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La fonction Gamma
Abdellah Bechata
www.mathematiques.ht.stTable des mati`eres
1 D´efinition1
2 Prolongement deΓ2
3 Identit´es remarquables4
4 Exercices6
R´esum´eNous ´etablissons dans cet article le prolongement de la fonction Γ `aC\(-N) ainsi que diff´erentes identit´es
remarquables satisfaite par cette fonction1 D´efinition
Nous commen¸cons par un rappel
D´efinition 1.1
Soitsun nombre complexe, on d´efinit pour tout nombre r´eel positifx,la fonction puissancex?→xspar
x s=par definitioneslnx.Lemme 1.1
Soitsun nombre comlexe. La fonctiont?→ts-1e-test int´egrable sur]0,+∞[ssiRe(s)>0.Preuve :
La fonctiont?→ts-1e-test continue sur ]0,+∞[ pour nombre complexes.Le lemme se d´emontre `a l"aide des
th´eor`emes de comparaisons du calcul int´egral et des formules suivantes?ts-1e-t??=tRe(s)-1e-t≂t→0+tRe(s)-1et??ts-1e-t??=tRe(s)-1e-t=t→+∞o(e-t2)D´efinition 1.2
La fonction Gamma est d´efinie sur le demi-plan{s?Ctel queRe(s)>0}parΓ(s) =+∞?
0 t s-1e-tdt.Lemme 1.2
La fonctionΓest une fonction de classeC∞surR×+(resp. holomorphe sur le demi-plan{s?Ctel queRe(s)>0})
et ?k?N,?s?R×+(resp.Ctel queRe(s)>0),Γ(k)(s) =+∞? 0 (lnt)kts-1e-tdt. 1Preuve :
- Pour l"holomorphie, il suffit d"appliquer la version holomorphe du th´eor`eme de domination de Lebesgue `a la
fonctiont?→ts-1e-tainsi que le lemme 1.1 Rappelons n´eanmoins ce th´eor`eme :Soit (X,μ) un espace mesurable, Ω un ouvert connexe deCetfune application deX×Ω dansCtelle que
1. Pour presque toutx?X,l"application?Ω→C
z?→f(z,x)est holomorphe.2. Pour toutz?Ω,il existe un voisinageVzdezet une fonctionμ-int´egrablegz:X→R+telle que
?w?Vzet p.p?x?X,|f(w,x)|?gz(x).Alors l"applicationz?→?
Xf(z,x)dμ(x) est holomorphe sur Ω.
- Pour le caract`ereC∞de Γ,on proc`ede par r´ecurrence en consid´erant, poura >0 fix´e, l"hypoth`ese de
r´ecurenceHk: Γ est de classeCksur [a,+∞[ et Γ(k)(s) =+∞? 0 (lnt)kts-1e-tdt et en appliquant le th´eor`eme de d´erivation sous le signe ?de Lebesgue ainsi que le lemme 1.1. Il suffit que constater que???(lnt)kts-1e-t????|(lnt)|kts-1e-t?|(lnt)|kta-1e-tainsi que l"int´egrabilt´e det?→ |(lnt)|kta-1e-ten montrant qu"elle est n´egligeable en 0 `ata2-1et `ae-t2en
+∞. Je laisse la preuve compl`ete au lecteurLe lemme suivant montre que la fonction Γ est la g´en´eralisation de la factorielle usuelle et qu"elle satisfait `a une
´equation fonctionnelle qui nous permettra de la prolonger `aC\Z-o`uZ-={n?Ztel quen?0}.2 Prolongement deΓ
Lemme 2.1
Pour touts?Ctel queRe(s)>0,on a
Γ(s+ 1) =sΓ(s).(1)
et sin?N×,Γ(n) = (n-1)!Preuve :
La preuve de la premi`ere formule est imm´ediate `a l"aide d"une int´egration par partie et la seconde se traite par
r´ecurrence et en calulant explicitement Γ(1).Th´eor`eme 2.1 (Prolongement de Gamma)La fonctionΓs"´etend (en une fonction holomorphe) `aC\Z-tout entier et pour tout entier n´egatifn,
lim x→n(x-n)Γ(x) =(-1)n(-n)!Preuve :
premi`ere m´ethodeLe terme de gauche de l"´egalit´e 1 est d´efinie si Re(s+ 1)>0 c"est-`a-dire Re(s)>-1 et,
formellement, on peut d´efinir Γ(s) si Re(s)>-1 parΓ(s+ 1)s.Il nous faut d´emontrer que cette nouvelle
fonction prolonge Γ et satisfait `a l"´equation fonctionnelle 1. Consid´erons la fonction (holomorphe) Γ
1d´efinie
sur le demi-plan Re(s)>-1 priv´e des= 0 par ?s?Ctel que Re(s)>-1 ets?= 0,Γ1(s) =Γ(s+ 1)s 2Si Re(s)>0,on a
1(s) =Γ(s+ 1)s=sΓ(s)s= Γ(s).
