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MÉTHODES
ET EXERCICES
Physique méthodes et exercices
MPSI PTSI
ANNE-EMMANUELLE BADEL
EMMANUEL ANGOT
© Dunod, 2011, 2015
5 rue Laromiguière, 75005 Paris
www.dunod.com ISBN 978-2-10-072656-1Conception et création de couverture : Atelier 3+
Table des matières
Méthodes à retenir2
Énoncés des exercices6
Du mal à démarrer ?12
Corrigés des exercices13
CHAPITRE2CIRCUITS LINÉAIRES ENRÉGIME CONTINU17
Méthodes à retenir18
Énoncés des exercices26
Du mal à démarrer ?35
Corrigés des exercices37
CHAPITRE3RÉGIME TRANSITOIRE DU PREMIER ORDRE46
Méthodes à retenir47
Énoncés des exercices52
Du mal à démarrer ?60
Corrigés des exercices62
CHAPITRE4RÉGIME TRANSITOIRE DU SECOND ORDRE73
Méthodes à retenir74
Énoncés des exercices81
Du mal à démarrer ?91
Corrigés des exercices92
i
Méthodes à retenir104
Énoncés des exercices109
Du mal à démarrer ?121
Corrigés des exercices123
CHAPITRE6FILTRAGE135
Méthodes à retenir136
Énoncés des exercices144
Du mal à démarrer ?158
Corrigés des exercices160
CHAPITRE7CINÉMATIQUE180
Méthodes à retenir181
Énoncés des exercices188
Du mal à démarrer ?196
Corrigés des exercices198
CHAPITRE8PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE207
Méthodes à retenir208
Énoncés des exercices216
Du mal à démarrer ?229
Corrigés des exercices231
CHAPITRE9ENERGIE MÉCANIQUE243
Méthodes à retenir244
Énoncés des exercices249
Du mal à démarrer ?259
Corrigés des exercices261
ii CHAPITRE10MOUVEMENT DANS UN CHAMP ÉLECTRIQUE ET MAGNÉTIQUE271
Méthodes à retenir272
Énoncés des exercices277
Du mal à démarrer ?282
Corrigés des exercices282
CHAPITRE11PROPAGATION D"UN SIGNAL-NOTION D"ONDES287
Méthodes à retenir288
Énoncés des exercices295
Du mal à démarrer ?301
Corrigés des exercices302
CHAPITRE12LOIS DESNELL-DESCARTES-RÉFLEXION ET RÉFRACTION308
Méthodes à retenir309
Énoncés des exercices314
Du mal à démarrer ?324
Corrigés des exercices325
CHAPITRE13LENTILLES MINCES SPHÉRIQUES336
Méthodes à retenir337
Énoncés des exercices342
Du mal à démarrer ?355
Corrigés des exercices357
CHAPITRE14INTRODUCTION AU MONDE QUANTIQUE373
Méthodes à retenir374
Énoncés des exercices378
Du mal à démarrer ?384
Corrigés des exercices385
iii CHAPITRE15MOMENT CINÉTIQUE-SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D"UN AXE FIXE389
Méthodes à retenir390
Énoncés des exercices399
Du mal à démarrer ?406
Corrigés des exercices407
CHAPITRE16FORCES CENTRALES CONSERVATIVES415
Méthodes à retenir416
Énoncés des exercices422
Du mal à démarrer ?433
Corrigés des exercices434
CHAPITRE17ETATS DE LA MATIÈRE444
Méthodes à retenir445
Énoncés des exercices454
Du mal à démarrer ?461
Corrigés des exercices462
CHAPITRE18PREMIER ET SECOND PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE468
Méthodes à retenir469
Énoncés des exercices482
Du mal à démarrer ?494
Corrigés des exercices496
CHAPITRE19MACHINES THERMIQUES511
Méthodes à retenir512
Énoncés des exercices515
Du mal à démarrer ?533
Corrigés des exercices535
iv CHAPITRE20CHAMP MAGNÉTIQUE-FORCES DELAPLACE-INDUCTION549
Méthodes à retenir550
Énoncés des exercices570
Du mal à démarrer ?584
Corrigés des exercices586
v
CHAPITRE
11
Oscillateurs harmoniques et si-
gnaux sinusoïdaux
Thèmes abordés dans les exercices
?Amplitude. ?Pulsation, période et fréquence. ?Phase instantanée ou à l"origine et déphasage. ?Oscillateur harmonique. ?Conservation de l"énergie mécanique. Points essentiels du cours pour la résolution des exercices ?Caractériser un signal sinusoïdal. ?Etablir l"équation différentielle d"un oscillateur harmonique. ?Résoudre l"équation différentielle d"un oscillateur harmonique. ?Etablir l"équivalence entre les deux formes de solution d"un oscillateur harmonique. 1 Chapitre1Oscillateurs harmoniques et signaux sinusoïdaux
Les méthodes à retenir
Etabliretreconnaîtrel"équation
différentielled"un oscillateur harmonique.Connaître l"expression de la force de rappel d"un ressort -→f=-kx-→u →ext en notantkla raideur du ressort,xson allongement algébrique et-→u →ext le vecteur unitaire dirigé vers l"extérieur du ressort. Utiliser leprincipefondamental deladynamiqueaprèsavoir défini le système et le référentiel et établi un bilan des forces. Cf. chapitre
Principe fondamental de la dynamique.
