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S´eries Chronologiques
Exercices et TP
Agn`es Lagnoux
lagnoux@univ-tlse2.fr ISMAG
MASTER 1 - MI00141X
M1 ISMAG
MI00141X - S´eries chronologiques
Feuille d"exercices n°1 : Introduction aux s´eries chronologiques
Exercice 1
Montrer si les suites ci-dessous sont p´eriodiques ou de somme nulle (et discuter selon les valeurs deaet deb) :
1.?t?Z,st=acos(2πt
p);
2.?t?Z,s2t=aets2t+1=bavecaetbdeux r´eels;
3.?t?Z,st=abtavecaetbdeux r´eels;
Exercice 2
D´emontrer le r´esultat de cours suivant :
Toute composante de somme nulle sur une p´eriodepest p´eriodique de p´eriodep.
Exercice 3
On consid`ere le mod`ele additif :
?t?Z, Xt=Zt+St+?t, o`u (Zt)test une tendance, (St)tune composante saisonni`ere de p´eriodepet (?t)tune suite de variables al´eatoires iid de carr´e int´egrable (la variance sera not´eeσ2).
1. Calculer l"esp´erance deXtpour toutt?Z.
2. Calculer la variance deXtpour toutt?Z.
3. Calculer la covariance entreXtetXspour tout (t,s)?Z2.
Exercice 4
Mˆeme questions que l"exercice 3 lorsque l"on consid`ere lemod`ele multiplicatif : ?t?Z, Xt=ZtSt+?t, o`u (Zt)test une tendance, (St)tune composante saisonni`ere de p´eriodepet (?t)tune suite de variables al´eatoires iid de carr´e int´egrable (la variance sera not´eeσ2).
Exercice 5
Mˆeme questions que l"exercice 3 lorsque l"on consid`ere lemod`ele multiplicatif complet : ?t?Z, Xt=ZtSt?t, o`u (Zt)test une tendance, (St)tune composante saisonni`ere de p´eriodepet (?t)tune suite de variables al´eatoires iid de carr´e int´egrable (la variance sera not´eeσ2).
Exercice 6
On consid`ere la s´erie suivante du nombre de v´ehicules `a un p´eage autoroutier de Midi- Pyr´en´ees selon la plage horaire observ´e pendant 4 jours : 1234
0h-6h1394209323432839
6h-12h2469282430263841
12h-18h1665211627793009
18h-24h2588293435613579
1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie. On num´erotera les donn´ees de 1 `a 16.
2. D´eterminer s"il s"agit d"un mod`ele additif ou multiplicatif.
Exercice 7
On consid`ere la s´erie suivante
ti12345678910 yi58403115181599108
1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie.
2. On se propose d"ajuster une tendancefde la formef(t) =1
at+b.
Justifier ce choix pourf.
3. Estimer directement leaet lebpar la m´ethode des points m´edians.
4. Proposer un changement de variable appropri´e de fa¸con `a obtenir un mod`ele lin´eaire.
D´eterminer ensuite les coefficientsaetb
- par la m´ethode des moindres carr´es ordinaires; - par la m´ethode des points m´edians.
5. Repr´esenter les trois tendances obtenues sur le graphique pr´ec´edent.
Exercice 8
Le tableau suivant donne le chiffre d"affaires (CA)yd"une entreprise (en milliers d"euros) selon le mois de l"ann´eex:
Ann´ee 1Ann´ee 2
xiJFMAMJJASONDJFMA
1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie.
2. Que peut-on dire de la tendance?
3. Proposer un ajustement lin´eaire
- par la m´ethode des moindres carr´es ordinaires; - par la m´ethode des points m´edians.
4. Repr´esenter les deux estimations de la tendance obtenues sur le graphique pr´ec´edent.
5. Proposer une pr´evision pour les mois de Mai et Juin de la 2`eme ann´ee avec chacune
des deux m´ethodes.
