0 ety2Bd0(x;rk)i.e.d0(x;y)< rk, alorsd(x;y)< ret doncy2Bd(x;r). Autrement dit,Bd0(x;rk)Bd(x;r). De m^eme, en echangeant les r^oles des deux distances, on montre que toute boule pourd0centree enxcontient une boule pourdcentree enx. D EFINITIONOn dit qu'une partieAd'un espace metrique (E;d) estbornees'il existe une boule fermee

BF(x0;r) contenantA,i.e.:

9x02E;9r >0j 8x2A; d(x0;x)r

Unefonctionf:I!Eest borneesif(I) est une partie bornee deE. Le caractere borne ne depend pas du choix dex0, car si9r >0jAB(x0;r), alors8x12E,

8x2A; d(x1;x)d(x1;x0) +d(x0;x)d(x1;x0) +r

et doncAB(x1;r1) our1=d(x1;x0) +r.

1.3.3 Distance entre deux parties, diametreD

EFINITIONSoit (E;d) un espace metrique etA;Bdeux parties non vides deE. On denit : la distance entreAetB:d(A;B) = inffd(a;b)ja2A; b2Bg; le diametre deA: diam(A) = Supfd(a1;a2)ja1;a22Ag.

On a toujoursd(A;A) = 0,d(A;E) = 0.

Exemples :- dans (R;j j),A=f0g,B=f1n

jn2Ng:d(A;B) = 0 (maisA6=B!), diam(A) = 0, diam(B) = 1. - dans (R2;N2),A=B(0;2),B=f(3;0)g:d(A;B) = 1, diam(A) = 4, diam(B) = 0. 7

2 VOCABULAIRE DES ESPACES TOPOLOGIQUES

But : degager, a partir de l'etude des espaces metriques, les structures permettant de parler de limite et de continuite. L'exemple fondamental estR(ouRn) : la theorie generale englobe bien s^ur cet exemple, mais conduit parfois a des situations moins intuitives.

2.1 Espaces topologiques2.1.1 Denition, ouverts

D EFINITIONSoitXun ensemble. Unetopologie surXest la donnee d'une familleOde parties deX, appeleesouverts, veriant :

1.;etXsont des ouverts;

2. toute r euniond' ouvertsest un ouv ert; 3. une in tersectionnied'ouverts est un ouvert. Autrement dit,Oest stable par union quelconque, intersection nie, et contient;etX. On dit alors queXmuni de cette topologie est unespace topologique. REMARQUE :pour verier queOest stable par intersection nie, il sut de verier que si O

1;O22 O, alorsO1\O22 O.

Exemplesimmediats, sur tout ensembleX:

{O=f;;Xg:topologie grossiere; {O=P(X) l'ensemble des parties deX:topologie discrete. Exemple fondamental :surR, on denit une topologie par

O2 O () 8x2O;9rx>0j]xrx;x+rx[O;

appeleetopologie usuelle deR. D

EMONSTRATION:

; 2 O, etR2 O(par exemple, six2R, alors ]x1;x+ 1[R); Oest stable par reunion quelconque : si lesOsont des ouverts deR, et six2S O, alors il existe0tel quex2O0. CommeO0est un ouvert deR, il exister >0 tel que ]xr;x+r[O0et donc ]xr;x+r[S O; Oest stable par intersection nie : soitO1,O2des ouverts etx2O1\O2. Par denition, pouri= 1;2, il existeri>0 tel que ]xri;x+ri[Oi. En posantr= min(r1;r2), on a bienr >0 et ]xr;x+r[O1\O2. DoncO1\O2est un ouvert deR. En particulier, on verie qu'un \intervalle ouvert" (qui est de la forme ]a;b[, ] 1;b[, ]a;+1[ ou ] 1;+1[) est eectivement un ouvert deR!

D'autre part, siOest un ouvert deR, on a doncS

x2O]xrx;x+rx[O, et l'autre inclusion est aussi vraie car siy2O, alorsy2]yry;y+ry[S x2O]xrx;x+rx[. Donc tout ouvertOde Rs'ecrit comme une reunion d'intervalles ouverts :O=S x2O]xrx;x+rx[.

2.1.2 Topologie des espaces metriquesPROPOSITION 2.1Soit(E;d)un espace metrique. La famille

O=fOEj 8x2O;9rx>0; B(x;rx)Og

denit une topologie surE. Pour cette topologie, les \boules ouvertes" sont des ouverts. 8 D

EMONSTRATION:

; 2 O, etE2 O(par exemple, pourx2E,B(x;1) :=fy2Ejd(x;y)<1g E); Oest stable par reunion quelconque : si lesOsont des ouverts deE, et six2S O, alors il existe0tel quex2O0. CommeO0est un ouvert deE, il exister >0 tel que