Connaître la forme de l"équation différentielle d"un oscillateur har- monique
¨x+ω
20 x=0ennotantxle paramètre étudié etω 0 la pul- sation du mouvement.
Exemple :
ll 0 x=l-l 0 -→f=-kx-→u →ext -→u →ext On étudie le système constitué de la massemdans le réfé- rentiel terrestre considéré comme galiléen. Il est soumis à la force de rappel du ressort-→fainsi qu"à son poidsm-→get à la réaction-→R du support, ces deux forces étant perpen- diculaires au mouvement selon l"axe Ox.Leprincipefon- damental de la dynamique s"écritm-→a=-→f+m-→g+-→Rdont la projection sur l"axe Oxdonnem¨x=-kxou¨x+k mx=0. C"est l"équation différentielle d"un oscillateur harmonique de pulsationω 0 k mobtenue par identification.
Exercice1.8.
2 Oscillateurs harmoniques et signaux sinusoïdauxChapitre1 Résoudreléquation différentielledun oscillateurharmonique.Savoir que la solution de l"équation différentielle d"un oscillateur harmonique
¨x+ω
20 x=0 peut s"écrire sous l"une des deux formes : a)x(t)=Acos(ω 0 t)+Bsin(ω 0 t)où A et B sont deux constantes d"intégration à déterminer à l"aide des conditions initiales, b)x(t)=Xcos?ω 0 t+??où X et?sont deux constantes d"intégra- tion à déterminer à l"aide des conditions initiales. Savoir passer d"une forme de solution de l"équation différentielle d"un oscillateur harmonique à l"autre enutilisant les deuxrelations trigonométriques cos (a+b)=cosacosb-sinasinbd"une part et sin (a+b)=sinacosb+sinbcosad"autre part, ce qui conduit aux relations
A=Xcos?
B=-Xsin??
?X=? A 2 +B 2 tan?=-B A
Exemple :
On reprend l"exemple précédent pour lequel on suppose qu"on écarte initialement la massemd"une distancea et qu"on l"abandonne sans vitesse initiale. La solution de l"équation différentielle s"écritx(t)=Xcos?ωt+??etladé- rivée x(t)=-ωXsin?ωt+??. Les conditions initiales sont d"une part pour la positionx(0)=Xcos?=aet d"autre part pour la vitesse x(0)=-ωXsin?=0 donc sin?=0ou encore?=0etX=a. Finalementx(t)=acosωt. Autre manière de faire : on écrit la solution sous la formex(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)et la dérivée x(t)=-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt). Les conditions initiales conduisent àx(0)=A=aetx=Bω=0doncA=aet B=0
à savoir la même expression.
Enn on peut passer dune forme à lautre par les relations indiquées ci-dessus.
Exercices1.2, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10.
