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INTRODUCTION AUX FONCTIONS SP´ECIALES
Vadim Schechtman
Notes du cours. Automne 2006
Toulouse
1 2
Table de Mati`eres
Leitfaden . . . 3
Prologue. Jardin de fonctions sp´eciales . . . 4
Chapitre I. Fonctions Gamma et Beta
1. Fonctions Γ et. . . 5
2. S´erie de Stirling . . . 16
Chapitre II. Fonction hyperg´eom´etrique de Gauss
1. S´erie hyperg´eom´etrique . . . 20
2. Int´egrale de Barnes . . . 26
3.´Equation de Riemann . . . 28
4. Polynˆomes d"Euler et fonction hyperg´eom´etrique . . . 29
Chapitre III. Fonctions de Whittaker
1. Fonctions de Kummer() . . . 31
2. Fonctions de Whittaker() . . . 33
3. Fonctions d"Hermite . . . 35
Chapitre IV. Fonctions de Bessel
1. Fonctions() . . . 39
2. L"ordre semi-entier . . . 45
3. Fonctions de Macdonald . . . 46
Chapitre V. Fonctions de Legendre
1. Polynˆomes de Legendre . . . 48
2. Fonctions de Legendre . . . 50
3. Fonctions adjointes . . . 52
Chapitre VI.
´Equations de Maxwell et l"´equation d"ondes
1. Des ´equations de Maxwell `a l"´equation d"ondes . . . 53
2. Une solution de l"´equation d"ondes . . . 57
Bibliographie . . . 59
3
LEITFADEN
Jacob BERNOULLI, 1654 - 1705
Leonhard EULER, 1707 - 1783
Jean Baptiste Joseph FOURIER, 1768 - 1830
Johann Carl Friedrich GAUSS, 1777 - 1855
Friedrich Wilhelm BESSEL, 1784 - 1846
Charles HERMITE, 1822 - 1901
Leopold KRONECKER, 1823 - 1891
Georg Friedrich Bernhard RIEMANN, 1826 - 1866
James Clerk MAXWELL, 1831 - 1879
Hermann HANKEL, 1839 - 1873
Heinrich Martin WEBER, 1842 - 1913
Robert Hjalmar MELLIN, 1854 - 1933
Edmund Taylor WHITTAKER, 1873 - 1956
Peter Joseph William DEBYE
(Petrus Josephus Wilhelmus DEBIJE), 1884 - 1966
George Nevill WATSON, 1886 - 1965
4
PROLOGUE
JARDIN DES FONCTIONS SPECIALES
0.1.Toutes les fonctions sp´eciales qu"on va discuter, peuventˆetre ´ecrites sous
une forme de certainsint´egrales d´efinies(oup´eriodes) ou les int´egrales curvilignes (le long d"un contour).
On peut les diviser en deux classes:
la premi`ere classe, deux facteurs sous int´egrale: 2
1(1)(2)la fonction() (beta) d"Euler
Cas d´eg´en´er´e, ou cas limite:
()la fonction Γ() (gamma)
0.2.La deuxi`eme classe, trois facteurs sous int´egrale:
j i(1)(2)(3)fonction hyperg´eom´etrique de Gauss(;)
Cas particuliers:
polynˆomes de Jacobi; fonctions (polynˆomes) de Legendre
Cas limite:
(1)(2)fonctions de Whittaker() oufonctions hyperg´eom´etriques confluentes.
Cas particuliers:
polynˆomes deLaguerreet polynˆomes d"Hermite. Ces fonctions satisfont`a une ´equation diff´erentielle d"ordre2 par rapport `a. Ils sont li´ees ´etroitement aux representations des groupes2(R) et2(C). 5
CHAPITRE I. FONCTIONS GAMMA ET BETA
1. FonctionsΓet
1.0. `A la place d"une introduction. La m´ethode d"une fonction g´en´eratrice. Consid´erons, avec Euler, le probl`eme suivant: d´efinir une fonction Π() C, telle que Π() =! pournaturel. Pour le r´esoudre, on ´ecrit une fonction g´en´eratrice =0 =0
Par la formule de Cauchy,
1
Π()=12
(0+)()+1=1Π()=12 (0+) 1
Ici (0+) d´esigne un circle
(0+) =02
Donc on peut essayer de d´efinir
1
Π()=12
(0+) 1 C Il faut faire attention quand mˆeme, puisque la fonction1est multiforme. Ce sujet sera r´epris plus tard, cf. 1.15 ci-dessous.
