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DM21•M7
DM21•Satellite g´eostationnaire
Le mouvement des satellites artificiels de la Terre est ´etudi´e dans le r´ef´erentiel g´eocentriqueRG
suppos´e galil´een. Ce r´ef´erentiel a pour origine le centreOet ses axes sont orient´es dans la
direction de trois ´etoiles ´eloign´ees fixes. Dans le r´ef´erentiel g´eocentrique, la Terre tourne autour
de son axe avec une p´eriode de r´evolutionTet une vitesse angulaireΩ. On d´esignera parMTetRTrespectivement la masse et le rayon de la Terre.Gest la constante de gravitation universelle. Donn´ees :T= 86164s;MT= 5,98.1024kg;RT= 6370km;G= 6,67.10-11N.m2.kg-2. Un satellite artificielMde massemest en orbite circulaire de rayonrautour de la Terre. Les frottements dus `a l"atmosph`ere sur le satellite sont n´eglig´es.1)Montrer qu"un satellite artificiel en orbite circulaire autour de la Terre a n´ecessairement une
trajectoire plane contenant le centreOde la Terre.????M´ethode :´Etude syst´ematique d"un probl`eme de m´ecanique : cas de mouvement `aforce centrale.
•D´efinir le syst`eme ´etudi´e. •Choisir le r´ef´erentiel d"´etude. •Bilan des forces appliqu´ees au syst`eme. ?→Le syst`eme est-ilconservatif?Dit autrement, les forces appliqu´ees au syst`eme d´erivent-elles d"´energies potentielles? Lesquelles?
?→Le mouvement est-il `aforcecentraleconservative? Auquel cas, l"´etude d"un tel mouvement est syst´ematique :´Etablir laconservation du moment cin´etique: montrer que le mouvement a lieu dans unplan fix´e
par les conditions initiales sur la position et la vitesse du syst`eme, et ob´eit `ala loi des aires.
´Etablir laconservation de l"´energie m´ecanique.2)D´emontrer que le mouvement du satellite autour de la Terre est uniforme et exprimer
litt´eralement sa vitessev0. On exprimera d"abordv0en fonction deG,MTetr, puis en fonction deg0,RTetr, o`ug0d´esigne l"intensit´e du champ de pesanteur `a la surface dela Terre.Le satelliteSPOT(Satellite sP´ecialis´e dans l"Observation de la Terre) est en orbite circulaire `a
l"altitudeh= 832kmau-dessus de la Terre. Calculer num´eriquement la vitessev0deSPOTsur son orbite.? ???M´ethode :•Pr´eciser le nombre de degr´es de libert´e du probl`eme•D´etermination des ´equations du mouvement (par projection du PFD dans une base adapt´ee)
→Le th´eor`eme du moment cin´etique ayant ´et´e utilis´e en1), on peut utiliser le cacact`ere vectoriel du
PrincipeFondamental de laDynamique.
→Les coordonn´ees polaires dans le plan de la trajectoire sontadapt´ees au mouvement `a force centrale.
L"origineOest au centre de force.?
???Rappels :◦Grandeurs cin´ematiques dans le cas g´en´eral en base polaire dans un r´ef´erentielR:
OM=r-→er-→vM/R= r-→er+rθ-→eθ-→aM/R= (¨r-rθ2)-→er+ (r¨θ+ 2rθ)-→eθ
◦Pour une trajectoire circulaire, les expressions pr´ec´edente se simplifient en posantr=Cste:--→OM=r-→er-→vM/R=rθ-→eθ-→aM/R=-rθ2-→er+r¨θ-→eθ
◦Puisque le probl`eme s"int´eresse `a la vitessev=rθdu satellite, il est plus judicieux d"´ecrire :
r-→er+dvdt-→eθ3)L"origine de l"´energie potentielle gravitationnelle estchoisie nulle `a l"infini. Exprimer l"´energie
m´ecaniqueEmdu satellite autour de la Terre en fonction deG,MT,retm. Quel est l"effet desforces de frottements de l"atmosph`ere sur le rayon de la trajectoire et sur la vitesse du satellite??
