Fonctions du premier et second degré

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FONCTIONS2

Fonctions

du premier et second degré

Les savoir-faire du chapitre

?1STMG.120Effectuer divers calculs à l'aide d'une fonction. ?1STMG.121Utiliser la représentation graphique d'une fonc- tion. ?1STMG.122Reconnaître l'expression d'une fonction affine. ?1STMG.123Maîtriser la représentation graphique d'une fonction affine. ?1STMG.124Déterminer la variation et le signe d'une fonc- tion affine. ?1STMG.125Reconnaître l'expression d'une fonction du se- cond degré. ?1STMG.126Déterminer les variations d'une fonction du se- cond degré.

Un peu de calcul mental

1Résoudre les équations suivantes de tête :

1)3x=0x=.....8)3x-9=0x=.....

2)3+x=0x=.....9)5-x=0x=.....

3)x-8=0x=.....10)x

4=3x=.....

4)2x=4x=.....11)-x+6=0x=.....

5)1-x=0x=.....12)x+9=7x=.....

6)x

2=8x=.....13)3-4x=0x=.....

7)2x+4=0x=.....14)x

5=1x=.....

2Calculer sans utiliser la calculatrice.

1)f(x) =3x+8f(3) =.....

2)f(x) =-2x+3f(-1) =.....

3)f(x) =x2+1f(2) =.....

4)f(x) =-x+6f(-3) =.....

5)f(x) =x2+2x+1f(0) =.....

6)f(x) =x2+9f(3) =.....

7)f(x) =5-4x f(2) =.....

8)f(x) =2x+6f(-2) =.....

S'entraîner

Les fonctions affines

1Représenter graphiquement les fonctions définies par :

1(x) =x+1f2(x) =-2x+4f3(x) =-3f4(x) =3x f5(x) =4-x

123
-1 -2 -3 -41 2 3 4-1-2-3-4-50

2Représenter graphiquement les fonctions définies par :

1(x) =-5x+8f2(x) =5f3(x) =4x+1f4(x) =0,3x-6f5(x) =8-0,6x

1234567

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -81 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-110 10 Chapitre F2.Fonctions du premier et second degré

S'entraîner

3Dresser les tableaux de variations des fonctions définies par :

f(x) =0,1x+4 sur[0 ; 10],g(x) =4-2xsur[-2 ; 5],h(x) =-0,8x+0,4 sur[1 ; 5].

4Dresser les tableaux de signes des fonctions définies par :

f(x) =0,1x+2 sur[-100 ; 100],g(x) =4-2xsur[-1 ; 10],h(x) =-0,4x+0,4 sur[0 ; 100].

5Un loueur de VTT veut construire un entrepôt pour ranger ses vélos. Il a commencé par envisager de lui

donner une forme carrée mais, finalement, il a choisi d"augmenter un côté de 4 mètres et de diminuer l"autre côté

de 2 mètres afin d"obtenir une forme rectangulaire mieux adaptée à ses besoins. Il constate alors que l"aire de son

entrepôt a augmenté de 6 m

2. Quelles sont finalement les dimensions de son entrepôt?

6Boulétos achète des ingrédients pour faire des crêpes. Il dépense 8 euros, fait 30 crêpes et part les vendre sur

le marché, 70 centimes la crêpe, pour financer un voyage scolaire en Grèce.

1)S" il réussit à vendre 25 crêpes, quel sera son bénéfice? Et s"il n"en vend que 3?

2)Déterminer l"expression de la fonctionBqui, à un nombrexde crêpes vendues associe le bénéficeB(x).

3)Dresser le tableau de signes def. Quel renseignements donne-t-il à Boulétos

7Retrouver les expressions des fonctions affines dont les représentations graphiques sont données ci-dessous.

1234567

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -81 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-110 d1 d2 d3 d4 d6

8Un boulanger fabrique chaque matin 100 croissants pour un coût total de 33 euros. Il vend ensuite ses crois-

sants dans la journée à 1,10 euros.

1)On notexle nombre de croissants vendus dans la journée avecx≥0. Quelle est la recette issue de la vente de

cesxcroissants?

2)Expliquer pourquoi le bénéfice du boulanger, pour la vente deces croissants estB(x) =1,1x-33.

3) a)Etudier le signe de l"expressionB(x).

b)En déduire le nombre minimum de croissants que le boulanger doit vendre pour ne pas perdre d"argent sur

cette vente. Chapitre F2.Fonctions du premier et second degré11

S'entraîner

9Un ticket de tramway coûte 1,30esans abonnement.

