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Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 1 TD DENOMBREMENT PROF: ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF Avec solutions ŃŃ MŃMP P de réflexions Exercice1 : Soient les ensembles : A = {1, 2}, B = {a, b, c} et 11;C E nn
Calculer : Card(A) et card(B) et card(C) Solutions : Card(A)=2 et card(B)=3 C est un ensemble fini : `0;1;2;3;5;11C et 6cardC Exercice2 : Soient A et B et C trois ensembles finis. 1) Calculer card A Bet card A Ben fonction de card Aet card B et card A B 2)Montrer que card A B C card A card B card C card A B card A C card A B C (Formule de Poincaré (cas particuliers) :n=3) Solutions :1)a) Calcul de : card A B A B A B A et A B A B Donc : card A B cardA card A B 1)b) Calcul de : card A B On a :A B A B A B On sait que : Si BA alors : card A B card B card A Donc card A B card A B card A B Donc :2card A B card A card B card A B 2)Montrer que card A B C card A B C card A B C card A B card C card A B C Après les calculs on trouve : card A B C card A card B card C card A B card A C card A B C Exercice3 : Dans un lycée de 100 élèves, 53 pratiquent le football et 15 le football et basket-ball et 20 pratiquent seulement basket-ball sans football 1)Quelle est Le nombre d'élèves qui pratiquent le basket-ball ? 2)Quelle est Le nombre d'élèves qui pratiquent au moins un sport ? 3)Quelle est Le nombre d'élèves qui ne pratiquent pas Les deux sports ? Solution : ensemble de tous les élèves ensemble des élèves qui pratiquent le football et ensemble des élèves qui pratiquent le basket-ball : 100cardE 53cardFet 13card F Bet 20card B F 1) card B card B F card B F Donc : 13 20 33card B 2) ensemble des élèves qui pratiquent au moins un sport est FB card F B cardF cardB card F B 53 33 13 73card F B 3) ensemble des élèves qui ne pratiquent pas Les deux sports est : F B F B On a : F B F B E Donc : card F B card F B cardE Donc : card F B cardE card F B Donc : 100 73 37card F B Exercice 4 : Dans une promotion de 36 étudiants, 22maîtrisent le C++, 22 le C# et 18 le Java. De plus, 10 étudiants maîtrisent à la fois le C++ et le C#, 9 maîtrisent à la fois le C# et le Java, et 11à la fois le C++ et le Java. programmation ? Solution : Soit x qui maîtrisent On cherche à calculer card(ABC). 2ere fois 1ere fois 2 2 DENOMBREMENT
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 2 Or les hypothèses signifient que card(AB)=36, card(A)=22 , card(B)=22 , card(C)=18, card(AB)=10, card(BC)=9, card(AC)=11. On utilise alors la formule de Poincaré avec trois ensembles : card(AB On en déduit facilement que card(ABC)=4. Exercice 5 : Combien de nombres de trois chiffres peut former avec les chiffres Suivants : 0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;.. ;9 ? Solution : Il y9 possibilités pour le chiffre des unités Il y possibilités pour le chiffre des dizaines Il y possibilités pour le chiffre des centaines principe général dénombrement le nombres de possibilités est : 9 10 10 900n Exercice 6 : On lance une pièce de monnaie 2 fois de suite. Quelle est le nombre de possibilités ? Solution : Il ypossibilités pour la 1 fois : P (pile) ou F (face) Il ypossibilités pour la 2 fois : P (pile) ou F (face) principe général dénombrement le nombres de possibilités est : : `;;;PP FF PF FP 2 2 4n Exercice 7 : On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Quelle est le nombre de possibilités ? Solution : Il ypossibilités pour la 1 fois : P (pile) ou F (face) Il ypossibilités pour la 2 fois : P (pile) ou F (face) Il ypossibilités pour la 3 fois : P (pile) ou F (face) principe général dénombrement le nombres de possibilités est : : `; ; ; ; ; ; ;PPP PPF PFP PFF FPP FPF FFP FFF Exercice 8 : Une classe de 15 garçons et 12 filles. Il faut un garçon et une fille pour représenter la classe. Combien de possibilités de choix ? Solution : 15 possibilités pour choisir un garçon, et 12 possibilités pour choisir la fille. Il y a 15 x 12 = 180 possibilités. Exercice 9 : de 20 membres souhaite élire : Le président, Le secrétaire, et Le trésorier. Combien Ya-t-il de possibilités d'avoir ces trois responsables. Pas de cumul de fonction. Solution : Pour le président : 20 possibilités (20 membres). Pour le secrétaire : 19 possibilités (19 membres restants). Pour le trésorier : 18 possibilités (18 membres restants). Le total des possibilités n est le produit : 20 19 18 36342n Exercice 10 : Combien de nombres de deux chiffres tels que :Le chiffre des unités est 0 ou1ou 2 et le Le chiffre des dizaines est 5 ou 6 ou 7 ou 8 ? Solution :Le nombre de nombre AB avec :`0;1;2A et `5;6;7;8B Donc : 3 4 12card A B cardA cardB Exercice 11 : si On lance un dé deux fois de suite. Quelle est le nombre de possibilités ? Solution :Le nombre de possibilités nombre AA avec :`1;2;3;4;5;6A Donc : 6 6 36card A A cardA cardA Exercice 12 : Combien de menus peut-on composer si on a le choix entre 3 entrées, 5 plats et 4desserts ? Solution : On a ici 3 sous-expériences : le choix de choix du plat et enfin le choix du le principe multiplicatif on aura donc 3×5×4menus àdire 60.
