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Chapitre 03 - Les suites 1/6

Terminale S. - Lycée Desfontaines - Melle Chapitre 03 - Les suites

I. Rappels sur les suites

1- Définitions

Définition : On appelle suite numérique toute fonction numérique u dont l"ensemble de définition est É (ou une partie de É). L"image

de n par u càd u(n) est généralement notée un.

Remarques :

• u n est appelé terme général de la suite ou terme d"indice n de la suite. • La suite u est souvent notée ( )un ou ( )unn☻É. Il ne faut pas confondre la suite ( )un et son terme général un.

2- Modes de génération d"une suite

Définition :

• Lorsque le terme général u

n est exprimé en fonction de n et est indépendant des termes précédents, on dit que la suite ( )un est

définie explicitement (c"est le cas des suites ( )un définies par exemple par un=3n+2, un=n2+2n...)

• Lorsque la suite ( )un est définie par la donnée de ses premiers termes et d"une relation exprimant chaque autre terme en

fonction des précédents, on dit que la suite est définie par récurrence : par ex, la suite ( )un définie par ???

u0=2 ┐n,u n+1=3un+2

3- Représentation d"une suite

Cas d"une suite définie de manière implicite :

• On peut représenter les termes d"une suite ( )un sur un axe ( )O;Åi en plaçant les points d"abscisses un.

• On peut représenter les termes d"une suite ( )un dans un repère ( )O;Åi;Åj en plaçant les points de coordonnées ( )n;un.

Cas d"une suite définie de manière explicite :

Pour représenter une suite ( )un définie par récurrence par la donnée de u0 et de la relation un+1=f( )un à l"aide de la courbe

représentative Cf de la fonction f et de la droite ∆ d"équation y=x, • On trace Cf et ∆ dans un repère ; • On place u0 sur l"axe des abscisses ; • On place u1 sur l"axe des ordonnées en utilisant le fait que u1 est l"image de u0 par f ; • On reporte u1 sur l"axe des abscisses en utilisant la droite ∆ ; • On réitère le procédé pour placer les autres termes.

Exemple : Soit

( )un la suite définie par u0= 3 2 ┐n,un+1=- 1

4 un2+2un+2

4- Suites arithmétiques - Suites géométriques

Suites arithmétiques Suites géométriques

Définition

Une suite est arithmétique lorsque chacun de ses termes se déduit du précédent en ajoutant un même réel r appelé raison.

On a alors ┐n, u

n+1=un+r Une suite est géométrique lorsque chacun de ses termes se déduit de son précédent en multipliant par

un même réel q appelé raison.

On a alors ┐n, un+1=q×un

Détermination

de la nature d"une suite En montrant que ┐n, un+1-un est une constante r, on montre que la suite ( )un est arithmétique de raison r. En montrant que ┐n, u n+1 peut s"écrire sous la forme q×u n, on montre que ( )un est géométrique de raison q.

Chapitre 03 - Les suites 2/6

Suites arithmétiques Suites géométriques

Terme général

• Lorsque ( )un est arithmétique de raison r et de premier terme u

0 alors ┐n, un=u0+nr

• ┐n et ┐p, u n=up+(n-p)r • Si ( )un est géométrique de premier terme u o et de raison q alors ┐n, un=u0×qn • ┐n et ┐p, u n=up×qn-p

Limites

• Si r>0 alors lim n↔+õun=+õ • Si r=0 alors ( )un est constante • Si r<0 alors lim n↔+õun=-õ • Si q>1 alors lim n↔+õqn=+õ • Si q=1 alors ( )qn est constante • Si -1Somme de termes consécutifs ∑ i=pn ui=( )nb de termes× 1er terme + dernier terme

2 ∑

i=pn ui=( )1er terme× 1 - raisonnb de termes

1 - raison

II. Raisonnement par récurrence

Pour démontrer qu"une propriété est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n0, on procède en trois étapes :

1- Initialisation : On montre que la propriété est vraie pour l"entier n0.

2- Hérédité : On montre que la propriété est héréditaire càd qu"on suppose que la propriété est vraie pour un entier pÃn0 (c"est

l"hypothèse de récurrence) et on montre alors que la propriété est vraie pour l"entier suivant p+1

3- Conclusion.

Remarque : Le principe de récurrence est un axiome. Il ne se démontre pas. Exemple : Soit la suite ( )un définie par u0=3 et pour tout entier n, un+1=5un-4. Montrons que pour tout entier nÃ0, un=2×5n+1

1. Initialisation : u0=3 et 2×50+1=3 donc u0=2×50+1. La propriété est donc vraie pour n=0

2. Hérédité : On suppose qu"il existe un entier pÃ0 tel que la propriété soit vraie càd tel que up=2×5p+1 (c"est l"hypothèse de

récurrence), et on va montrer que la propriété est vraie pour l"entier suivant p+1 càd que up+1=2×5p+1+1

On sait que up+1=5up-4 donc up+1=5×( )2×5p+1-4 =2×5p+1+5-4=2×5p+1+1. La propriété est donc vraie pour l"entier p+1.