Avec un abonnement annuel de 29e, le même trajet ne coûte que 1e. A partir de combien de trajets effectués dans l"année l"abonnement est-il avantageux?

10Dans un club de gym, il y a deux formules possibles :

•Formule A : abonnement mensuel de 18e, et 5epar séance; •Formule B : abonnement mensuel de 30e, et 2,75epar séance. Soitxle nombre de séances mensuelles d"un abonné.

1)A quel ensemblexappartient-il?

2)Exprimer en fonction dexle prix payéPAavec la formule A et le prixPBavec la formule B.

3)Combien doit-on faire de séances pour que la formule B soit plus avantageuse?

11Une entreprise produit et vend des stylos.

Pour l"entreprise, la production quotidienne de stylos engendre un coût total, notéC(x)composé de coûts fixes

(salaires et matériaux) et d"un coût variable proportionnel au nombrexde stylos vendus. Chaque stylo est vendu 2,50 euro. La recette correspondanteest notéeR(x). Le bénéfice, notéB(x)est la différence entre la recette et le coût total.

1)Donner l"expression de la recette en fonction dex.

2)Le coût total est donné par la formule :C(x) =1,25x+180. Quels sont les coûts fixes?

3)Exprimer le bénéfice en fonction dex.

4)CalculerR(200),C(200)etB(200). Commenter.

5)Combien de stylos doit fabriquer l"entreprise pour le coût total s"élève à 600e?

6)Représenter les fonctionsCetRdans le repère ci-dessous.

50100150200250300350400450

50 100 150 200 250

7)Déterminer par lecture graphique le nombre minimum de stylos à produire et vendre pour que l"entreprise

commence à faire des bénéfices. Retrouver ce nombre par le calcul. 12 Chapitre F2.Fonctions du premier et second degré

S'entraîner

12Un ticket de bus coûte 1,20e. On peut aussi prendre un abonnement annuel de 30e; le trajet coûte alors 1e.

1)On notexle nombre de trajets en bus effectués dans l"année.

Donner l"expression de la fonction :

•fqui àxassocie le prix total sans abonnement; •gqui àxassocie le prix total avec abonnement.

2)Donner l"expression réduite deh(x) =f(x)-g(x). Que représenteh(x)?

3)A partir de combien de trajets effectués dans l"année l"abonnement est-il intéressant?

13En économie,

•l"offre est la quantité de biens qu"une entreprise est prêteà vendre à un prix donné;

•la demande est la quantité de biens que les consommateurs sont prêts à acheter pour un prix donné.

Lors du lancement d"un jouet sur le marché, une étude de marché a été réalisée. On estime que le prix de ventex

en euros d"un jouet est tel que 0?x?10.

La demande (en milliers) est donnée pard(x) =25-2,5xet l"offre (en milliers) est donnée parf(x) =1,2x.

1)Lorsque le prix d"un jouet est 8e, quelle est la quantité de jouets :

•qu"est prête à vendre l"entreprise? •que sont prêts à acheter les consommateurs?

Quel est alors l"état du marché?

2)Dresser les tableaux de variations des fonctionsfetgsur[0 ; 10].

3)Représenter les fonctionsfetddans le repère ci dessous.

4)Le marché offre-demande est à l"équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte par les producteurs est

égale à la quantité demandée par les consommateurs.

Déterminer graphiquement ce prix d"équilibre. Retrouver ce résultat algébriquement (arrondir au centime). A

quelle quantité correspond-il?

24681012141618202224

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10Prix (ene)Quantité (en milliers)

Chapitre F2.Fonctions du premier et second degré13

S'entraîner

14Pour jouer au squash dans un club, on règle chaque mois un forfait pour une carte d"adhérent. Cette carte

donne un tarif préférentiel pour chaque heure réservée.

Un client ne se souvient pas du montant du forfait mensuel ni du tarif préférentiel. Mais il a retrouvé ses deux

derniers tickets de caisse. En février, il a payé 86epour 10 séances. En mars, les 15 séances lui ont coûté 123,50e.

1)Quel est le montant du forfait mensuel? Quel est le prix du tarif horaire préférentiel?

2)En mai, combien le client va-t-il payer pour jouer 8 fois une heure?