3ere fois 2ere fois 1ere fois 2 2 2 2 2 2 8n
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 3 Exercice 13 : `1;2;3;4;5;6;7;8;9M 1)Combien de nombres de 3 chiffres on peut former avec les éléments de E? 2)Combien de nombres de 3 chiffres différents deux a deux on peut former avec les éléments de E? Solutions : 2) le nombre cherché est Le nombre des applications de `;;N U D C dans `1;2;3;4;5;6;7;8;9M avec Ule chiffre des unités et Dle chiffre des dizaines et Cle chiffre des centaines Donc le nombre est : 3
39 9 9 9 729
fois1) le nombre des nombres CDU est 9 8 7 504 Exercice 14 : 1) de Combien de façons différentes peut - on ranger 5 boules de couleurs différentes dans 4 cases sachant que chaque case peut contenir tous les boules Solutions : le nombre de façons : est Le nombre des applications de `1 2 3 4; ; ;N C C C C dans `1;2;3;4;5M avec iC la case i Donc le nombre est : 4
45 5 5 5 5 625
foisExercice 15 : E={A,B,C} soit ()PE tous les parties de E Déterminer en extension ()PE et calculer : ()cardP E Solution :Les sous-ensembles de E = {a, b, c} sont l'ensemble vide Ø, les trois singletons {a}, {b}, {c}, les trois paires {a, b}, {a, c}, {b, c}, et l'ensemble E = {a, b, c} lui-même donc : ()PE={ Ø ,{a}, {b}, {c},{a, b}, {a, c}, {b, c}, E} 3( ) 8 2cardP E Exercice 16: Combien de numéros de téléphone à 8 chiffres peut-on former ? Solution : Il s'agit clairement d'une situation d'arrangements avec répétitions puisque l'ordre des chiffres importe et qu'un numéro de téléphone peut comporter plusieurs fois le même chiffre. Avec les notations précédentes, l'ensemble E est constitué des chiffres utilisables pour composer un numéro de téléphone, i.e. E={0,1,...,9}, et on a alors n=card(E)=10 On s'intéresse aux arrangements avec répétitions de p=8 éléments de E . D'après le résultat ci-dessus, il y en a 810 Exercice 17 : Quel est le nombre de mots comportant 5 lettres distinctes ? (Sans se préoccuper du sens des mots) Solution :Il s'agit clairement d'une situation d'arrangements sans répétitions puisque l'ordre des lettres importe et que l'on requiert qu'elles soient distinctes. Avec les notations précédentes, l'ensemble E est constitué des lettres de l'alphabet, i.e. E= {a, b,...,z} } , et on a alors n=card(E)=26 On s'intéresse aux arrangements sans répétitions de p=5 éléments de E . D'après le résultat ci-dessus, il y en a : 5
2626 25 24 23 22 7893600A Exercice 18 : dans un tournoi il Ya 10 participants Déterminer le nombre de classements des 3 premiers places (on suppose que 2 coureurs ne peuvent pas prendre le même classement Solution : Il s'agit d'une situation d'arrangements sans répétitions donc : 3
1010 9 8 720A Exercice 19 : Une urne contient 9 boules numérotées de 1 à 9. 1)On tire 3 boules de urne Successivement avec remise Et on construit un nombre de trois chiffres Quel est le nombre de nombres possibles ? 2)On tire 3 boules de urne Successivement sans remise Quel est le nombre de nombres possibles ? Solution :1) Il s'agit clairement d'une situation d'arrangements avec répétitions (Successivement avec remise) il y en a donc :39 9 9 9 729 2) Il s'agit d'une situation d'arrangements sans répétitions (Successivement sans remise) il y en a donc : 3
99 8 7 504A Exercice 20 : Quelle est le nombre de mots de 4 lettres (avec un sens ou non) du mot " AID peut former ? Solution : " ADI permutation Les mots sont : " AID » et " ADI » " IAD » " IDA » " DAI » " DIA » il y en a donc : 6 3 2 1 permutations 3 2 1 se note 3! Exercice 21 : De combien de façons pouvez-vous ranger 10 livres sur une étagère ? Solution : 10! = 3628800 Exercice 22 : De combien de façons peut-on mélanger un jeu de 36 cartes ?