B(x;r)O0et doncB(x;r)S

O; Oest stable par intersection nie : soitO1,O2des ouverts etx2O1\O2. Par denition des ouverts, pouri= 1;2, il existeri>0 tel queB(x;ri)Oi. En posantr= min(r1;r2), on a bienr >0 etB(x;r)B(x;ri)Oi, doncB(x;r)O1\O2. AinsiO1\O2est un ouvert deE. Verions que toute boule ouverte est un ouvert : soitx02Eet >0, etx2B(x0;). Posonsrx=d(x0;x) : alorsrx>0 puisquex2B(x0;), etB(x;rx)B(x0;) (en eet, siy2B(x;rx), on ad(x0;y)d(x0;x) +d(x;y)< d(x0;x) +d(x0;x) =i.e. y2B(x0;)). Ainsi une distance surEinduit une topologie surE. Quand on parlera d'un espace metrique (E;d), il sera toujours implicitement muni de cette topologie. Idem pour (E;k k) unK-espace vectoriel norme : la topologie est celle induite par la distanced(x;y) =kxyk. ATTENTION :une distance induit une topologie. Mais deux distances dierentes peuvent induire la m^eme topologie : par exemple, sidest une distance, alorsd0(x;y) = 2d(x;y) denit encore une distance, qui induit la m^eme topologie qued(car toute boule pourdest une boule pourd0et reciproquement, donc les ouverts sont les m^emes).

2.1.3 FermesD

EFINITIONDans un espace topologiqueX, on dit queFXestfermesi et seulement si son complementaire est un ouvert. On a donc les proprietes suivantes, par passage au complementaire :

1.;etXsont des fermes;

2. toute in tersectionde ferm esest un ferm e; 3. une union niede fermes est un ferme.

REMARQUE :;etXsont a la fois ouverts et fermes.

DansR:

les \in tervallesferm es"[ a;b] (ou1< a < b <+1) sont des fermes : en eet,c[a;b] = ] 1;a[[]b;+1[ est une union d'intervalles ouverts donc un ouvert. les in tervalles[ a;+1[ et ]1;b] (oua;b2R) sont des fermes : en eet,c[a;+1[=]1;a[ et c] 1;b] =]b;+1[ sont des ouverts. [0; 1[n'est ni ouv ertni ferm e. {Zest ferme carcZ=S k2Z]k;k+ 1[ est une reunion d'intervalles ouverts, donc un ouvert. PROPOSITION 2.2Soit(E;d)un espace metrique. Toute \boule fermee"BF(x;r)est un ferme, toute sphere est un ferme. D

EMONSTRATION:

Il sut de montrer que toute boule fermee est un ferme : en eet, on aura alorsS(x;r) = fy2Ejd(x;y) =rg=BF(x;r)[cB(x;r) qui sera l'intersection de deux fermes (puisque la boule ouverteB(x;r) est un ouvert).

On va donc montrer que

cBF(x;r) =fy2Ejd(x;y)> rgest un ouvert. Si est vide, c'est vrai. Sinon, soity2 : alorsd(x;y)r >0 etB(y;d(x;y)r) (en eet, siz2B(y;d(x;y)r)i.e.d(y;z)< d(x;y)r, alorsd(z;x)d(x;y)d(y;z)> ri.e. z =2BF(x;r)). Donc est bien un ouvert deE. REMARQUE :pourE=f0g[[1;+1[ muni de la topologie donnee parjj, on aBF(0;12 ) =B(0;1) qui est donc a la fois un ouvert et un ferme. 9

2.1.4 Voisinages

D EFINITIONSoitXun espace topologique etx2X: une partieVXest unvoisinage dexs'il existe un ouvertOtel quex2OV. On noteVX(x) l'ensemble des voisinages dexdansX: \V2 VX(x)" signie \Vest un voisinage dexdansX".

En particulier :

{Xest un voisinage dex; un v oisinagede xcontientx; si V2 V(x) etVW, alorsW2 V(x); une union quelconqu e(resp. un ein tersection nie)de v oisinagesde xest encore un voisinage dex.

PROPOSITION 2.3Une partieOest un ouvert

()i)Oest un voisinage de chacun de ses points :8x2O; O2 V(x); ()ii)hEspace metriquei

8x2O;9r >0jB(x;r)O.

EMONSTRATION:

i) SoitOun ouvert : six2O, alorsOcontient un ouvert (lui-m^eme) contenantxdoncO est un voisinage dex. Reciproquement, siOest un voisinage de chacun de ses points : pour toutx2O, il existe un ouvertOxtel quex2OxO. Alors[x2OOxOet il y a egalite, doncOest une reunion d'ouverts donc un ouvert. ii) est vrai, par denition de la topologie d'un espace metrique. REMARQUE :on a vu que tout ouvertOdeRs'ecrit comme une reunion d'intervalles ouverts : O=S x2O]xrx;x+rx[. Comme les intervalles ouverts sont des ouverts deRet qu'une reunion d'ouverts est un ouvert, on a ainsi montre que les ouverts deRsont exactement les reunionsquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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