Fonctions polynômes du second degré

15Dresser le tableau de variations des fonctions définies par :

f(x) =-x2+2x+1 sur[0 ; 2]g(x) =0,05x2-5x-1 sur[0 ; 100]h(x) =0,2x2-x+4 sur[0 ; 10].

16Une entreprise fabrique des pièces détachées pour automobile.

On notexle nombre de pièces fabriquées au cours d"une journée. Le coût de production, en centaines d"euros, de

xpièces est notéC(x). Ci-dessous est représentée la courbe de la fonctionCsur l"intervalle[40 ; 80].

1)Quel est le coût de production de 50 pièces?

2)Pour un coût de production de 1400e, combien l"entreprise va-t-elle fabriquer de pièces?

3)On suppose que, sur l"intervalle[40 ; 80], la fonctionCest définie par :

C(x) =0,01x2-0,79x+17,40

Chaque pièce est vendue 20e.

a)Justifier quefest croissante sur[40 ; 80]. b)Déterminer le coût de production de 50 pièces.

c)Déterminer la recetteR(x)(en centaines d"euros) de l"entreprise pourxpièces fabriquées, puis représenter la

fonctionRdans le repère.

d)Graphiquement, quels nombres de pièces doit-elle fabriquer pour réaliser un bénéfice positif?

e)Combien l"entreprise doit-elle fabriquer de pièces pour avoir un bénéfice maximal?

024681012141618

40 50 60 70 80

Nombre de pièces

Coût de production (en centaines d"e)

14Chapitre F2.Fonctions du premier et second degré

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17Une étude de marché a été réalisé sur la vente de fraise dans les

magasins d"une chaîne d"hypermarchés. On estime que le prixde ventep, en euros, d"un kilogramme de fraises est tel que 2?p?5. La demande, c"est-à-dire la quantité de fraises (en milliersde tonnes) réclamée par les consommateurs est :D(p) =0,5p2-5p+13,5. L"offre, c"est-à-dire la quantité de fraises (en milliers de tonnes) disponible chez le fournisseur, est :F(p) =-0,3p2+3,4p-4,5. On donne les représentations graphiques ci-contre.

1)Indiquer, en justifiant, les courbes associées aux fonctions d"offre

et de demande.

123456

1 2 3 4 5 6

Quantité (×1000 t)

p(en euros) Cg 0

2) a)Quelle est la quantité de fraise demandée lorsque le prix du kilogramme de fraises est 4e.

b)Quelle est la quantité offerte lorsquep=4e. c)Commenter alors l"état du marché.

3)Le prix d"équilibre est le prix pour lequel la demande est égale à l"offre.

Conjecturer graphiquement le résultat et vérifier qu"il réalise bien l"équilibre entre l"offre et la demande.

18Le propriétaire d"un cinéma de 1 000 places estime, pour ses calculs, qu"il vend 300 billets à 7epar séance.

Il a constaté qu"à chaque fois qu"il diminue le prix du billetde 0,1e, il vend 10 billets de plus.

Il engage une campagne de promotion.

1)Il décide de vendre le billet 5e.

a)Combien y aura-t-il de spectateurs pour une séance? b)Quelle est alors la recette pour une séance?

2)A quel prix devrait-il vendre le billet pour remplir la salle? Quel est votre commentaire?

3)Le propriétaire envisage de proposerxréductions de 0,1e.

a)Quel est alors le prix d"un billet en fonction dex?

b)Exprimer en fonction dexla recette, notéer(x), pour une séance et vérifier que :r(x) =-x2+40x+2100.

c)Donner le tableau de variation de la fonctionrsur[0 ; 70].

d)En déduire la recette maximale, le prix du billet et le nombrede spectateur à cette séance.

19Le nombre d"abonnés à une revue dépend du prix de l"abonnement à cette revue, prix exprimé en euros.

On considère que l"on a la relation :

nombre d"abonnés=12500-50×prix en euros.

Soitfla fonction qui donne le nombre d"abonnés en fonction du prixde l"abonnement annuel à cette revue.

1) a)Déterminer l"expression algébrique def. Préciser la variable.

b)Donner le sens de variation def. Interpréter ce résultat pour la situation étudiée. c)Peut-on fixer le prix à 300e? Entre quelles peut varier le prix de l"abonnement?

d)Le directeur des abonnements souhaite 6350 abonnés à la revue. Quelle doit être le prix de l"abonnement?