M1 ISMAG
MI00141X - S´eries chronologiques
Feuille d"exercices n°2 : Moyennes mobiles et d´ecomposition Quelques exercices pour manipuler les moyennes mobiles
Exercice 1
Calculer les s´eries des moyennes mobiles d"ordre 2, 3 et 4 dela s´erie initialeXtsuivante t1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Xt30 15 5 30 36 18 9 36 45 15 10 60 48 16 8 72
Exercice 2
On a relev´e le nombre de mariages dans une ville du sud-ouestde la France chaque trimestre pendant 3 ans :
200420052006
1101112
2121415
3131517
4111212
1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie chronologique(avec p´eriodes superpos´ees puis
avec p´eriodes successives). Commenter.
2. Calculer la s´erie des moyennes mobiles pour un ordre choisi judicieusement, lisser la
courbe.
3. Calculer les coefficients saisonniers (pour le mod`ele additif).
4. Calculer l"´equation de la droite de tendance et tracer cette droite sur le graphique
pr´ec´edent.
5. Utiliser le mod`ele construit pour pr´evoir le nombre de mariages dans cette ville en 2007.
Exercice 3
Dans une grande entreprise, on a mesur´e l"absence journali`ere pendant 4 semaines : chaque semaine comporte 5 jours de travail. Voici les r´esultats (on donne ici le nombre d"employ´es absents) :
Semaine 1Semaine 2Semaine 3Semaine 4
Lundi1245
Mardi0346
Mercredi571011
Jeudi2423
Vendredi0124
1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie chronologique(avec p´eriodes superpos´ees puis
avec p´eriodes successives). Commenter.
2. Calculer la s´erie des moyennes mobiles pour un ordre choisi judicieusement, lisser la
courbe.
3. Calculer les coefficients saisonniers (pour le mod`ele additif).
4. Calculer l"´equation de la droite de tendance et tracer cette droite sur le graphique
pr´ec´edent.
5. Pr´evoir le nombre d"absents pour les 3 premiers jours de la cinqui`eme semaine.
Quelques exercices sur les propri´et´es des moyennes mobiles
Exercice 4
Montrer que la composition de toute moyenne mobile avec l"op´erateur retard est com- mutative, i.e. montrer que siMest un moyenne mobile et (Xt)t?Zune s´erie temporelle, alors, ?t?Z, M(BXt) =B(MXt).
Exercice 5
Montrer que les moyennes mobiles sym´etriques v´erifient les propri´et´es suivantes :
1. SiM1etM2sont deux moyennes mobiles centr´ees, alors il en est de mˆeme deM1M2.
2. Une moyenne mobile centr´eeM=BmP(F) est sym´etrique si et seulement siP(B) =
2mP(F).
3. SiM1etM2sont deux moyennes mobiles sym´etriques, alors il en est de mˆeme de
1M2.
Exercice 6Composition de moyennes mobiles
1. Montrer que siXtest une s´erie invariante parM1etM2, alorsXtest invariante par
1M2. Qu"en est-il de la r´eciproque?
2. Montrer que siXtest une s´erie arrˆet´ee parM1ouM2, alorsXtest arrˆet´ee parM1M2.
Qu"en est-il de la r´eciproque?
Exercice 7
1. Soitp?N?. Montrer que la moyenne mobileM= (I-B)p, appel´eeop´erateur de
diff´erence, transforme un polynˆome de degr´epen une constante.
2. Soits?N?. Montrer que la moyenne mobileM=I-Bs, appel´eeop´erateur de
diff´erence saisonni`ere, absorbe les composantes saisonni`eres de p´eriodes.
3. Soientpets?N?. Que se passe-t-il lorsqu"on applique la moyenne mobileM=
(I-Bs)o(I-B)p+1`a la s´erie temporelle t=Zt+St+?t o`uZest une tendance polynˆomiale de degr´ep,Sune composante saisonni`ere de p´eriodeset?un bruit blanc?
Exercice 8
Soitq?N?. Montrer que la moyenne mobile sym´etrique impaireMd´efinie par M=1
2q+ 1q
i=-qB absorbe les composantes saisonni`eres de p´eriode 2q+1 et conserve les polynˆomes de degr´e Quelques exercices sur des moyennes mobiles particuli`eres Exercice 9On s"int´eresse dans cet exercice `a la moyenne arithm´etique d"ordre 5.
1. Ecrire son polynˆome associ´e.
quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5
moyennes mobiles prévision de ventes saisonnières