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EXERCICES MPSIA1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOMER. FERRÉOL 16/17

II. 1)NOTATIONSET

1. : Sommes des puissancesp-ièmes desnpremiers entiers.

Posons :a

n= n k=1k=n(n+ 1)2;bn= n k=1k2;cn= n k=1k3;dn= n k=1k4. (a) En remarquant quec n+1= n k=0(k+ 1)3, montrer quecn+1=cn+ 3bn+ 3an+n+ 1 ;en déduire la valeur debn. (b) Montrer de même qued n+1=dn+ 4cn+ 6bn+ 4an+n+ 1; en déduire la valeur decn. Rep:b n=n(n+ 1)(2n+ 1)6;cn=n(n+ 1)2 2 (c) * Généralisation : siS pn= n k=0kp,montrer la formule de récurence de Pascal (1654) : (p+ 1)S pn= (n+ 1)p+1- p-1 k=0 p+ 1 k S kn. (d) * Calculerd n=S4net vérifier quedn= (6an-1)bn/5.

2. : Remplir le tableau après avoir calculé les sommes correspondantes :

ai,j=1iji+jij

1i, jnai j=

1ijnai j=

3. : (a) Calculer n

1i,jnmin(i,j).

(b) En déduire la valeur de n

1i,jnmax(i,j),puis celle de

n

1i,jn|i-j|.

4. * Inégalité de Tchebychev :

(a) Montrer que 1i1a2...anetb1b2...bn n i=1ai n n i=1bi n n i=1aibi n

(autrement dit, lorsque deux séries dennombres sont rangés dans l'ordre croissant, le produit de leurs moyennes

est inférieur ou égal à la moyenne de leurs produits)

5. * :

(a) Démontrer l'identité de Lagrange : n k=1 a2 k n k=1 b2 k =n k=1 akbk 2 1i(b) En déduire que le produit de 2 sommes de 2 carrés (parfaits) est encore une somme de 2 carrés, et que plus

généralement, le produit de 2 sommes dencarrés est une somme de .... carrés. 1 EXERCICES MPSIA1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOMER. FERRÉOL 16/17

(c) En déduire, pour-→u= (a1,a2,...,an)et-→v= (b1,b2,...,bn)∈Rnl'inégalité de Cauchy-Schwarz :

n k=1 akbk n k=1 a2 k n k=1 b2 k

A quelle CNS portant sur

-→uet-→va-t-on égalité entre les deux membres de cette égalité ?

6. * : Inégalité entre écart-type et écart moyen.

(a) Montrer que si n k=1ak= 0,alors n k=1a2 k12 n k=1|ak| 2

Indication : partir de

n k=1ak 2 = 0. (b) En déduire que siσest l'écart-type de la série de nombres(a

1,a2,...,an)etσ′son écart-moyen, alorsσn

2σ

Rappel :σ=

n k=1(ak-m)2 netσ n k=1|ak-m| n,oùmest la moyenne arithmétique des ak.

7. * : Encadrement de Gauss de la factorielle :

(a) Montrer que pourn1, n! = i+j=n+1 i1,j1 (b) Montrer que sii1etj1,alorsi+j-1iji+j 2 2 (c) En déduire l'encadrement :n n

2n!n+ 12

n

8. * : Un encadrement de

2n n (a) Montrer que : 1k2n kimpair k 1k2n kpair k=(2n)!22n(n!)2= 2n n4n (b) En déduire que pourn1:4 n 2n2n n 4 n 2.

II 2)3)RÉCURRENCES, BINÔME

9. (inégalité de Bernoulli) : Montrer que six-1,alors pour toutnentier naturel,(1 +x)n1 +nx.

(a) Par récurrence. (b) En utilisant la formule du binôme, uniquement pourx0. (c) En utilisant la formule de Bernoulli, uniquement pourx0. (d) Proposez une quatrième méthode.

