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ere annee Probabilites generales - Cursus Mathematiques ENSAI TD1 : Variables aleatoires reelles, vecteurs aleatoires Exercice 1
SoitF:R!Rla fonction denie pourx2RparF(x) =ex2
1(1;0)(x) +1[0;1)(x).
Mon trerque Fest une fonction de repartition d'une mesure de probabilite.En cas de r eponsep ositive ala question pr ecedante,on se donne Xunev.a.r.de fonction de repartitionF. La
variableXadmet-elle une densite?Exercice 2
SoitXunev.a.r.de densitef(x) =xex2=21(0;1)(x).
V erierque fest une densite de probabilite.
La v ariableal eatoireY=X2est-elle a densite? Reconna^tre la loi deY.Calculer l'esp eranceet la v ariancede Y.
Exercice 3
SoitX N(0;1).
D eterminerles lois de eX(cette loi est appelee loi log-normale),jXjetX2(loi du2(1)). Pour ce faire, on determinera
les fonctions de repartition et les densites. Calculer l'esp eranceet la v ariancede ces v.a.r..Calculer le momen td'ordre k(k2N) deX.
Exercice 4
Unev.a.r.Xsuit une loi de WeibullW(;) si sa densite est egale a :X(x) =x1ex1R+(x); ; >0:
D eterminerla fonction de r epartitionde X.
On supp oseque Xmodelise la duree de vie d'un composant electronique. On appelle taux de panne deXla fonction :
X(x) =fX(x)1FX(x); x0:
ExpliciterhX.
Calculer le momen td'ordre k(k2N) deX. En deduire l'esperance et la variance deX.Exercice 5
Montrer qu'unev.a.Xnon identiquement nulle a valeurs positives suit une loi exponentielle si et seulement si elle est
diuse et sans memoire,i.e.pour touss;t >0 :P(X > s+tjX > s) =P(X > t).Exercice 6
La loi b^eta de 1ere especeI(a;b),a;b >0, admet pour densite : f(x) =1B(a;b)xa1(1x)b11[0;1](x);ouB(a;b) =Z xa1(1x)b1dx:Mon trerque B(a;b) =(a)(b)(a+b)pour tousa;b >0.
Soit U U[0;1]. Montrer queUetU2suivent des lois b^eta particulieres dont on precisera les parametres.
Calculer le momen td'ordre k(k2N) deXI(a;b).
En d eduirel 'esperanceet la v ariancede X.
Exercice 7
SoitX N(0;1). On s'interesse a lav.a.X+= max(X;0).1.Que v aut
Rh(x)d0(x)?
A l'aide de la caracterisation par des fonctions tests, montrer que la loi deX+est un melange d'une masse de Dirac
en 0 et d'une loi a densite qu'on determinera.D eterminerl'esp eranceet la v ariancede X+.
Exercice 8
Soitf:R!R+la fonction denie pourx2Rparf(x) =a(a2+x2)oua >0 est un parametre.Mon trerque fest une densite de probabilite. La loi associee est appelee loi de Cauchy (centree) de parametrea >0
et est noteeC(a). Soit X C(1). Montrer queXn'admet pas de premier moment.D eterminerla loi de log jXj.
Exercice 9
SoitXla duree de vie, en annees, d'un composant electronique. On suppose queX E() (loi exponentielle), >0.
En outre, l'exploitant a une politique le conduisant a changer systematiquement tout composant dont la duree de vie a
atteint 5 ans. SoitYla duree de vie d'un composant. Determiner la loi deYappelee loi tronquee.Exercice 10
SoitX E(). Determiner la loi deY=bXcoubcest la partie entiere.Exercice 11
Soit (X;Y) et (U;V) deux vecteurs aleatoires de densites respectives f(x;y) =14 (1 +xy)1[1;1]2(x;y) etg(u;v) =141[1;1]2(u;v):
V erierque fetgsont bien des densites surR2.
D eterminerles densit esmarginales de ( X;Y) et (U;V) notees respectivementfX;fY;gUetgV.Justier que XetUd'une part, et queYetVd'autre part ont m^eme loi mais que, cependant, (X;Y) et (U;V) ne
suivent pas la m^eme loi.Exercice 12(Extrait du partiel de novembre 2016)
SoientXetYdeux variables aleatoires positives de carre integrable denies sur un espace probabilise ( ;F;P) et soit2(0;1).