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 4 Solution : 4136! 3.72 10 Exercice 23 : Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot : " excellence » ? Solution : 10!
4! 1! 2! 2! 1! = 37800 Car e se répète 4 fois et x une fois et c deux fois L deux fois et n une fois Exercice 24 : soit un ensemble Quelle est le nombre de sous-ensembles à 2 éléments ? Solution :Les sous-2 éléments sont : { {a , b} , { a , c } , { a , d } , {a , e }, {b , c}, {b , d }, {b , e }, {c , d}, {c , e }, {d, e}} Il y a : 10 sous-ensembles Sous-ensembles à 2 éléments -COMBINAISON Exercice 25 : Une urne contient 7 boules numérotées de 1 à 7. On tire 2 boules de urne simultanément 1. Quel est le nombre de tirages possibles ? 2. Quel est le nombre de tirages pour que la somme des numéros des boules tirées soit pair ? 3. Quel est le nombre de tirages pour que la somme des numéros des boules tirées soit impair ? Solution :1) Il s'agit clairement d'une situation de combinaisons puisque chaque tirage est une permutation de 2 éléments dans un ensemble de 7 éléments (simultanément) donc le nombre de tirages possibles est : 2
27776212! 2 1
AC u 2)pour que la somme des numéros des boules tirées soit pair il suffit de tirer 2 boules pairs ou tirer 2 boules impairs Donc : le nombre est : 22
2234434 3 3 26 3 92! 2! 2 1 2 1
AACC uu Car il ya 3boules pairs et 4boules impairs 3) pour que la somme des numéros des boules tirées soit impair il suffit de tirer une boules pairs et tirer une boules impairs : Donc : le nombre est : 11
434 3 12CC Exercice 26 : UN tournoi sportif compte 8 équipes engagées. Chaque équipe doit rencontrer toutes les autres une seule fois Combien doit-on organiser de matchs ? Solution : Une rencontre est déterminée par le choix de deux équipes parmi 8 tre deux équipes -retour), le choix (équipe A, équipe B) est identique au choix (équipe B, équipe A). Il y a donc
288!282! 8 2 !Crencontres possibles Exercice 27 : 4 hommes et 5 femmes et on souhaite élire un comité de 2 hommes et 3 femmes 1) Combien de comités peut-on élire ? 2) on suppose que le président H1 et Madame la secrétaire F1 doivent être présent Combien de comités peut-on élire ? Solution :1) Il s'agit d'une situation de combinaisons de5 éléments dans un ensemble de 9 éléments (simultanément) donc le nombre de comités peut élire est : 23
456 10 60CC 2) le nombre est : 23
343 4 12CC Exercice 28 : À la fin de , tous les élèves se serre la main. S'il y a 30 élèves, combien de poignées de mains sont échangées ? Solution : 2
30435C Exercice 29 : Dans une classe de 20 élèves, on compte 12 garçons et 8 filles. On doit élire 5 délégués 1)Quel est le nombre de choix possibles ? 2)Quel est le nombre de choix de délégués de même sexe ? 3)Quel est le nombre de choix de délégués de sexe différents ? 4)Quel est le nombre de choix de délégués qui contient 3 garçons et 2 filles ? 5)Quel est le nombre de choix qui contient au plus une fille ? 6)On suppose que dans cette classe il existe un élève a) Quel est le nombre de choix de délégués de 5 élèves qui ne contiennent ni x ni y b) Quel est le nombre de choix de délégués de 5 élèves qui contiennent x mais pas y Exercice 30 : Combien de diagonales contient un polygone convexe à n côtés (une diagonale relie deux sommets non adjacents) ? Exercice 31 : Développer (1 + x)5 et (1 - x)5 de la formule du binôme. Solution :
5555011pp n px C x
50 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 51nx C x C x C x C x C x C x Remarque : Les coefficients binomiaux pouvait également être
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 5 ligne 5 : Donc :51 2 3 4 51 5 10 10 5nx x x x x x x
5555501 1 1
pp n px x C xDonc :