???M´ethode :´Etablir (ou revenir sur) laconservation de l"´energie m´ecaniqueen appliquant leTh´eor`eme
de l"´energie m´ecanique.DM21•M7
Satellite g´eostationnaire2012-2013
4)Exprimer l"´energie m´ecanique?du satellite immobile `a la surface de la Terre en un point de
latitudeλen fonction deG,MT,m,RT,λet de la p´eriodeTde rotation de la Terre autour de l"axe Sud-Nord.Pourquoi lance-t-on pr´ef´erentiellement les satellitesdepuis les r´egions de basse latitude (Kourou
en Guyane fran¸caise : latitude 5 ◦Nord; Cap Canaveral en Floride : latitude 28◦Nord). Les lance-t-on plutˆot vers l"Est ou vers l"Ouest? ???M´ethode : Le satellite est immobile sur la surface de la Terre maisen rotation dans le r´ef´erentiel g´eocentriqueRG. Attention :Ce r´ef´erentiel ne tourne pas avec la Terre dans le r´ef´erentiel deCopernic, car ses axes sont orient´es vers des ´etoiles ´eloign´ees fixes. C"est la Terre qui tourne autour del"axe des pˆoles(SN)dansRG. La vitesse dusatellite fixe au solMest donc la vitesse d"un point de la surface de la Terre confondu avec lui (un point co¨ıncident) en rotation autour de l"axe(SN). ?→La trajectoire du satellite est donc circulaire de rayonR= HMqui s"exprime en fonction deRTet deλ, dans le plan passant parHparall`ele au plan de l"´Equateur. ?→Il faut donc ´ecrire la vitesse deMen coordonn´ees polaires (cf. Rappels en3)), avec origine enH, en faisant apparaˆıtre Ω =θqui est la vitesse angulaire de la Terre autour de son axe. ◦La vitesse angulaire est associ´ee `a la p´eriode de r´evolution par quelle relation? H Ol SN W orbite hors du plan de l'équateur orbite dans le plan de l'équateurMUn satellite artificiel de la Terre estg´eostationnaires"il est immobile dans le r´ef´erentiel ter-
restre : son orbite est circulaire, il survole constamment le mˆeme point de la surface de la Terre.
Le satelliteTelecomde massems= 1test en orbite circulaire dans le plan de l"´equateur. Il est g´eostationnaire .5)Peut-on placer un satellite g´eostationnaire en orbite en dehors du plan de l"´equateur?
6)Calculer l"altitudehG(ou distance au sol), la vitessevGet l"´energie m´ecaniqueEmGdu
satelliteTelecomsur son orbite g´eostationnaire. Tous les satellites g´eostationnaires doivent-ils
avoir la mˆeme masse?????M´ethode : Utiliser laTroisi`eme loi de Kepler: loi propre aux trajectoires circulaires ou elliptiques
d"astres tournant autour du mˆeme centre de force et dont l"interaction mutuelle est n´eglig´ee.
→L"appliquer ici au cas de satellites en orbite autour de la Terre.◦Cette loi est ind´ependante de la massemdu satellite. Elle d´epend dea, rayon de la trajectoire circulaire
ou demi-grand axe de la trajectoire elliptique.◦Elle d´epend aussi deMT, masse de la Terre associ´ee au centre de forceO. La Terre est cici suppos´ee
`a sym´etrie sph´erique : cema signifie que la r´epartition de sa masse ne d´epend que der. Dans ce cas, la
Terre se comporte comme un point mat´eriel situ´e enOauquel on associe la masse totaleMT.7)Comparer les termesEmG,EkGetEpGd"un satellite g´eostationnaire avec les termes corres-
pondantsEm0,Ek0etEp0du satellite immobile `a la surface de la Terre dans le plan del"´equateur.Solution
1)•Syst`eme ´etudi´e :{M,m}, satellite de la Terre ´etudi´e le r´ef´erentiel g´eocentrique suppos´e
galil´eenRG. •Bilan des forces : la seule force appliqu´e `aMest la force gravitationnelle :Fext=-→F=-GMTm
r2-→er=-GMTmr3--→OM •Cette force estconservative, d´erivant de l"´energie potentielle gravitationnelle : E p,grav=-GMTm r(en choisissant l"origine de l"´energie potentielle pourr→ ∞).2http://atelierprepa.over-blog.com/Qadri J.-Ph.|PTSI
2012-2013
DM21•M7
Satellite g´eostationnaire
•Cette force est ´egalementcentrale, doncMO(-→F) =--→OM×-→F=-→0 .?→le th´eor`eme du moment cin´etique appliqu´e enOdansRGconduit donc `a :?d-→LO/RG(M)
dt? R G=MO(-→F) =-→O?-→LO/RG(M) =--→Cste•Comme?t-→LO/Rg(M)? T= (--→OM,-→vM/Rg), on en d´eduit que la trajectoire (constitu´ee
par l"ensemble des pointsMcontenus dans les plansT) est tout le temps orthogonale `a une direction constante qui celle de-→LO/Rg- qu"on peut librement choisir selon-→ez. D`es lors, la trajectoire deMest contenue dans le plan (Oxy).2)•Pour le point mat´erielMen mouvement circulaire dans le r´ef´erentiel g´eocentrique, le
PrincipeFondamental de laDynamiques"´ecrit :
m -→aM/RG=-→F?m(-rθ2-→er+r¨θ-→eθ) =-GMTm r2-→er, soit : ?-mv2 r=-GMTmr21? m dv dt= 02???????2?→v=v0=ctseMouvement circulaireuniforme
1?→v0=?