3. Conclusion : La propriété est vraie pour n=0 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier nÃ0.

III. Suites monotones, majorées, minorées et bornées

1. Suite monotone

• Une suite ( )un est croissante si pour tout entier n, un+1Ãun. • Une suite ( )un est décroissante si pour tout entier n, un+1Âun. • On dit qu"une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.

Remarques :

• Une suite

( )un est croissante à partir du rang n0 si ┐nÃn0, un+1Ãun (propriété équivalente pour une suite décroissante)

• Une suite n"est pas forcément monotone (par exemple, la suite de terme général un=(-1)n n"est ni croissante, ni décroissante)

Méthodes pour étudier l"éventuelle monotonie d"une suite : • Lorsque ┐n, u n+1-un<0 (resp. >0), la suite ( )un est décroissante (resp. croissante)

• Lorsque ┐n, un=f(n) et que f est croissante (resp. décroissante) alors ( )un est croissante (resp. décroissante).

• Pour les suites définies par un+1=f( )un et que f est croissante et stable sur un intervalle I, on utilise parfois des

raisonnements par récurrence pour montrer que la suite est monotone.

Chapitre 03 - Les suites 3/6

2. Suite majorée, minorée, bornée

• Une suite ( )un est majorée s"il existe un réel M tel que ┐n, un M. On dit que M est un majorant de la suite ( )un.

• Une suite ( )un est minorée s"il existe un réel m tel que ┐n, mÂun. On dit que m est un minorant de la suite ( )un.

• Une suite ( )un est bornée lorsqu"elle est minorée et majorée.

Remarque : Dire qu"une suite est non majorée signifie que pour tout réel M, on peut trouver un terme up de la suite tel que up>M.

Méthode pour montrer qu"une suite est minorée, majorée ou bornée :

• Lorsque ┐n, un-MÂ0 (resp. un-mÃ0) alors ( )un est majorée par M (resp. minorée par m).

• Lorsque ┐n, un=f(n) et que f possède un maximum (resp. minimum), on montre que ( )un est majorée (resp. minorée).

• On utilise aussi parfois des raisonnements par récurrence.

IV. Limites de suites

1. Définitions

• Etudier la limite d"une suite ( )un, c"est examiner le comportement des termes un lorsque n tend vers +õ.

• On dit qu"une suite ( )un a pour limite L lorsque tout intervalle ouvert de centre L contient tous les termes de la suite à partir

d"un certain rang.

• On dit qu"une suite ( )un a pour limite +õ (resp. -õ) lorsque tout intervalle ouvert de la forme ]M;+õ[ (resp. ]-õ;M[

contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang.. • Une suite converge lorsqu"elle admet une limite finie.

• Une suite divergente est une suite non convergente (soit elle n"admet pas de limite, soit elle admet +õ ou -õ pour limite).

2. Théorèmes sur les limites

• Théorème d"unicité de la limite (admis) : Lorsqu"une suite converge, sa limite est unique.

• Règles opératoires sur les limites : Les règles opératoires sur les fonctions s"étendent aux cas des suites.

• Soit ( )un une suite définie par un=f(n) (avec f une fonction définie sur Ë+)

Lorsque lim x↔+õf(x)=+õ alors lim n↔+õun=+õ Lorsque lim x↔+õf(x)=-õ alors lim n↔+õun=-õ

Lorsque lim x↔+õf(x)=L (L☻Ë) alors lim n↔+õun=L Lorsque f n"a pas de limite en +õ, alors ( )un diverge.

• Théorème des gendarmes (admis):

Soient ( )un, ( )vn et ( )wn trois suites telles qu"à partir d"un certain rang unÂvnÂwn. Si ( )un et ( )wn convergent vers un même

réel L alors la suite ( )un converge également vers L. • Extension du théorème des gendarmes (admis) :

Soient ( )un et ( )vn deux suites :

Si, à partir d"un certain rang, unÂvn et si ( )un diverge vers +õ alors ( )vn diverge également vers +õ.

Si, à partir d"un certain rang unÃvn et si ( )un diverge vers -õ alors ( )vn diverge également vers -õ.

• Théorème : Soit une fonction f définie sur un intervalle I et soit une suite ( )un telle que pour tout entier n, un☻I.

Lorsque ( )un converge vers un réel L (càd lim n↔+õun=L) et si f est continue en L alors lim n↔+õf( )un= lim X↔Lf(X)=f(L)

• Application aux suites de la forme un+1=f( )un Soit une fonction f définie sur un intervalle I et soit ( )un une suite définie par ??? u0 ┐n,un+1=f( )un telle que ┐n, un☻I.

Lorsque ( )un converge vers un réel L et lorsque f est continue en L alors f(L)=L (càd que L est solution de l"équation f(x)=x).

• Théorème admis : Toute suite croissante et majorée converge et toute suite décroissante et minorée converge.

• Théorème (démonstration au programme, voir annexe) :

Toute suite croissante et non majorée diverge vers +õ et toute suite décroissante et non minorée diverge vers -õ.