51 2 3 4 51 5 10 10 5nx x x x x x x Exercice 32 : Dans une entreprise, il y a 800 employés. 300 sont des hommes, 352 sont membres d'un syndicat, 424 sont mariés, 188 sont des hommes syndiqués, 166 sont des hommes mariés, 208 sont syndiqués et mariés, 144 sont des hommes mariés syndiqués. Combien Ya-t-il de femmes célibataires non syndiquées ? Solution : Notons E ; H, M et S les ensembles constitués respectivement des employés, des employés hommes, des employés mariés, des employés syndiqués. L'énoncé donne: card(E)=800, card(H)=300, card(S)=352, On cherche : card H M S où A désigne le complémentaire de A dans E . D'après les lois de Morgan card H M S card H M S On applique la formule du crible de Poincaré : card(HM On en déduit : card(HMS)=658 800 658 142card H M S Il y a donc 142 femmes célibataires non syndiquées Exercice 33 : Une femme a dans sa garde-robe : 4 jupes, 5 chemisiers et 3 vestes. Elle choisit au hasard une jupe, un chemisier et une veste. De combien de façons différentes peut-elle Solution : 4×5×3=60 façons Exercice 34 : sportive groupant 18 athlètes, on attribue une Combien y-a-t-il de distributions possibles (avant Solution : Un tel podium est un arrangement de 3 un athlète ne pouvant remporter deux médailles simultanément). Il existe donc :
31818! 18!18 17 16 489618 3 ! 15!A Podiums différents Exercice 35 : Un questionnaire à choix multiples, autorisant une seule réponse par question, comprend 15 questions. Pour chaque question, on propose 4 réponses possibles. De combien de façons peut-on répondre à ce questionnaire ? Solution :Une réponse à ce QCM peut être désignée par une 15-liste de 15 chiffres choisis `1;2;3;4. Le nombre de ces 15-listes est donc de cardinal
15154card Exercice 36 : Six personnes choisissent mentalement un nombre entier compris entre 1 et 6. 1) Combien de résultats peut-on obtenir ? 2) Combien de résultats ne comportant pas deux fois le même nombre peut-on obtenir ? Solution 1) Un tel choix est donné par un 6-uplet (sextuplé) de 6 chiffres, chacun choisi entre 1 et 6. Pour connaître le nombre de choix, on effectue `1;2;3;4;5;6 6 fois par lui-même. Il y donc 66 46656choix possibles. 2) Si les six chiffres doivent être distincts, un tel choix sera donné par un arrangement de 6 à-dire une permutation des 6 chiffres. Il aura donc 6 !=720 choix possibles Exercice 37 : Soit A l'ensemble des nombres de quatre chiffres, le premier étant non nul. 1) Calculer le nombre d'éléments de A. 2) Dénombrer les éléments de A : a) composés de quatre chiffres distincts b) composés d'au moins deux chiffres identiques c) composés de quatre chiffres distincts autres que 5 et 7
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 6 Solution : 1) Les éléments de A sont tous les nombres de 1000 à 9999. Il y en a donc 9000. Ainsi Card A =9000 2) a) Un nombre de A est un élément du produit cartésien : - `11;2;3;4;5;6;7;8;9en guise de premier chiffre. Il y a 9 possibilités. - Une fois cet élément choisi, il va falloir choisir les 3 chiffres restants parmi 9 seulement (aucun ne pouvant être égal au premier chiffre choisi). On doit donc choisir un arrangement de trois éléments pris dans un ensemble de 9 chiffres. Il y a
399! 9!9 8 7 5049 3 ! 6!A tels arrangements. chiffres distincts vaut donc 9 × 504 =4536 b) Le contraire de " au moins deux chiffres identiques » est " quatre chiffres distincts » Le possédant " au moins deux chiffres identiques » est égal au nombre distincts, nombre qui a été calculé dans la possédant " au moins deux chiffres identiques » vaut donc 9000-4536=4464 c) Un nombre de A composé de quatre chiffres distincts autres que 5 et 7 est un élément du produit cartésien : - `21;2;3;4;5;6;7;8;9 en guise de premier chiffre. Il y a 7 possibilités. - Une fois cet élément choisi, il va falloir choisir les 3 chiffres restants parmi 7 seulement (aucun ne pouvant être égal au premier chiffre choisi, ni égal à 5 ou 7). On doit donc choisir un arrangement de trois éléments pris dans un ensemble de 7 chiffres. Il y a