GMT r •`A la surface de la Terre, si l"on assimile le champ de pesanteur au champ gravitationnel : mg0≈ GMTm
R2T, d"o`u :GMT≈g0R2T.
Alors :v0=RT?
g0 r=RT? g0RT+h= 7,44km.s-1
3)•Le satellite n"´etant soumis qu"`a une force conservative,leTh´eor`eme de l"´energie m´ecanique
s"´ecrit : dEm=δWNC= 0?Em=Cste Or : E k=1D"o`u :
E m=Ek+Ep,grav=-Ek=-12GMTmr
•Lorsque des forces de frottements (forces non conservatives qui s"opposent au mouvement) apparaissent, leTh´eor`eme de la puissance m´ecaniques"´ecrit : dEm dt=PNC/RG=-→f?-→vM/RG<0Alors, l"´energie m´ecanique diminue au cours du temps : le rayon de la trajectoire sera de plus
en plus faible (r?) et le mouvement tourbillonnaire autour du centre de force se fera avec une vitesse...de plus en plus grande (v?)!4)•Lorsque le satellite est pos´e sur la Terre en un point de latitudeλ, son ´energie m´ecanique
dans le r´ef´erentiel g´eocentrique se compose :◦de l"´energie cin´etique d"un point mat´erielMen rotation de rayonρ=RTcosλautour de l"axe
des pˆoles `a la vitesse angulaire Ω :Ek=12mv2M/RG=12m(ρΩ)2, soit :
E k=12m?2πTRTcosλ?
2◦de l"´energie potentielle gravitationnelle qui est inversement proportionnelle `a la distance dui
satellite au centre de force (r=OM=RTdans ce cas) :Ep,grav=-GMTm RT Qadri J.-Ph.|PTSIhttp://atelierprepa.over-blog.com/3DM21•M7
Satellite g´eostationnaire2012-2013
→D"o`u : E m=E0=12m?2πTRTcosλ?
2 - GMTmRT•On constate que cette´energie m´ecanique est maximale lorsqueλ= 0, c"est-`a-dire sur l"´Equateur.
Puisque le terme d"´energie potentielle est ind´ependant de la latitude (on suppose la Terre par-
faitement sph´erique), cela veut dire qu"`a l"´energie m´ecanique maximale correspond une ´energie
cin´etique maximale dans le r´ef´erentiel g´eocentriquedue `a la rotation de la Terre: E rotation k,max=12m?2πTRT?
2Or, pour lancer le satellite, il faut lui fournir un suppl´ement d"´energie cin´etique dans le r´ef´erentiel
g´eocentrique. Ce suppl´ement sera d"autant plus faible que l"´energie cin´etique du satellite est d´ej`a
importante - ce qui est le cas lorsqu"on est `a l"´Equateur.Mais pour b´en´eficier de cette ´energie cin´etique maximale `a l"´Equateur dˆu `a la rotation de la
Terre, il faut bien entendu envoyer le satellite dans le sensde rotation de la Terre, c"est-`a-dire vers l"Est. •vsol(λ= 0) =2πTRT= 0,46km.s-1.
5)Le plan de la trajectoire circulaire du satelliteMdoit contenir le centre de forceO(cf.1).
Pour qu"un satellite g´eostationnaire soit toujours au-dessus d"un mˆeme point de la surface ter-
restre, il est imp´eratif que le plan de sa trajectoire circulaire soit orthogonale `a l"axe des pˆoles.
Cl : tous les satellites g´eostationnaires sont contenus dans le plan de l"´Equateur.