Sous quelle condition a-t-on E(X2) = 0? Dans la suite une telle situation est supposee exclue. En consid erantla fonction !E[(X+Y)2], retrouver l'inegalite de Cauchy-SchwarzE(XY)2E(X2)E(Y2):
Mon trerque p ourtout 2(0;1)
(1)E(X)E(X1[E(X);1)(X)):En d eduire
P(XE(X))(1)2E(X)2E(X2):
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- Partage dans les m^emes conditions 4.0 International" ere annee Probabilites generales - Cursus Mathematiques ENSAI TD1 : Variables aleatoires reelles, vecteurs aleatoiresExercice 1
La fonction Fest croissante deRdans [0;1], continue a droite, limitee a gauche (cadlag) | elle est en fait continue
partout sauf en 0, l'ouverture/fermeture des bornes sur les indicatrices est alors primordiale |, en lim
x!1F(x) = 0 et lim x!1F(x) = 1. DoncFest une fonction de repartition.La fonction Fest derivable sauf en 0. Un candidat naturelle pour la densite deXest sa derivee :F0(x) =12
ex1(1;0) presque partout. Par contre, on verie queRF0(x)dx=126= 1, doncXn'admet pas de densite. On aurait pu aussi
remarquer queP(X= 0) =12 contredisant ainsi le fait queXadmette une densite.Exercice 2
La fonction fest mesurable positive et
f(x)dx=Z xex2=2dx= [ex2=2]10= 1: Utilisons la m ethodedes fonctions te sts.Soit gune fonction mesurable bornee et calculons g(y)fY(y)dy=E(g(Y)) =E(g(x2)) =Z g(x2)xex2=2dx: On fait le changement de variablesy=x2, d'oux=pyetdx=dy=2py: g(y)12 ey=2dy: On retrouve la densite d'une loi exponentielle de parametre On calcule al'aide d'une in tegrationpar partie :E(Y) =Z
x12 ex=2dx= [xex=2]10+Z ex=2dx= 2:De m^eme,
E(Y2) =Z
x212 ex=2dx= [x2ex=2]10+Z2xex=2dx= 4E(Y) = 8:
D'ouV(Y) = 822= 4.
Exercice 3
Soit gune fonction mesurable bornee.
E(g(eX)) =Z
g(ex)ex2=2p2dx:On posey=ex,x= lnyetdx=dy=y:
E(g(eX)) =Z
g(y)e(lny)2y p2dy:E(g(jXj)) =Z
g(x)2ex2=2p2dx:E(g(X2)) = 2Z
g(x2)ex2=2p2dx=Z g(y)ey=2p2ydy:Nous pouvons egalement tenter de caracteriser ces lois a la de la fonction de repartition, m^eme si ce n'est la methode
la plus facile a mettre en oeuvre. |Soit t2RalorsF(t) =P(eXt) =P(Xlnt) = (lnt);
ou est la fonction de repartition d'une loi gaussienne centree et reduite. Pour obtenir la densite, on calcule la
derivee :0(t) =e(lnt)2=2t
p2:On verie facilement que
0F0(t)dt=F(1)F(1) = 1.
P ourt0,P(jXj t) = 0, sinon, pourt >0, nous avons
F(t) =P(jXj t) = (t)(t):
Comme precedemment,
0(t) = 2et2=2p21[0;1);etZ
F0(t)dt=F(1)F(0) = 1:
P ourt0,P(jX2j t) = 0. Pourt >0,
F(t) =P(jXj2t) = (pt)(pt):
De m^eme,
0(t) = 2et=2p2t1(0;1)etZ
F0(t)dt= 1:
Calculons
E(eX) =Z
exex2=2p2=Z1exp((x1)2=2 + 1=2)p2dx=pe:
De m^eme,
E(e2X) =Z
exex2=2p2=Z exp((x2)2=2 + 2)dx=e2:Enn,V(ejXj) =e2e=e(e1).
On calcule
E(jXj) = 2Z
xex2=2p2dx=r2 [ex2=2]10=r2On remarqueE(X2) n'est rien d'autre que la variance d'une gaussienne centree et reduite, elle vaut donc 1.
Ici encore, p ourles m ^emesraisons E(X2) = 1. Nous devons alculerE(X4), on fait quelque chose de plus general
a la question suivante. Soit k1, sikest impair, alorsE(Xk) = 0. Soitkpair, c'est a direk= 2m.