377! 7!7 6 5 2107 3 ! 4!A tels arrangements. Le chiffres distincts autres que 5 et 7 vaut donc 7 210 1470 Exercice 38 : Quatre garçons et deux filles 1) Quel est le nombre de dispositions possibles ? 3) Même question si chaque fille est intercalée entre deux garçons. 4) Même Solution : Désignons par `1 2 3 4; ; ;G G G G Ggarçons et `12;F F F dispositions différentes. e 4 garçons 2 filles ou 2 filles 4 garçons Au sein de chaque configuration, il y a 2 !=2 manières de permuter les 2 filles, et 4 !=24 manières de permuter les 4 garçons Il y aura au total manières de placer ainsi ces six personnes 2×4 ! ×2 ! =9 6 3) Si chaque fille est intercalée entre deux garçons, il y a trois configurations possibles : G F G F G G ou G G F G F G ou G F G G F G Une fois la configuration " choisie », il y a 2 ! =2 manières de permuter les 2 filles, et 4 ! =24 manières de permuter les 4 garçons Il y aura au total 3×2 ! ×4 ! =144 manières de placer ainsi ces six personnes F F G G G G ou G F F G G G ou G G F F G G ou G G G F F G ou G G G G F F Une fois la configuration " choisie », il y a 2 ! =2 manières de permuter les 2 filles, et 4 ! =24 manières de permuter les 4 garçons Il y aura au total 5× 2 ×4 ! =240 manières de placer ainsi ces six personnes Exercice 39 : en position générale (c'est-à-dire que deux droites ne sont jamais parallèles, et 3 droites ne sont jamais concourantes). Combien de triangles a-t-on ainsi tracé? Solution :Un triangle est déterminé par 3 droites (ses côtés). Il y a autant de triangles que de possibilités de choisir 3 droites parmi n, c'est-à-dire :
31 2 3 ! 1 2!
3! 3 ! 3! 3 ! 6nn n n n n n nnCnn
Exercice 40 : Dans une classe de 32 élèves, on compte 19 garçons et 13 filles. On doit élire deux délégués 1) Quel est le nombre de choix impose un garçon et fille 3) Quel est le nombre de s Solution :Les délégués sont choisis sans ordre
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 7 1) Les choix simultanés de 2 délégués parmi les 32 élèves sont au nombre de 2
32496C alors le choix des deux délégués est un élément du produit cartésien entre : - parmi les 19 garçons, soit 1
1919Cchoix - simultanés de 1 délégué parmi les 13 filles, soit 1
1313C 11
19 1319 13 247CC délégués, le nombre de choix des deux délégués est donc " réduit » au nombre de choix de 2 délégués parmi les 19 garçons, au nombre de 2
19171C Exercice 41 : Au service du personnel, on compte 12 célibataires parmi les 30 employés. On désire faire un sondage : pour cela on choisit un échantillon de quatre personnes dans ce service. possibles ? 2) Quel est le nomaucun célibataire ? moins un célibataire ? Solution : 1au nombre de choix de 4 personnes parmi les 30, soit 4
30C 27405 célibataires est égal au nombre de choix de 4 personnes parmi les 30-12=18 non célibataires, soit 4
18C3060 3) Le contraire de " au moins un célibataire » est " aucun célibataire ». aucun célibataire. Ces deux nombres ayant été déterminés dans les deux questions précédentes, contenant au moins un célibataire est égal à 44
30 1827405 3060 24345CC Exercice 42 : Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4). 1) On tire successivement et au hasard 3 jetons du sac, sans remettre le jeton tiré. Calculer les possibilités : a) De ne tirer que 3 jetons verts ; b) De ne tirer aucun jeton vert c) De tirer au plus 2 jetons verts ; d) De tirer exactement 1 jeton vert. 2) On tire simultanément et au hasard 3 jetons du sac. Reprendre alors les questions a), b), c) et d). Solution : 1) Tirages successifs sans remise de 3 jetons On a 3
5()card A A ». On a 3
4()card B A verts » cad :Ne tirer aucun vert ou Tirer exactement 1 vert ou Tirer exactement 2 verts 3 1 2 2 1
9 5 4 5 4( ) 3 3card C A A A A A On a 3
5()card A C " Ne tirer aucun jeton vert ». On a 3
4()card b C verts » cad Ne tirer aucun vert ou Tirer exactement 1 vert ou Tirer exactement 2 vert : 3 1 2 2 1
9 5 4 5 4C C C C C vert ». 21