Soits?Ctel que Re(s)>-1,alors Γ1(s+ 1) =Γ(s+ 2)s+ 1et puisque Re(s+ 1)>0,nous pouvons appliqu´e
l"´egalit´e 1 donc1(s+ 1) =(s+ 1)Γ(s+ 1)s+ 1= Γ(s+ 1) =sΓ1(s).
De la mˆeme fa¸con, on d´efint une fonction (holomorphe) Γ2parΓ1(s+ 1)s.Pour cela il est indispensable que
s?= 0 (!), que Re(s+ 1)>-1 i.e. Re(s)>-2 et ques+ 1?= 0 (car Γ1(0) n"est pas d´efinie) ce que l"on
r´esume par ?s?Ctel que Re(s)>-2 ets?= 0,s?=-1,Γ2(s) =Γ1(s+ 1)s Je laisse au lecteur le soin de v´erifier que cette fonction Γ2prolonge Γ1et satisfait `a l"´equation fonctionnelle
1. On proc`ede ensuite par r´ecurrence en d´efinissant une fonction Γ
kd´efinie par ?s?Ctel que Re(s)>-2 ets /? {0,..,-k+ 1},Γk(s) =Γk-1(s+ 1)s qui satisfait `a l"´equation fonctionnelle 1. L"expression ?Γ,donn´ee parΓ(s) = Γk(s) si Re(s)>-k,
est bien d´efinie et elle d´etermine une fonction (holomorphe) surC\Z-qui satisfait `a 1.Par la suite, on notera, par abus, Γ la fonction?Γ.Pour la limite, il suffit de remarquer que pournentier n´egatif,
Γ(s) =Γ(s+ 1)s=Γ(s+ 2)s(s+ 1)=..=Γ(s-n+ 1)s(s+ 1)..(s-n-1)(s-n).Deuxi`eme m´ethodeLa d´efinition int´egrale de Γ montre que le probl`eme de l"existence de Γ(s) provient de la
non int´egrabilit´e det?→ts-1si Re(s)?0.On applique la relation de Chasles : ?stel que Re(s)>0,Γ(s) =+∞? 1 t s-1e-tdt+1 0 t s-1e-tdt.La fonctions?→+∞?
1ts-1e-tdtest d´efinie surCtout entier (et il s"agit d"une fonction holomorphe d"apr`es
la version holomorphe du th´eor`eme de Lebesgue). Dans la seconde int´egrale, on d´evellope en s´erie enti`ere la
fonctiont?→e-tet il est ais´e de v´erifier que l"on peut permuter la s´erie et l"int´egrale.
1 0 t s-1e-tdt=10+∞?
n=0(-1)nts-1tnn!dt=+∞? n=0(-1)nn!1 0 t n+s-1dt=+∞? n=0(-1)nn!1s+n.Cette derni`ere expression est d´efine surC\Z-et d´etermine une fonction holomorphe sur cet ouvert. Nous
d´efinissons alors?Γ surC\Z-par ?s?C\Z-,?Γ(s) =+∞? n=0(-1)nn!1s+n++∞? 1 t s-1e-tdt.Il est imm´ediat que cette nouvelle fonction prolonge Γ, qu"elle est holomorphe et qu"elle satisfait `a 1. La
limite s"obtient par le th´eor`eme de permutation limite-s´erie.33 Identit´es remarquables
Th´eor`eme 3.1 (Formule des compl´ements)
?s?Ctel que0Toutes les justifications de convergence d"int´egrales sont ´el´ementaires dans cette preuve et les justifications de
permutation des symboles d"int´egrations se font en invoquant le th´eor`eme de Fubini.Γ(s)Γ(1-s) =+∞?
0+∞?
0 u s-1v-se-ue-vdv du=+∞? 0 dt v -se-v(+∞? 0 u s-1e-udu) On effectue le changement de variableu?=uv,ce qui nous donneΓ(s)Γ(1-s) =+∞?
