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Licence de Physique Chimie S6 Universite Paris-Sud XI
Annee 2013-2014
TD de Mecanique Quantique 5
Oscillateur harmonique a deux dimensions
Etats propres et niveaux d'energie
On considere une particule de massem, connee dans le planxOyet soumise a un potentiel isotrope de rappelV(x;y) =12 m!2(x2+y2) la distance a l'origine. 1. Ecrire l'Hamiltonien^Hdu systeme. Introduire des variables reduites^X;^PXet^Y ;^PYappro- priees pour simplier son ecriture en^H=~!2 (^X2+^Y2) +~!2 (^P2X+^P2Y). Reecrire l'Hamiltonien comme somme de deux Hamiltoniens ^HX;Yagissant chacun sur un degre de liberte.
2. Soitjnxietjnyiles etats propres de^HX;Y. Montrer que les etatsjnx;nyi=jnxi
jnyisont etats propres de ^H. En deduire ses valeurs propres.
3. Montrer que ces valeurs propres sont degenerees et calculer leur degenerescence (i.e. le nombre
de valeurs propres degenerees pour un niveau d'energie donne). On pourra indicer les niveaux d'energie en introduisant un entiern.
Un autre point de vue
On introduit les operateurs d'annihilation ^ax;yet de creation ^ayx;ypar les relations : ^ax=1p2 ^X+i^PX et ^ay=1p2 ^Y+i^PY ;(1) ainsi que les operateurs nombres correspondant ^Nx= ^ayx^axet^Ny= ^ayy^ay.
De plus, on note^N=^Nx+^Ny.
1. Montrer que l'on peut ecrire
^H=~!(^N+ 1).
2. Que valent les commutateurs [ai;aj] et [ai;ay
j] aveci;j=xouy? 1
3. On introduit les operateurs
^Tx;y;zdenis par Tx=12 (^ayy^ax+ ^ayx^ay)^Ty=i2 (^ayy^ax^ayx^ay)^Tz=12 (^ayx^ax^ayy^ay) (2) Montrer qu'ils satisfont aux relations de commutation ^Tx;^Ty] =i^Tz[^Ty;^Tz] =i^Tx[^Tz;^Tx] =i^Ty(3)
Que peut-on dire de l'observable
^~Tainsi denie?
4. On notet(t+ 1) les valeurs propres de^~T2etmles valeurs propres de^Tx;y;z.
Que peut-on dire detetm?
5. Montrer que
^~Tcommute avec^H. Qu'est-ce que cela permet?
6. Montrer que l'on a
~T2=^N2 ^N2 + 1! :(4) Exprimer les valeurs propresnde^Nen fonction detet en deduire que ce sont des entiers.
Retrouver les energies propres de l'Hamiltonien.
7. Retrouver la degenerescence des energies propres.
Relier les valeurs propresnx;nyaux valeurs propresn;m.
Analogie avec le spin 1/2 pourn= 1
On utilise les notations de la partie precedente.
1. On se place dans le sous-espacen= 1. Que vaut alorst?
2. Justier qu'une base de ce sous-espace est donnee par les etatsj1;0ietj0;1i, ou l'on a utilise
la notationjnx;nyicomme dans la premiere partie.
3. Donner la representation des matrices associees a
^Tx;y;zdans cette base.
Comment les appelle-t-on?
2quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42
Oscillateur harmonique - Faculté des Sciences de Rabat