54CC Exercice 43 : club de 18 personnes. On doit former un groupe club à un spectacle. 1) Combien de groupes de 5 personnes peut-on constituer ? 2) Dans combien de ces groupes peut figurer Christian ? 3) Christian et Claude ne pouvant se supporter, combien de groupes de 5 personnes peut-on constituer de telle façon que Christian et Claude ne se retrouvent pas ensemble ? Solution : 1) Le nombre de choix de 5 personnes parmi les 18 est égal à 5
188568C
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 8 2) Le nombre de groupes dans lequel figure Christian est égal (une fois lui choisi) au nombre de groupes de 4 personnes choisies parmi 17, soit 4
172380C 3) Afin que Christian et Claude ne se retrouvent pas ensemble, il faut : - constituer un groupe de 5 personnes contenant Christian mais pas Claude. Le nombre de groupes dans lequel figure Christian mais pas Claude est égal (une fois lui choisi) au nombre de groupes de 4 personnes Claude), soit 4
161820C1 OU - constituer un groupe de 5 personnes contenant Claude mais pas Christian.De façon analogue à ce qui précède (Christian et Claude jouent des rôles similaires), il y a 4
161820C possibilités Il y a donc 44
16 163640CCrépondant à cette condition Exercice44:Une course oppose 20 concurrents, dont Ahmed. 1. Combien Ya-t-il de podiums possibles ? 2. Combien Ya-t-il de podiums possibles où Ahmed est premier ? 3. Combien Ya-t-il de podiums possibles dont Ahmed fait partie ? 4. On souhaite récompenser les 3 premiers en leur offrant un prix identique à chacun. Combien Ya-t-il de distributions de récompenses possibles ? Solution :1)Pour le premier, on a 20 choix possibles, pour le second 19, pour le troisième 18. Le nombre de podiums possibles est donc égal à 20×19×18=6840. 2)Le premier concurrent est Ahmed. Pour les autres places, il y a 19 puis 18 choix possibles ; Le nombre de podiums ainsi constitués est de 19×18. 3)Il y a trois choix possibles pour la place . Une fois ce choix fixé, il y a 19 choix possibles pour la première des deux autres places, puis 18 choix possibles pour la seconde des deux autres places. Le nombre de podiums vérifiant ces conditions est donc de 3×19×18. 4)L'ordre n'est plus important, et on cherche le nombre de choix de 3 concurrents parmi 20, c'est-à-dire 3
201140C Exercice 45 : Dans une pièce, il y a deux tables. La première dispose de 3 chaises, numérotées de 1 à 3, la seconde dispose de 4 chaises, numérotées de 1 à 4. Sept personnes entrent. Combien Ya-t-il de possibilités de les distribuer autour de ces deux tables ? Solution :On commence par choisir les personnes qui vont s'installer autour de la première table. Il y a 3
7Cpossibilités. Ensuite, les 3 personnes qui sont autour de la première table peuvent choisir librement leur place. Il y a 3! choix (autant que de permutations des 3 chaises). De même, il y 4! choix pour les personnes qui s'installent autour de la deuxième table. Le nombre total de possibilités est donc 3
7C×3!×4! Le fait de trouver 7! montre que le dénombrement que nous avons fait, qui suit les données de l'énoncé, peut être simplifié. En effet, le fait d'imposer deux tables ne change en réalité rien au problème : on doit placer 7 personnes sur 7 chaises, et il y a 7! façons différentes de le faire. Exercice 46 : Un cadenas possède un code à 3 chiffres, chacun des chiffres pouvant être un chiffre de 1 à 9. 1)1-1) Combien y-a-t-il de codes possibles ? 1-2) Combien Ya-t-il de codes se terminant par un chiffre pair ? 1-3) Combien y-a-t-il de codes contenant au moins un chiffre 4? 1-4) Combien y-a-t-il de codes contenant exactement un chiffre 4? 2)Dans cette question on souhaite que le code comporte obligatoirement trois chiffres distincts. 2-1) Combien y-a-t-il de codes possibles ? 2-2) Combien y-a-t-il de codes se terminant par un chiffre impair ? 2-3) Combien y-a-t-il de codes comprenant le chiffre 6? Solution : 1)1-1) Il y a 39=9×9×9=729 codes possibles. 1-2) Pour chacun des deux premiers chiffres, il y a 9 choix possibles. Pour le dernier, il y a 4 choix possibles (on peut choisir 2,4,6,8). Il y a donc 9×9×4=324 tels codes. 1-3) On va compter par différence. Il y a 8×8×8 codes ne contenant pas du tout le chiffre 4. Il y a donc codes comprenant au moins une fois le chiffre 4. 1-4) Il y a 3 choix pour la place dans le nombre où se situe le chiffre 4. Pour chacun des deux autres chiffres, il y a 8 choix possibles. Il y a donc 3×8×8=192 tels codes. 2) 2-1)On cherche cette fois un arrangement de 3 chiffres parmi 9. Il y a donc 9×8×7= 504 choix possibles 2-2) Il y a cinq choix pour le dernier chiffre. Celui-ci choisi, il reste huit choix pour le premier chiffre,
