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Devoir Surveillé n°4

PTSI B Lycée Eiffel

11 janvier 2014

Exercice 1 : matrices (avec très peu de suites)

On note dans cet exerciceA=0

@11 2 4 1 5 21 11
A ,P=0 @1 1 1 2 1 0

0 1 11

A etT=0 @1 0 0 0 2 1

0 0 21

1. Déterminer par la méthode de votre choix l"inverseP1de la matriceP(vous êtes priés devérifieren

testant le produit parPque votre inverse est correcte, ça peut resservir pour la suite de l"exercice).

2. (a) CalculerA2etA3, puis exprimerA3en fonction deA2et deI4(sans faire intervenirA).

(b) En déduire (sans refaire de pivot de Gauss!) l"inverse de la matriceA.

3. (a) Calculer les produitsAPetTP(s"il ne se passe rien de remarquable, recommencer).

(b) Prouver que, pour tout entier natureln,An=PTnP1.

vraie pourn=1.

4. Montrer que, pour tout entier natureln,Tn=0

@(1)n0 0 0 2 nun

0 0 2n1

A , et déterminerun+1en fonction deun. Cette relation permet-elle de calculer facilementunetTn?

5. On poseB=T2I4.

(a) Calculer les premières puissances deB(au moins jusqu"àB3), en déduire l"expression deBkpour

les valeurs suivantes dek. (b) À l"aide de la formule du binôme de Newton, calculerTn, et en déduire la valeur deun. (c) Détailler tous les coefficients de la matriceAn.

Exercice 2 : suites (sans l"ombre d"une matrice)

On considère deux suites(un)et(vn)définies paru0= 3et les relationsun+1=un+vn2 etvn=7u n.

1. Calculer les premiers termes de chaque suite (on s"arrêtera àu2etv2, en donnant évidemment des

valeurs sous forme fractionnaire).

2. Justifier que les deux suites ne comportent que des termes strictement positifs.

3. Démontrer que(un+vn)228 = (unvn)2, en déduire queun+1vn+1=14un+1(unvn)2, puis que

u nvnpour tout entier natureln.

4. Déterminer la monotonie de chacune des deux suites(un)et(vn).

5. (a) Montrer que,8n1,un218

(b) En déduire queun+1vn+1110 (unvn)2. (c) Montrer par récurrence queunvn110

2n1, et en déduire la limite de la suite(unvn).

6. Conclure des questions précédentes que les suites(un)et(vn)sont adjacentes, et donner leur limite

commune.

7. Déterminer une valeur approchée dep7à103près.

Exercice 3 : suites (avec pas mal de matrices)

On va s"intéresser dans ce dernier exercice à quelques propriétés d"une suite que vous connaissez bien : la

suite de Fibonacci(Fn)définie par les conditionsF0= 0,F1= 1, et8n2N,Fn+2=Fn+1+Fn.

I. Approximations rationnelles du nombre d"or.

Le nombre d"or est le réel'=1 +p5

2 , on pourra noter =1' l"opposé de son inverse si on le souhaite.

1. (a) Vérifier que =1p5

2 (b) En remarquant que(Fn)est une suite d"un type bien connu, déterminer explicitementFnen fonction den(on ne sera pas surpris d"avoir des coefficients un peu laids, et on se posera par contre des questions philosophiques si'n"intervient pas dans la formule). Bon, comme la formule peut resservir à plusieurs endroits, je suis gentil, je vous en donne une version :Fn=1p5 ('n n).

2. On note, pour tout entier natureln1,un=Fn+1F

n. (a) Donner la valeur des cinq premiers termes de la suite(un).

(b) Étudier la monotonie de la suite(un)(ne vous étonnez pas s"il n"y a pas de conclusion simple).

(c) En utilisant le résultat de la question1, prouver quelimn!+1un='. (d) Déterminer une fonction simpleftelle queun+1=f(un). Étudier la fonctionf, puis tracer dans

un même repère une allure de sa courbe représentative et la droite d"équationy=x. Faire un

schéma permettant de comprendre la monotonie et la limite de la suite(un)dans ce même repère.

3. (a) Montrer que,8n1,j'unj=1'

nFn, en déduire quej'unj 1F 2n. (b) Donner un nombre rationnel approchant'à104près (on utilisera évidemment la question

précédente). Est-ce une approximation par défaut ou par excès? Donner les valeurs décimales

approchées à104près par défaut et par excès de'. II. Quelques propriétés rigolotes des nombres de Fibonacci.

1. En notantAla matriceA=1 1

1 0 , montrer que, pour tout entier natureln1,An=Fn+1Fn F nFn1

2. Montrer en utilisant la question précédente queFn+p=Fn1Fp+FnFp+1. En déduire que tous les

termes impairs de la suite de Fibonacci sont des nombres entiers pouvant s"écrire comme somme de deux carrés de nombre entiers.

3. Déterminer une relation entreA2,AetI2. En déduire que,8n2N,F2n=nX

k=0 n k F k.

4. (a) Simplifier(I2A)(I2+A+A2++An).

(b) Calculer l"inverse de la matriceI2A. (c) À l"aide des deux résultats précédents, montrer que,8n2N,nX k=0F k=Fn+21.

5. Une dernière question pour ceux qui s"ennuieraient (on ne sait jamais) : prouver que,

8n2N,arctanFn+2F

n+1 arctanFnF n+3 =4 2quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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