10. : On donnef(x) =1

x+a; conjecturer une formule pour la dérivéen-ièmef (n)(x)et la montrer par récurrence. 2 EXERCICES MPSIA1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOMER. FERRÉOL 16/17

11. : Partant deu0= 1,calculeru1,u2,u3puis conjecturer une formule pourunet la démontrer par récurrence, dans les

cas suivants : (a)u n+1=un un+ 1 (b)u n+1=unu2 n+ 1 (c)u n+1=un un+ 2

12. (nombres de Catalan) : On poseC

0= 1etCn+1=n

k=0CkCn-k. (a) Calculer les 5 premiers termes de cette suite. (b) Montrer par récurrence simple queC n2n-1pour toutn0. (c) * Montrer par récurrence forte queC n3n-2pour toutn0. (d) * Tenter de montrer par une récurrence similaire à celle de c)C n4n-2pour toutn0.A quel endroit ceci échoue-t-il ? Pourquoi est-il heureux que cette démonstration échoue ?

13. * : Variantes de raisonnements par récurrence.

Parmi les énoncés suivants, lesquels permettent d'en déduire queP nest vraie pour tout natureln? (a)P

0est vraie et pour tout natureln, Pn⇒(P2netP2n+1).

(b)P

0etP1sont vraies et pour tout natureln1, Pn⇒(P2netP2n+1).

(c)P

0,P1,P2sont vraies et pour tout natureln2, Pn⇒(P2netP2n+1).

(d)P

1est vraie, pour tout natureln1, Pn⇒Pn-1et pour tout natureln, Pn⇒P2n(récurrence de Cauchy).

(e)P

0etP1sont vraies et pour tout natureln1, P2n⇒(P2n-1etP2n+1).

14. : (a) Vérifier pour toutn∈N n k=1 k=n(n+ 1)2,et n k=1 k(k+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)3. (b) Conjecturer une formule générale pourS n= nn k=1 kp= k=1 k(k+ 1)...(k+p-1), oùpest un naturel donné, et la montrer par récurrence. (c) En déduire les valeurs de n k=1 k2et n k=1 k3. (d) Écrire S n p!sous la forme n k=1 ; en déduire une deuxième façon de calculerS n.

REM : écrite sous la forme

n k=1 kp=n p+1 (p+ 1)!,la formule dub)est facile à retenir ! 15. : (a) Déterminer un diviseur commun>1aux nombresn4 n+1-(n+ 1)4n+ 1 (pourn1). (b) Déterminer un diviseur commun>1aux nombres3×5

2n-1+ 23n-2(pourn1).

16. * :ndroites sont situées dans un plan, sans que deux d'entre elles ne soient parallèles ni trois d'entre elles concourantes

; déterminer le nombre de régions déterminées par cesndroites. 3 EXERCICES MPSIA1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOMER. FERRÉOL 16/17

17. * : Inégalité de convexité.

Soitfune fonction définie sur un intervalleIet vérifiant ∀x

1,x2∈I∀t∈[0,1]f((1-t)x1+tx2)(1-t)f(x1) +tf(x2)

(définition d'une fonction convexe). Montrer par récurrence que pour toute suite dennombres(t

1,...,tn)positifs ou nuls de somme égale à 1 et toute suite

(x

1,...,xn)denréels appartenant àI

f n i=1 tixi n i=1 tif(xi)

18. * : Inégalité entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique.

(a) Montrer que sinréels positifs ont un produit égal à 1, alors l'un d'entre euxest1et un autre est1; montrer

que ces deux nombresxetyvérifient alorsx+y1 +xy. (b) Montrer par récurrence surnque six

1,x2,...,xnsontnréels positifs de produit égal à 1, alors leur somme est

n. (c) En déduire que six n.

19. * : Inégalité de Tchebychev généralisée (cf ex 4).