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 9 puis sept pour le deuxième. Il y a donc 8×7×5=280 tels codes 2-3) Il y a 3 choix pour la place dans le nombre où on place le chiffre 6. Pour les autres chiffres, il y a d'abord 8 choix, puis 7 choix possibles. Le nombre de tels codes est donc de 8×7×3=168. Exercice 47 : Ali et Fatima font partie d'une équipe de 8 joueurs (6 garçons et 2 filles). On décide de fabriquer un comité de 3 joueurs. 1)Combien y-a-t-il de comités possibles ? 2)Combien y-a-t-il de comités contenant exactement 2 garçons et 11 fille ? 3)Combien y-a-t-il de comités contenant au moins deux garçons ? 4)On veut que Ali et Fatima soient ensemble dans le comité. Combien y-a-t-il de comités possibles ? 5)On ne veut pas que Ali et Fatima soient ensemble dans le comité. Combien y-a-t-il de comités possibles ? Solution :1) Il s'agit de choisir trois joueurs parmi 8. Le nombre de comités possibles est donc de 3
856C 2)Il s'agit de choisir deux garçons parmi 6, puis une fille parmi 2. Le nombre de choix possibles est donc de 21
62CC 3)On compte le nombre de comités comprenant 3 garçons : il vaut 3
6C (il faut choisir trois garçons parmi 6). On a déjà compté le nombre de comités comprenant exactement deux garçons. Donc le nombre de comités comprenant au moins deux garçons vaut 2 1 3
6 2 6C C C 4)Il ne reste qu'à choisir le dernier membre du comité : il y a 6 comités comprenant à la fois Ali et Fatima On compte les comités comprenant Ali, mais pas Fatima, et les comités comprenant Fatima, mais pas Fred. Dans le premier cas, on trouve 2
6C) comités (il reste à choisir deux joueurs parmi 6, puisqu'on ne peut plus prendre ni Ali, ni Fatima). Dans le second cas, on a aussi 2
6Ccomités. On compte enfin les comités ne comprenant ni Ali, ni Fatima. Il y en a 3
6CFinalement, le nombre total de comités ne comprenant pas simultanément Fatima et Ali est 2 2 3
66650CCC . Plus simplement, on pouvait aussi soustraire du nombre total de comités 56, cf question 1) le nombre de comités comprenant à la fois Fred et Émile (6, cf question 4), et on retrouve bien 50 comités ne comprenant pas simultanément Ali et Fatima. Exercice 48 : On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de physique, et 3 de chimie. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement: si les livres doivent être groupés par matières. si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés. Solution :Il y a 3! façons de choisir l'ordre des matières. Une telle façon choisie, il y a 4! façons de ranger les livres de mathématiques, 6! façons de ranger les livres de physique, et 3! façons de ranger les livres de chimie. Le nombre de rangements possible est donc : 3!4!6!3! Il peut y avoir 0,1,...,9 livres placés avant les livres de mathématiques. Il y a donc 10 choix du nombre de livres placés avant le livre de mathématiques. Ce choix fait, il y a 4! façons d'ordonner les livres de mathématiques, et 9! façons d'ordonner les autres : il y a donc en tout 10×4!9! rangements différents. Exercice 49 : Dénombrer les anagrammes des mots suivants : MATHS, RIRE, ANANAS. Solution :Une anagramme correspond à une permutation des lettres d'un mot. Mais si on permute deux lettres identiques, on trouve le même mot On doit donc diviser le nombre total de permutations par le nombres de permutations entre lettres identiques. On trouve donc : MATHS : 5! RIRE : 4!
2! ANANAS : 6!
