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Triangles A - Triangles isométriques1- DéfinitionDeux triangles isométriques ont des côtés correspondants égaux (de même longueur) et des
angles correspondants égaux; ils sont superposables. Sur la figure les triangles ABC et EFG sontisométriques, en effet :AB = EF, BC = FG, CA = GEBAC=FEG, ABC=EFG, ACB=EGF.
RemarqueSavoir que deux triangles sont isométriques implique donc 6 égalités : 3 égalités de longueurs et
3 égalités d'angles.Pour démontrer que deux triangles sont isométriques il suffit de démontrer 3 égalités bien
choisies parmi les 6. On utilise à cet effet les 3 cas d'égalité des triangles.2- Les 3 cas d'égalités1er cas d'égalitéSi deux triangles ont leurs côtés égaux deux à deux, alors ils sont isométriques.Sur la figure,AB = EF, BC = FG et CA = GE.
On en déduit que les triangles ABC et EFG sont
isométriques, et donc que BAC=FEG, ABC=EFG et ACB=EGF.2ème cas d'égalitéSi deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux deux à deux, alors ils
sont isométriques.Sur la figure,AB = EF, AC = EG et BAC=FEG.On en déduit que les triangles ABC et EFG sont
isométriques, et donc que BC = FG, ABC=EFG et ACB=EGF.KB 1 sur 4
3ème cas d'égalitéSi deux triangles ont un côté égal adjacent à deux angles égaux deux à deux, alors ils sont
isométriques.Sur la figure,BC = FG, ABC=EFG et ACB=EGF.On en déduit que les triangles ABC et EFG sont
isométriques, et donc que AB = EF, AC = EG et BAC=FEG.B - Théorème de Thalès1- Configuration de ThalèsSoit ABC un triangle. Une droite parallèle à (BC) coupe (AB) en E et (AC) en F.
On obtient l'une des trois figures suivantes :Le théorème de Thalès nous indique que pour les 3 cas de figure les triangles ABC et AEF ont
des côtés correspondants proportionnels. Ceci nous donne le tableau suivant :On en déduit le théorème de Thalès :Soit ABC un triangle.Si une droite parallèle à (BC) coupe (AB) en E et (AC) en F, alors
AB AE=AC AF=BC EF.On peut remarquer que :- les triangles ABC et AEF ont des angles correspondants égaux - les triangles ABC et AEF ont même forme, chacun d'eux est un agrandissement ou une
réduction de l'autre; AEF est une reproduction de ABC à l'échelle k.Réciproque du théorème de ThalèsSoit ABC un triangle. On considère un point E sur (AB) et un point F sur (AC) placés de façon
similaire.Si AE AB=AF AC, alors les droites (BC) et (EF) sont parallèles.KB 2 sur 4C - Triangles semblables1- DéfinitionDeux triangles sont semblables (ou ont la même forme) si leurs angles sont égaux deux à
deux.Exemple 1Les droites (EF) et (BC) sont parallèles.On a BAC=EAF, AEF=ABC et AFE=ACB.
Les triangles AEF et ABC sont semblables.Exemple 2On a les égalités d'angles suivantes : CBD=CAD (angles inscrits interceptant le même arc CD) ACB=ADB (angles inscrits interceptant le même arc AB)AEC=BED = (angles opposés par le sommet)Les triangles AEC et BED sont donc semblables.RemarqueIl suffit que deux triangles aient 2 angles égaux deux à deux pour qu'ils soient semblables. En effet comme la somme des angles d'un triangle est toujours 180°, si deux angles sont
respectivement égaux, il en va de même pour le troisième angle.2- Propriété fondamentaleSi deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles égaux sont
proportionnels.Les triangles ABC et EFG sont semblables, on a BAC=FEG, ABC=EFG et BCA=FGE.On en déduit que :
AB EF=AC EG=BC FG=k. Le triangle EFG est une reproduction du triangle ABC à l'échelle k quiest la valeur commune de ces trois quotients On obtient les côtés de EFG en multipliant les côtés de ABC par k, le
coefficient de proportionnalité ou rapport de similitude.KB 3 sur 43- Cas de similitude1) Si deux triangles ont des côtés proportionnels, alors ils sont semblables. 2) Si deux triangles ont deux angles égaux deux à deux, alors ils sont semblables.3) Si deux triangles ont un angle égal situé entre deux côtés proportionnels, alors ils sont
semblables.4- Effet sur les airesConsidérons deux triangles semblables ABC et A'B'C'. Soit k le rapport de similitude qui permet de passer de ABC à A'B'C'.Nous venons de voir qu'on obtenait les côtés de A'B'C' en multipliant les côtés de ABC par k.
On obtient l'aire de A'B'C' en multipliant l'aide de ABC par k². Considérons les hauteurs AH et A'H'. Comme les triangles ABH et A'B'H' sont semblables et comme le rapport de similitude faisant passer de ABH à A'B'H' est aussi k, on a