Utiliseret relierlesnotions
damplitude, de phase, de période,de fréquenceet de pulsation.Pour un signalx(t)=Xcos?ωt+??, on définit les différentes gran- deurs suivantes :
l"amplitude X,
la pulsationω
0 ou la fréquencefvérifiantf=ω 0
2πou la période T
telle que T=1 f=2π 0
la phase à l"instantt:ω
0 t+?et la phase initiale?. 3 Chapitre1Oscillateurs harmoniques et signaux sinusoïdaux
Exemple :
12345678 9 10 11 12
0 4
22
4 3
113
x(t)(cm) t(s) x(0)X -Xv 0 =x(0)TT On lit une amplitude X=3,0 cm. On mesure la période T par l"écart entre les instants de deux maxima successifs soit T=t 2 -t 1 =8,6-2,4=6,2 s. On en déduit la valeur de la fréquencef=1
T=16,2=0,16 Hz ainsi que celle de la
pulsationω=2πf=1,0 rad.s -1
Exercices1.1, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7, 1.9, 1.10.
Estimer un déphasageet déterminersi
unsignalest enavanceou enretardsur un autre.Soientx 1 (t)=X 1 cos?ωt+? 1 ?etx 2 (t)=X 2 cos?ωt+? 2 ?deux signaux demême pulsationωdoncdemême périodeT. Ilssontditsdéphasés dansletemps.Ledéphasagedusignalx 2 (t)parrapportausignalx 1 (t) est noté?=? 2 1 et est lié au plus petit décalage temporelΔtentre deux maxima consécutifs dex 1 etx 2 .Onaalors?=±2πΔt T.
Six
2 (t) atteint son maximum aprèsx 1 (t) (ce qui est le cas ici), on dit quex 2 (t) est en retard surx 1 (t)etona?<0.
Six
2 (t) atteint son maximum avantx 1 (t), on dit quex 2 (t)esten avance surx 1 (t)etona?>0. Remarque :le déphasageétant défini à2πprès, avanceet retardsont bien évidemment deux notions relatives. Ainsi un déphasage retard
2correspond à un déphasage avance de 2π-π2=3π2.Afinde
lever toute ambiguité, on choisit souvent une valeur de déphasage 4 Oscillateurs harmoniques et signaux sinusoïdauxChapitre1
Exemple :
02468 121357911
0 4
22
4 3
113
x 1 (t)x 2 (t) t(s)Δt T T=t 2 -t 1 =10,2-3,9=6,3 s. Le déphasage correspond au décalage temporel des deux maxima soit pourt 1 =5,3 s et t 2 =7,1 s doncΔt=7,1-5,3=1,8 s. La valeur du dépha- sage est donc?=? 2 1 =-2πΔt
T=-2π1,86,3soit numéri-
quement?=-1,8 rad. Le déphasage dex 2 (t) par rapport àx 1 (t) est négatif puisquex 2 (t) est en retardsurx 1 (t) c"est-
à-dire quex
2 (t) passe par son maximum aprèsx 1 (t).
Exercices1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.9.
Interpréterlaphase àlorigine.L"interprétation de la phase à l"origine? 2 du signalx 2 (t) peut aussi être envisagé en termes de déphasage avec une courbe fictive pré- sentant son maximum ent=0. Il faut alors pour la calculer prendre l"écart temportelΔtcomme indiqué sur la courbe suivante.
Exemple :
02468 121357911
0 4
22
4 3
113
x 2 (t) t(s)Δt 5 Chapitre1Oscillateurs harmoniques et signaux sinusoïdaux On mesure la période par l"écart entre deux maxima suc- cessifs soit T=t 2 -t 1 =7,1-0,8=6,3 s. Le phase à l"ori- gine correspond à la position du premier maximum soit
Δt=0,80 s, sa valeur est donc?=-2πΔt
T=-2π0,806,3soit
numériquement?=-0,80 rad≈-π 4rad.
Exercice1.5
Vérifierou utiliser laconservationde
l"énergiemécanique.a) Expliciter l"expression de l"énergie cinétique Ec=1 2mx 2 b) Expliciter l"expression del"énergiepotentielle delaforcederappel Ep=1 2kx 2 c) Calculer l"énergie mécanique Em=Ec+Ep. d) Simplifier l"expression obtenue en utilisant la relation trigonomé- trique valable pour toute valeur deα:sin 2
α+cos
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