2!3! Exercice 50 : Soit p points du plan distincts non aligner 3 par 3. 1)Combien de polygones à np côtés peut-on réaliser à partir de ces points ? 2)On fixe un tel polygone à n côtés. Combien de diagonales ce polygone comporte-t-il? Solution : 1)Il faut d'abord choisir n points parmi ces p points. Il y a n
pC tels choix. Ces points AAn étant choisis, on fixe un premier sommet comme origine. On choisit ensuite le sommet suivant pour lequel il y a npuis le troisième sommet, pour lequel il y a netc... Il y a donc (nsommets. Mais attention, procédant ainsi, on compte chaque polygone deux fois car l'ordre global des points n'importe pas (par exemple, le polygone ABCD est le même que le polygone ADCB ). Finalement, on trouve qu'il y a 11!2
n pnC polygones possibles à n sommets choisis parmi p points du plan.Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 10 2)Une diagonale est définie par deux sommets consécutifs. On choisit donc d'abord un premier sommet A parmi les n sommets du polygone. On choisit ensuite un deuxième sommet parmi les sommets du polygone qui ne sont ni A ni un sommet adjacent à A . Il y a ncompte deux fois chaque diagonale (la diagonale (AB) est comptée en choisissant A , puis B , et en choisissant B , puis A ). Le nombre de diagonales est donc32
nn. Exercice 51 : Dans une urne se trouvent 9 boules : 4 rouges numérotées 0 ;1 ;1 ;2 et 3 vertes numérotées 1 ;2 ;2 et deux noires numérotées 1 ; 3 On en tire 3 boules Et on considéré les évènements suivants : A " obtenir trois boules de trois couleurs différentes. Deux à deux » B " obtenir trois boules qui portent le même numéro C " la somme des numéros des boules tirées est égale a 4 » D " obtenir au moins une boule rouge » Trouver le nombre de possibilités des évènements A ; B ; C ; D dans les cas suivants : 1)Tirage de 3 boules simultanément 2)Tirage de 3 boules Successivement Avec remise 3)Tirage de 3 boules Successivement sans remise Solutions : on note les couleurs par : R ; V ; N 1)Tirage de 3 boules simultanément a) A " obtenir trois boules de trois couleurs différentes. Deux à deux » si on tire une boule rouge et une boule verte et une noire et on obtient la combinaison : `;;R V N et le nombre de possibilités Est 1 1 1
4 3 24 3 2 24C C C donc : 24cardA b) B " obtenir trois boules qui portent le même numéro » Tous les numéros : 0 ;1 ;1 ;1 ;1 ;2 ;2 ;2 ;3 Donc : 3 boules qui portent 1 ou 3 boules qui portent 2 donc le nombre de possibilités est 33
434 1 5CC donc : 5cardB c) C " la somme des numéros des boules tirées est égale a 4 » les possibilités sont : 3+1+0=4 ou 0+2+2=4 ou 2+1+1=4 cad les combinaisons : `0;1;3ou `0;2;2 ou `1;1;2 donc le nombre de possibilités est 1 1 1 1 2 2 1
1 4 1 1 3 4 34 3 6 3 25cardC C C C C C C C d) methode1 : D " obtenir au moins une boule rouge » Obtenir au moins une boule rouge si : On tire 1 rouge et 2 non rouges ou 2 rouges et 1 non rouges ou 3 rouges cad les combinaisons : `;;RRRou `;;RRR ou `;;RRR avec :R " ne pas tirer une boule rouge » 1 2 2 1 3
4 5 4 5 44 10 6 5 4 74cardD C C C C C Methode2 : D "ne pas obtenir de boules rouges » Donc les 3 tirés sont non rouges 3
510cardD C Donc 3
984 10 74cardD C cardD 2)Tirage de 3 boules successivement Avec remise a) A " obtenir trois boules de trois couleurs différentes. Deux à deux » si on tire une boule rouge et une boule avec répétition de type: ;;R V N et le nombre de possibilités est : 6 4 3 2 144cardA b) B " obtenir trois boules qui portent le même numéro » Donc : 3 boules qui portent 1 ou 3 boules qui portent 2 de type: 0;0;0ou 1;1;1 ou 2;2;2 ou 3;3;3 donc le nombre de possibilités est 3 3 3 31 4 3 1 93cardB c) C " la somme des numéros des boules tirées est égale a 4 » les possibilités sont : 3+1+0=4 ou 0+2+2=4 ou 2+1+1=4 cad on obtient une de type: 1;1;2ou 0;2;2 ou 0;1;3 Donc le nombre de possibilités est 22
333!1 4 1 1 3² 4² 3 195cardC C C d)D "ne pas obtenir de boules rouges » Donc les 3 tirés sont non rouges le nombre de tous possibilités est :39cardE Donc 339 5 604cardD 3)Tirage de 3 boules successivement sans remise a) A " obtenir trois boules de trois couleurs différentes. ;;R V N (avec : 1 1 1
4 3 23! 6 4 3 2 144cardA A A A b) B " obtenir trois boules qui portent le même numéro » Donc : 3 boules qui portent 1 ou 3 boules qui portent 2 0;0;0ou 1;1;1 ou 2;2;2 donc le nombre de possibilités est 33
4324 6 30cardB A A
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 11 c) C " la somme des numéros des boules tirées est égale a 4 » les possibilités sont : 3+1+0=4 ou 0+2+2=4 ou 2+1+1=4 cad on obtient une 1;1;2ou 0;2;2 ou 0;1;3 Donc le nombre de possibilités est 1 1 1 2 2 2 2 1