2) a)Déterminer le nombre d"abonnés que l"on perd en augmentant le prix de l"abonnement de 100e?

b)Cela dépend-il du prix de départ? c)Combien d"abonnés perd-on en augmentant l"abonnement de 1e?

3) a)Exprimer la recette en fonction du prix de l"abonnement.

b)Déterminer quel prix choisir pour l"abonnement afin que la recette soit maximale. Chapitre F2.Fonctions du premier et second degré15

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20Un artisan fabrique des vases qu"il met en vente. On suppose que tous les vases fabriqués sont vendus.

L"artisan veut faire une étude sur la production d"un nombrede vases compris entre 0 et 60. Il estime que le coût

de production dexvases fabriqués est modélisé par la fonctionCdont l"expression estC(x) =x2-10x+500, où

xappartient à l"intervalle [0; 60].

Chaque vase est vendu 50 euros.

Sur le graphique donné ci-dessous,Cest la courbe représentative de la fonctionCetD2est la droite d"équation :

y=50x.

1)La fonctionCest-elle croissante sur[0 ; 60]?

2)Par lecture graphique, déterminer :

a)le coût de production de 40 vases fabriqués. b)la production, à une unité près, qui correspond à un coût total de 1 300 euros.

3)On noteR(x)la recette, en euros, correspondant à la vente dexvases fabriqués.

a)ExprimerR(x)en fonction dex.

b)Déterminer graphiquement le nombre de vases que l"artisan doit fabriquer pour réaliser un bénéfice.

4) a)Montrer que le bénéfice, en euros, réalisé par la fabricationet la vente dexvases, est donné par la fonctionB

dont l"expression est B(x) =-x2+60x-500, oùxappartient à l"intervalle [0; 60]. b)Calculer le bénéfice pour 30 vases fabriqués et vendus. c)Dresser le tableau de variation de la fonctionBsur l"intervalle [0; 60].

d)En déduire le nombre de vases à fabriquer et à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.

D 2 C

050010001500200025003000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

16Chapitre F2.Fonctions du premier et second degré

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PARTIEA

Le nombre d"abonnés à la revue "MATHS» dépend du prix de l"abonnement à cette revue, prix exprimé en euros.

En notantxle prix de l"abonnement annuel etf(x)le nombre d"abonnés on a la relation : f(x) =12500-50x

1) a)Calculerf(30). Interpréter concrètement ce résultat.

b)Nabolos, le directeur des abonnements, souhaite 6350 abonnés à la revue. Quel doit être le prix de l"abonne-

ment?

2)Nabolos souhaite savoir le nombre d"abonnés perdus lorsquele prix de l"abonnement augmente de 1e.

a)Il calculef(31)-f(30). Effectuer ce calcul. Que peut-il en déduire? b)Ensuite, il simplifie l"expression algébrique :(12500-50(x+1))-(12500-50x). Effectuer cette simplification. Que peut-il en déduire?

3) a)Résoudre l"équationf(x) =0.

b)Entre quelles valeurs peut varier le prix de l"abonnement?

PARTIEB

Le chiffre d"affaires de la revue " MATHS » est obtenu par le produit du nombre d"abonnés par le prix de l"abon-

nement. On noteR(x)ce chiffre d"affaires.

1)Exprimer le chiffre d"affaire en fonction du prix de l"abonnementx. Donner le résultat sous une forme dévelop-

pée.

2)On donne la représentation graphique de la fonctionR(en abscisses : prix de la revueen euroset en ordon-

nées : chiffre d"affairesen milliers d"euros). En utilisant cette représentation graphique, répondre aux questions

suivantes : a)Quel est le montant du chiffre d"affaires lorsque le prix de l"abonnement est 250e?

b)Nabolos souhaite un chiffre d"affaires supérieur à 500 000e. Dans quel intervalle doit se situer le prix de

l"abonnement? c)Donner le chiffre d"affaires maximal. Pour quel prix d"abonnement est-il obtenu?quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

[PDF] Fonctions du premier et second degré - mathGM

FONCTIONS2

Fonctions

Les savoir-faire du chapitre

Un peu de calcul mental

1Résoudre les équations suivantes de tête :

1)3x=0x=.....8)3x-9=0x=.....

2)3+x=0x=.....9)5-x=0x=.....

3)x-8=0x=.....10)x

4=3x=.....

4)2x=4x=.....11)-x+6=0x=.....

5)1-x=0x=.....12)x+9=7x=.....