0 dv e -v(+∞? 0 u s-1e-uvdu) =+∞? 0 du u s-1e-uv+∞? 0 dv e -ve-uv) 0 du u s-1(+∞? 0 dv e -v(1+u)) =+∞? 0u s-11 +udu 1 0u s-11 +udu++∞? 1u s-11 +udu On efectue le changement de variableu?=1udans la seconde int´egrale et l"on obtientΓ(s)Γ(1-s) =1
0u s-11 +udu+1 0u -s1 +uduSi l"on posef(s) =1?
0u s-11 +udu,l"´egalit´e pr´ec´edente montre que Γ(s)Γ(1-s) =f(s) +f(1-s).Pour simplifier l"expression def,on est tent´e de d´evelopper en s´erie enti`ere11 +uet de permuter les symboles
s´eries-int´egrales. Malheurement, ce n"est pas possible en utilisant la convergence normale sur un segment ou les
th´eor`emes de convergence domin´ee.. Conclusion, on va mettre les mains dans le camboui (qui n"est pas trop sale
quand mˆeme).Quelque soit l"entier natureln,on11 +u=n-1?
k=0(-1)kuk+(-1)nun1 +udonc f(s) =n-1? k=0(-1)k1? 0 u k+s-1du+ (-1)n1? 0u n+s-11 +udu n-1? k=0(-1)kk+s+ (-1)n1? 0u n+s-11 +udu L"int´egrale tend vers 0 lorsquen→+∞car 0?? ?????1 0u n+s-11 +udu? ??????1 0 u n+Re(s)s-1du=1n+ Re(s)?1n→n→+∞0. 4 d"o`u ?s?Ctel que 0A cette ´etape, on se sent mieux car cela ressemble diablement `a un exercice des Mines. Apr`es avoir ´epluch´e la
plupart des annales, on se dit :" Mais, si j"´etudiais le d´eveloppement en s´erie de Fourier de la fonction 2π-p´eriodiquefd´efinie sur ]-π,π[ par
f(t) = cos(st),o`usest un nombre complexe non entier "Cette fonction est paire, continue etC1sur ]-π,π[,continue etC1par morceaux surRdonc elle est d´eveloppable
en s´erie de Fourier et la somme de la s´erie de Fourier est ´egale `afsur ]-π,π[ (quee se passe-t-il ailleurs?). Bien
entendu, on calcule uniquement les coefficientsanet en repotassant les formules trigos (par exemple, cos(a)cos(b) =
..,cos(a+b) =..et cosnπ=..) on obtient ?n?0an=2sinπsπ.(-1)nss2-n2(on s"est abstenu de distinguer le casn= 0,car il ne conduit pas `a une division par 0).D"o`u la formule remarquable
?t?]0,1[ cos(st) =a02++∞? n=1a ncosnt=sinπsπs++∞? n=12sinπsπ(-1)nss2-n2cosnt.(2) En fixantt= 0,on obtient 1 =sinπsπ[1s++∞? n=12(-1)nss2-n2] donc ?s?Ctel que 0Th´eor`eme 3.2
?(p,q)?(C)2avecRe(p)>0etRe(q)>0B(p,q) =Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)Preuve :
Les justifications de permutation des symboles d"int´egrations se font en invoquant le th´eor`eme de Fubini.
Γ(p)Γ(q) =+∞?
0+∞?
0 u p-1vq-1e-ue-vdv du=+∞? 0 u p-1du(+∞? 0 v q-1e-(u+v)dv) 5On effectue le changement de variablev?=u+v
Γ(p)Γ(q) =+∞?
0 u p-1du(+∞? u (v-u)q-1e-vdv).On permute les deux symboles d"int´egration en remarquant, quevpeut d´ecrire tout les r´eels positifs et queuest
positif mais n´ecessairement inf´erieur `auΓ(p)Γ(q) =+∞?
0 dv e -vv? 0 (v-u)q-1up-1duOn poseu?=uv,ce qui nous donne
Γ(p)Γ(q) =+∞?
0 dv v p+q-1e-v1? 0 (1-u)q-1up-1du= Γ(p+q)B(p,q)Dans l"exercice 4.3, on montre que la fonction Γ ne s"annule jamais, ce qui nous permet d"effectuer la division et
de conclure.C"est ´etrange, une telle formule a ´et´e obtenue dans l"article sur l"analyse de Fourier des groupes finis. Nous verrons
dans l"article consacr´e `a une approche heuristique de l"´equationnelle de la fonction zˆeta que ceci n"est pas fortuit :
il s"agit en fait de son extension au groupeR(qui n"est pas tout `a fait fini).