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Noguet Lycée Blaise Pascal Colmar Ch 4 Mouvement circulaire.doc 17/02/09 1/5

Chapitre 4 : Etude du mouvement circulaire

1.- Présentation du mouvement circulaire :

1.1.- Définition : On dit qu'un point M est animé d'un mouvement circulaire par rapport à un repère R si sa trajectoire

est un cercle fixe dans R.

1.2.- Trajectoire du point mobile M dans le repère R :

A O M A AM OM y x

La position du point peut être définie dans le repère R : - soit par les coordonnées paramétriques :

Ce sont les composantes de OM. Ces composantes dépendent ici, uniquement de l'angle . = f

(t) amènera à définir les caractéristiques angulaires du mouvement de M par rapport à R.

- soit par l'abscisse curviligne AM = s qui amènera à définir les caractéristiques linéaires du

mouvement de M par rapport à R.

2.- Caractéristiques angulaires du mouvement circulaire de M/R : 2.1.- Vecteur vitesse angulaire R/M :

C'est un glisseur qui a pour caractéristiques : o Support : axe de rotation o Sens : direct (ire-bouchon) o Module : R/MR/M R/M O M mv t R/M

est la vitesse angulaire algébrique en rad/s. Elle s'obtient en dérivant l'espace angulaire = f(t).

ҝ' = où

R/M dt d R/M = espace angulaire Noguet Lycée Blaise Pascal Colmar Ch 4 Mouvement circulaire.doc 17/02/09 2/5 Remarque : On peut exprimer en tr/min par la relation : R/M 30
N. R/M

N en tr /mn

2.2.- Vecteur accélération angulaire 'R/M :

C'est un glisseur qui a pour caractéristiques : o Support : axe de rotation o Sens : si son sens est identique à celui de R/M alors le mouvement est accéléré si son sens est opposé à celui de R/M alors le mouvement est décéléré

Module :

dt d R/M R/M R/M en rad/s 2 R/M R/M'

Cas du mouvement décéléré

O M mvt

2.3.- Equations angulaires de mouvements circulaires particuliers

2.3.1.- Equations angulaires du mouvement circulaire uniforme (MCU)

0t cte 0'

2.3.2.- Equations angulaires du mouvement circulaire uniformément varié (MCUV)

0 0 tt' 2 1 t' cte' 2 0

2.3.3.- Equation angulaire indépendante du temps :

En éliminant le paramètre t entre les deux dernières équatio ns du MCUV, il vient : 2 0 2 0

Ŵ-Ŵ=)ť-ť(Ŵ2

3.- Caractéristiques linéaires du mouvement circulaire de M/R :

3.1.- Vecteur vitesse linéaire

R/M V : C'est un pointeur qui a pour caractéristiques : o Point d'application : le point M considéré o Support : tangent à la trajectoire du point M dans son mouvement par rapport

à R au point M

o Sens : donné par le sens du mouvement o Module :

R/MR/M

vV R/M mvt O M R/MV R/M

V est la vitesse linéaire algébrique en m/s. Elle s'obtient en dérivant l'abscisse curviligne s par rapport

au temps.

Ainsi,

dt sd v R/M or s donc R. dt d .R s dt d

On avait posé :

dt d

D'où : R.v

R/MR/M

avec : = vitesse linéaire algébrique en m/s R/M v Noguet Lycée Blaise Pascal Colmar Ch 4 Mouvement circulaire.doc 17/02/09 3/5 R/M = vitesse angulaire algébrique en rad/s

R = rayon de la trajectoire en m

R/M = espace angulaire en rad Noguet Lycée Blaise Pascal Colmar Ch 4 Mouvement circulaire.doc 17/02/09 4/5

3.2.- Vecteur accélération linéaire a :

R/M C'est un pointeur qui a pour caractéristiques : o Point d'application : le point M considéré o Support de l'accélération tangentielle T a : tangent à la trajectoire du point M dans son mouvement par rapport à R au point M o Support de l'accélération normale N a* :

Normale** à la trajectoire du point M dans son

mouvement par rapport à R au point M o Sens de l'accélération tangentielle T a : - si son sens est identique à celui de R/MV alors le mouvement est accéléré si son sens est opposé à celui de R/MV alors le mouvement est décéléré o Sens de l'accélération normale N a : L'accélération normale est toujours dirigée vers le centre de la courbure o Module : 2 N 2

TR/MR/M

aaaa R/M T M R/M V R/M a N a T a * L'accélération normale est aussi appelée accélératio n centripète.

** Normale à une courbe en un point = perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point.

Remarque importante :

Dans le cas général : N

)v( T dt vd a

R/MR/M

R/M 2

Ici et =R R.v

R/MR/M

D'où l'expression de l'accélération dans le cas particulier du mouvement circulaire :

N.R.T.R.a

2 R/M

R/MR/M

où : (représente la valeur algébrique de l'accélération tangent ielle) R.aR/M T T a et (représente la valeur algébrique de l'accélération normale ) R.a 2 R/MN N a

3.3.- Equations linéaires de mouvements circulaires particuliers

2.3.1.- Equations linéaires du mouvement circulaire uniforme (MCU)

0 T stvs ctev 0a

Attention : a

T = 0 mais a N 2

R 0 car 0 (

R/M

V est variable en direction)

2.3.2.- Equations linéaires du mouvement circulaire uniformément varié (MCUV)

00 0 T stvtR' 2 1 s vtR'v ctea 2

Attention : a

T = cte mais a N 2

R cte car cte (

R/M

V est variable en direction et en module)

4.- Relation entre vecteurs vitesse angulaire et linéaire :

Les vecteurs R/M et

R/M V sont les éléments de réduction du torseur cinématique : Noguet Lycée Blaise Pascal Colmar Ch 4 Mouvement circulaire.doc 17/02/09 5/5 z y x R/M z y x R/M MR/M v v v V V = z y x z y x v v vquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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