1.1.On d´efinit:
0
1(111)
()0. Plus pr´ecisement, (1.1.1) d´efinit Γ() comme une fonctioon holomorphe dans le demi-plan()0. Exercice.Montrer que Γ(+ 1) =Γ() et Γ() = (1)! siN. Ceci permet de prolonger Γ() en une fonction meromorphe surC, avec des poles simples en= 012, cf. 1.7 ci-dessous.
En effet, on a:
Γ(++ 1) = (+)(+1)Γ()
ou
Γ() =Γ(++ 1)
(+)(+1) 6et
Γ(++ 1) = 1 +(+)
d"o`u
Γ() =(1)
!(+)+(1) i.e. Γ() a en=un pˆole simple avec le r´esidu Res =Γ() =(1) !(112)
1.2.La fonctionBetad"Euler est d´efinie par
1 0
1(1)1()()0
1.3.Th´eor`eme.
D´emonstration, cf. [Jacobi]. On a
0 0 11 On fait le changement de variables+= =, donc 0 , 01 et =+ =+ = (1) donc=(ori´entations: () et ()). Il s"en suit: 1 0 1(1)1 0 +1=()Γ(+)
1.3.1.Exercice.Montrer que
i0;Pi1 =1 r11=Γ(1)Γ()
Γ(1+++ 1)
(Dirichlet). Ici tous0. Cf. [WW], 12.5.
1.4.Exercice.Calculer Γ(12).
Solution.On a
Γ(12)2=Γ(12)Γ(12)
Γ(1)=(1212)
Par d´efinition,
(1212) = 1 0
12(1)12=
7 (=2) = 2 1 0
12= 2arcsin 1 =
d"o`u
Γ(12) =
0 12=
On remarque que
0 12= 2 0 2= 2 donc 2= (l"int´egrale de Poisson).
1.5.Th´eor`eme(Euler, Gauss).
Γ() = lim(+ 1) = lim!
(+ 1)(+)= = lim (1)! (+ 1)(+1)(151)
Cf. [Gauss], Section 20.
En effet, on remarque que
= lim1 d"o`u
Γ() = lim
01
1(152)
(pour une preuve, cf. 1.6 ci-dessous). On a: 01 1= 1 01)1
PourNon a
(+ 1) = 1 0 (1)1=! (+ 1)(+) et cela est vrai pour tous= 01(prouver!), d"o`u (1.5.1).
1.6.Exercice.Preuve de (1.5.2), cf. [WW], 12.2.
8 (a) Pour tous 0 1,
1 +(1)1
(b) Pour tous 01, (1)1 (c) D´eduire de (a) et (b) que 0 1 12 pour tous 0 . [En effet, en faisant=dans (a), on obtient:
1 +(1)1
d"o`u (1 +)(1) et (1 +)(1)
Il s"en suit:
0(1)= 1(1)
1(122)
D"un autre part, d"apr`es (b) avec=22, on aura
1(122)2
d"o`u le r´esultat. ] (d) En d´eduire que 0 1 1 0 quand . [En effet, d"apr`es (c), 0 1 1 1 0 +1 1 0 +1 ce qui0, puisque la derni`ere int´egrale converge. ] 9 (e) En d´eduire (1.5.2).
1.7.D´efinition de Weierstrass.
(a) Prouver que la limite = lim =1
1log(171)
existe. Elle s"appellela constante d"Euler - Mascheroni. On a= 05772157. (b)Th´eor`eme. 1 =1 1 + (172) D´emonstration.Cf. [WW], 12.11. La formule de Euler 1.5 et l"identit´eΓ() =
Γ(+ 1) impliquent:
1
Γ()=lim
=1 1 +
D"un autre cˆot´e,
lim =1 1 + = lim (Pmn=11log) =1 1 + =1 1 + cqfd. (c) En d´eduire: logΓ()quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42
Fonctions spéciales Cours de master 1 4M004 Université Pierre et