2=8x=.....13)3-4x=0x=.....

7)2x+4=0x=.....14)x

5=1x=.....

2Calculer sans utiliser la calculatrice.

1)f(x) =3x+8f(3) =.....

2)f(x) =-2x+3f(-1) =.....

3)f(x) =x2+1f(2) =.....

4)f(x) =-x+6f(-3) =.....

5)f(x) =x2+2x+1f(0) =.....

6)f(x) =x2+9f(3) =.....

7)f(x) =5-4x f(2) =.....

8)f(x) =2x+6f(-2) =.....

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Les fonctions affines

1Représenter graphiquement les fonctions définies par :

1(x) =x+1f2(x) =-2x+4f3(x) =-3f4(x) =3x f5(x) =4-x

2Représenter graphiquement les fonctions définies par :

1(x) =-5x+8f2(x) =5f3(x) =4x+1f4(x) =0,3x-6f5(x) =8-0,6x

1234567

S'entraîner

3Dresser les tableaux de variations des fonctions définies par :

4Dresser les tableaux de signes des fonctions définies par :

5Un loueur de VTT veut construire un entrepôt pour ranger ses vélos. Il a commencé par envisager de lui

2. Quelles sont finalement les dimensions de son entrepôt?

6Boulétos achète des ingrédients pour faire des crêpes. Il dépense 8 euros, fait 30 crêpes et part les vendre sur

1)S" il réussit à vendre 25 crêpes, quel sera son bénéfice? Et s"il n"en vend que 3?

2)Déterminer l"expression de la fonctionBqui, à un nombrexde crêpes vendues associe le bénéficeB(x).

3)Dresser le tableau de signes def. Quel renseignements donne-t-il à Boulétos

7Retrouver les expressions des fonctions affines dont les représentations graphiques sont données ci-dessous.

1234567

8Un boulanger fabrique chaque matin 100 croissants pour un coût total de 33 euros. Il vend ensuite ses crois-

1)On notexle nombre de croissants vendus dans la journée avecx≥0. Quelle est la recette issue de la vente de

2)Expliquer pourquoi le bénéfice du boulanger, pour la vente deces croissants estB(x) =1,1x-33.

3) a)Etudier le signe de l"expressionB(x).

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9Un ticket de tramway coûte 1,30esans abonnement.

10Dans un club de gym, il y a deux formules possibles :

1)A quel ensemblexappartient-il?

2)Exprimer en fonction dexle prix payéPAavec la formule A et le prixPBavec la formule B.

3)Combien doit-on faire de séances pour que la formule B soit plus avantageuse?

11Une entreprise produit et vend des stylos.

1)Donner l"expression de la recette en fonction dex.

2)Le coût total est donné par la formule :C(x) =1,25x+180. Quels sont les coûts fixes?

3)Exprimer le bénéfice en fonction dex.

4)CalculerR(200),C(200)etB(200). Commenter.

5)Combien de stylos doit fabriquer l"entreprise pour le coût total s"élève à 600e?

6)Représenter les fonctionsCetRdans le repère ci-dessous.

50100150200250300350400450

50 100 150 200 250

7)Déterminer par lecture graphique le nombre minimum de stylos à produire et vendre pour que l"entreprise

S'entraîner

12Un ticket de bus coûte 1,20e. On peut aussi prendre un abonnement annuel de 30e; le trajet coûte alors 1e.

1)On notexle nombre de trajets en bus effectués dans l"année.

Donner l"expression de la fonction :

2)Donner l"expression réduite deh(x) =f(x)-g(x). Que représenteh(x)?

3)A partir de combien de trajets effectués dans l"année l"abonnement est-il intéressant?

13En économie,

1)Lorsque le prix d"un jouet est 8e, quelle est la quantité de jouets :

Quel est alors l"état du marché?

2)Dresser les tableaux de variations des fonctionsfetgsur[0 ; 10].

3)Représenter les fonctionsfetddans le repère ci dessous.

4)Le marché offre-demande est à l"équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte par les producteurs est

24681012141618202224

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10Prix (ene)Quantité (en milliers)

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14Pour jouer au squash dans un club, on règle chaque mois un forfait pour une carte d"adhérent. Cette carte

1)Quel est le montant du forfait mensuel? Quel est le prix du tarif horaire préférentiel?

2)En mai, combien le client va-t-il payer pour jouer 8 fois une heure?