Montrer que si(a

1,...,an)et(b1,...,bn)sont deux suites croissantes denréels, et(t1,...,tn)une suite denréels positifs

ou nuls de somme égale à 1, alors n i=1 tiai n i=1 tibi n i=1 tiaibi (Commencer par le casn= 2puis procéder par récurrence ).

20. * : Démontrer qu'il existe un entier natureln

0à partir duquel tout entier peut s'écrire sous la forme5a+ 7baveca,b

entiers naturels.

21. * : Dans un polyèdre convexe àn4faces, montrer que le nombre d'arêtes est égal au nombre de sommets plusn-2

(cette identité s'appelle larelation d'Euler).

22. * : Une drôle de façon de définir la multiplication, l'exponentiation etc...

On définitf

n(a,b)poura,b∈N∗par f1(a,b) =a+b f n(a,1) =apour tout entiern2, a1 f n(a,b) =fn-1(a, fn(a,b-1))pour tout entiera1,b2,n2

Calculerf

2(a,b), f3(a,b), f4(a,b),f5(a,2), fn(2,2), f5(3,3).

23. : Calculer3

5en base2en utilisant la formule du binôme.

24. : Montrer que pournentier1,(n+ 1)

n2nn.

25. : Somme alternée partielle d'une ligne du triangle de Pascal.

Montrer la relation :

p k=0 (-1)kn k = (-1) pn-1 p (pour0pn-1) (a) En partant de n-1 p =n p -n-1 p-1 et en itérant. (b) Par récurrence surn. (c) Par récurrence surp,avec la convention que sipn,n-1 p = 0. 4 EXERCICES MPSIA1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOMER. FERRÉOL 16/17 26. :
(a) Calculer n k=1 kn k en transformant l'expressionkn k de sorte que le nombre situé avant le coefficient binomial ne dépende pas dek. (b) Calculer n k=p kk-1 p-1 ,pournp.

27. : Calculer à l'aide de la fonctionfdéfinie parf(x) = (1 +x)

n: (a) n k=1 kn k (b) n k=1 (-1)kkn k (c) n k=2 k(k-1)n k (d) n k=0 n k k+ 1.

28. * :

(a) Calculer le coefficient dex kdans(1 +x)p+qpuis dans(1 +x)p(1 +x)q; en déduire laformule de convolution,ou de Van der Monde: i+j=k p i q j =p+q k ; la vérifier pourk= 2,p= 3,q= 4. (b) Que retrouve-t-on pourp=q=k=n?

(c) Montrer que plus généralement, le produit scalaire de laligneppar la ligneqdu triangle de Pascal est égal àp+q

p (d) Déduire de la formule de convolution la formule : i+j=k ip i q j =pp+q-1 k-1 (utiliser i p i =pp-1 i-1 ) ;en déduire que n k=0 kn k 2 =n2 2n n

29. *: Calculer

0ijn j i n-j j-i en utilisant la formule de convolution, exercice précédent.

30. * : Formule de convolution, preuve par récurrence. On admet dans cet exercice que si l'on poseb

a = 0pour tous a =b a +b a-1 est valable pour tous les entiersa,b. (a) On demande de démontrer par récurrence surnque pour tous entiers naturelsm,p: m p n k=0 n k m-n p-k (b) Retrouver la formule n k=0 n k2 =2n n

(c) Vérifier que la formule du a. est bien équivalente à la formule de convolution (exercice 28).

5 EXERCICES MPSIA1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOMER. FERRÉOL 16/17

31. * : Trouver une formule issue de l'égalité triviale :(1 + 2x)n= (1 +x+x)n.

32. * : Que vaut

n k=0 n k (x-1) k? Que peut on en déduire ?

33. : Donner la valeur du coefficient dex

2ndansx2-12n, puis dans(x-1)2n(x+ 1)2n. En déduire la valeur de

2n k=0(-1)k2n k2

34. * : On poseS

n= n k=0 2k 2n-k n ; en utilisant la relation de Pascal, montrer queS n+1= 2quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43