[PDF] Sous-variétes de l'espace euclidien - Université de Rennes



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Sous-variétes de l'espace euclidien - Université de Rennes Université de Rennes 1 Préparation à l"agrégation

Jürgen Angst année 2014-2015

Sous-variétes de l"espace euclidien

Nous revenons dans cette deuxième partie sur les notions de sous-variété de l"espace euclidien,

d"espace tangent, ainsi que les les notions de points critiques et d"extrema sur les sous-variétés.

Parmi les nombreux exemples de sous-variétés euclidiennes, les sous-groupes classiques de matrices

et les résultats associés sont particulièrement appréciés et permettent d"illustrer à la fois les leçons

d"analyse/algèbre/géométrie.

1 Sous-variétes de l"espace euclidien

Commençons par rappeler la définition d"une sous-variété euclidienne et ses différentes caracté-

risations (graphe, implicite, paramétrée). De très bonnes références pour cette partie sont [BG87]

p. 56 à 59 ou encore [Laf96], section D, p. 28 à 34.

1.1 Définitions équivalentes des sous-variétés

Définition 1.On dit qu"un ensembleMRnest une sous-variété deRnde dimensiondsi pour tout point dexdeM, il existe des voisinages UetVdexet0dansRn; un diffé omorphismef:U!V; tels que f(U\M) =V\

Rd f0Rndg

On dit alors queMest de codimensionnddansRn.R

f(U\M)f U\MR Figure1 - Sous-variété de l"espace euclidien. Autrement dit, localement l"ensembleMpeut "s"identifier" à un ouvert deRd. Les différentes

caractérisations ci-dessus peuvent être considérées comme autant de définitions alternatives de la

notion de sous-variété euclidienne. Théorème 1.SoitMun sous ensemble deRn. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1.Définition.Mest une sous-variété deRnde dimensiond.

2.Description implicite. Pour tout point dexdeM, il existe

un voisinage UdexdansRn; une submersion g:U!Rnp; tels que

U\M=g1(0):

3.Paramétrage. Pour toutx2M, il existe

un voisinage UdexdansRn; un voisinage de0dansRd; une applic ationh: !Rn; tels quehest à la fois une immersion dansRnet un homéomorphisme de surU\M.

4.Graphe. Pour toutx= (x1;:::;xn)2M, il existe

un voisinage UdexdansRn; un voisinage Vde(x1;:::;xd)dansRd; -(nd)fonctionsgi:V!R; tels que, à permutation éventuelle des coordonnéesxi, x2U\M()8 >>:(x1;:::xd)2V; d+1=g1(x1;:::xd); n=gnd(x1;:::xd): Démonstration.On désigne paril"injection canonique deRddansRn.

1)3.Soit fle difféomorphisme défini sur un voisinageUdex2Mdont le point1)affirme

l"existence. Alors =f(U\M)\Rdest un ouvert deRdeth=f1iest à la fois une immersion dansRnet un homéomorphisme de surU\M.

1)2.Notons f= (f1;:::;fn)les composantes def. Commefest un difféomorphisme de

Usur son image, les différentiellesDxfisont linéairement indépendantes en tout point de x2U. Posons alorsg= (fd+1;:::;fn). On a bien une submersion deUdansRndtelle queM\U=g1(0).

3)1.Supp osonsque le p oint3)est vérifié. Quitte à restreindre

, il existe un alors dif- féomorphisme'd"un ouvertUdeRncontenantx=h(0)tel que 'h(x1;:::;xd) = (x1;:::;xd;0;:::;0):

On a alors

'(U\M) ='(h( )) ='(U)\

Rd f0g

2)1.Ssi gest une submersion, quitte à restreindreU, il existe un difféomorphisme :

U! (U)

g (x1;:::;xn) = (x1;:::;xnd):

On conclut alors comme plus haut.

2()4.Si Mest localement le graphe deG= (G1;:::;Gnd) :V!Rnd, alors l"appli-

cation g:x7!(xi+dGi(x1;:::;xd))1ind est une submersion licite quitte à restreindre son ouvert de définition. Réciproquement, si on dispose d"une telle submersion, quitte à permuter les coordonnées, on peut supposer que la matrice(@i+dgj(x))1i;jndest inversible. D"après le théorème d"inversion locale appliqué à

F:x7!(x1;:::;xd;g1(x);:::;gnd(x)):

Son inverse local est de la forme

1:x7!(x1;:::;xd;

1(x);:::;

nd(x)); ce qui fait apparaîtreMcomme le graphe de

G: (x1;:::;xd)7!

j(x1;:::;xd;0;:::;0)

1jnd:1.2 Premiers exemples et contre-exemples

Sous forme d"exercices, voici quelques premiers (contre-)exemples de sous-variétés euclidiennes.

On en trouvera de nombreux autres dans [Rou03] ou [BG87] par exemple. Exercice 1([BG87], exemple 2.1.6.1 p. 59).Démontrer de plusieurs façons que siVRnet WRmsont des sous-variétés, alorsVWest une sous-variété deRnRm=Rn+m. Exercice 2([BG87], exemple 2.1.6.2 p. 60).Montrer que la sphère unité de l"espace euclidien d:=fx= (x1;:::;xd+1)2Rd+1; x21+:::+x2d+1= 1gest une sous-variété compacte deRd+1de dimensiond. Exercice 3([Laf96], variante autour de l"exemple p.33).Soit l"applicationf:R!R2telle quef(t) := (t2;t3). L"image defest-elle une sous variété? Même question pour l"application g:R!R3définie parg(t) := (t;t2;t3). Exercice 4([Laf96], contre-exemple p. 32).Pour quelles valeurs de2Rl"application g:t7!(cos(t);sin(t);cos(t);sin(t)) paramètre-elle sous-variété deR4? Exercice 5([BG87], exercice 2.8.9 p. 109).SoitHune hyperquadrique deRdd"équation 1ijda ijxixj+dX i=1b ixi= 1; où(aij)est une matrice symétrique inversible. Montrer queHest une sous-variété deRdde dimensiond1, difféomorphe àSkRd1k, l"entierdkétant le nombre de carrés négatifs de la forme quadratique associée à la matrice(aij). Exercice 6(Grassmanienne, [Pos90] exercice 1 p. 161).Montrer que l"ensembleG(m;n)des sous-espaces vectoriels de dimensionmdansRnest une sous-variété de dimensionm(nm).

1.3 Sous-groupes de matrices

Les sous-groupes de matrices classiques sont abordés comme exemples de sous-variétés euli-

diennes dans de nombreux ouvrages. Ces exemples et les résultats associés permettent d"illustrer

de nombreuses leçons en algèbre/analyse/géométrie. Vous pourrez par exemple consulter les exer-

cices 94 et 95 p. 275-278 de [Rou03], les exercices 2.8.10-11 p. 110 de [BG87], l"excellente leçon

11 de [Pos90] ou encore la section 3.4 p. 64-71 de la référence classique [MT86].

Exercice 7(Sous-groupes de matrices).blanc

Montr erque SLn(R)l"ensemble des matricesnnréelles de déterminant 1 est une sous- variété deRn2. Quelle est sa (co)dimension? Montr erque On(R)l"ensemble des matrices orthogonalesnnest une sous-variété deRn2.

Quelle est sa (co)dimension?

Montr erque le sous ensemble VrdeMn(R)formé des matrices de rang0< r < nest unequotesdbs_dbs7.pdfusesText_5