Chapitre 03 - Les suites 4/6

3. Suites adjacentes

• Définition : Soit deux suites ( )un et ( )vn. On dit que les suites ( )un et ( )vn sont adjacentes lorsque une des deux suites est

croissante, l"autre est décroissante et lim n↔+õun-vn=0.

• Théorème (admis) : Lorsque la suite ( )un est croissante, que la suite ( )vn est décroissante et que les suites ( )un et ( )vn sont

adjacentes, alors ┐n, unÂvn.

Théorème : Lorsque deux suites sont adjacentes alors elles convergent et elles ont la même limite.

Théorème admis : Lorsque ( )un et ( )vn sont deux suites adjacentes (avec ( )un croissante et ( )vn décroissante) alors leur

limite commune L est l"unique réel tel que ┐n, unÂLÂvn.

V. Exercices

Exercice 1

On considère la suite ( )un définie par ???

u0=3 ┐n,u n+1= 1

5 ( )un+22-3.

Sur le graphique ci-contre, on a représenté la courbe d"équation y= 1

5 (x+2)2-3 et la droite d"équation y=x. Sans faire de calculs,

représenter sur l"axe des abscisses, les premiers termes de la suite ( )un. Exercice 2 (D"après Bac Centres étrangers, Juin 2004) Soit ( )pnnÃ1 la suite définie par : p1=0 et ┐nÃ1, pn+1= 1 5 - 3

20 pn et soit ( )vnnÃ1 la suite définie: ┐ nÃ1 par vn=pn- 4

23 .

1. Montrer que la suite

( )vn est une suite géométrique dont on précisera la raison.

2. En déduire l"expression de v

n puis de pn en fonction de n.

3. Justifier que la suite

( )pn converge et déterminer sa limite.

Exercice 3 (Le raisonnement par récurrence)

1. Montrer par récurrence que pour tout entier nÃ1, 2nÃn.

2. Soit

( )un la suite définie par u0=3 ┐n,u n+1= 4un-2 u n+1

2 3 4-1-2-3-4-5

234
-1 -2 -3 0 1 1 xy

Chapitre 03 - Les suites 5/6

Montrer par récurrence que pour toute entier n, un>1. Que peut-on en déduire pour la suite ( )un ?

3. Soit

( )un la suite définie par ??? u0=5 ┐n,u n+1=- 1

2 un+3. Montrer par récurrence que ( )un est bornée par 0,5 et 5.

4. Soit

( )un une suite telle que ┐nÃ3, un+1Â 1 2 un. Montrer par récurrence que ┐nÃ3, unÃ(()) 1

2 n-3u3.

5. Soient

( )un et ( )vn deux suites défines par leurs premiers termes u0 et v0 et ┐n, vn+1-un+1Â 3 4 ( )vn-un.

Montrer par récurrence que ┐n, v

n-unÂ(()) 3

4 n( )v0-u0.

Exercice 4

Soit ( )un la suite définie par ???

u0=300 ┐n,u n+1=0,6un+50. Donner le sens de variation de f:x→0,6x+50 et démontrer par récurrence que ( )un est décroissante.

Exercice 5

Soit ( )un la suite définie par u0=0 et pour toute entier nÃ0, un+1= 2un+1 u n+2

1. Représentation graphique et conjectures

Soit f la fonction définie sur I=[0;1] par f(x)= 2x+1 x+2 a. Etudier les variations de f sur I. b. Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal d"unité graphique 10 cm. c. En utilisant le graphique précédent et sans calculs, placer les points A

0, A1, A2 et A3 d"ordonnées nulles et d"abscisses

respectives u

0, u1, u2 et u3. Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de ( )un ?

2. Première Méthode

a. Démontrer que : ┐x☻I, f(x)☻I puis que ┐n, u n☻I. b. Montrer par récurrence que ( )un est croissante. c. Justifier alors que la suite ( )un converge et déterminer sa limite.

3. Deuxième Méthode

Soit ( )vn la suite définie pour tout entier n par vn= un-1 u n+1 a. Montrer que ( )vn est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. b. Exprimer v n puis un en fonction de n. c. Déterminer la limite de ( )un.

Chapitre 03 - Les suites 6/6

Exercice 6 (Inspiré de Bac Afrique - Juin 2003) Soit ( )unnÃ5 une suite de nombres réels strictement positifs tels que : ┐nÃ5, un+1< 3 4 u5.

On pose, pour tout entier naturel nÃ5, S

n=u5+u6+...+un et on se propose de montrer que la suite ( )SnnÃ5 est convergente.

1. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier nÃ5, u

nÂ(()) 3

4 n-5u5.

b. Montrer que, pour tout entier naturel nÃ5, S nÂ(())1+ 3

4 +(())

3

4 2+...+(())

3

4 n-5u5.

c. En déduire que, pour tout entier nÃ5, S nÂ4u5.

2. Montrer que la suite

( )SnnÃ5 est croissante et en déduire qu'elle converge.

Exercice 7

Soient les suites ( )un et ( )vn définies par ??? u0=2 et v0=3 ┐n, u n+1= 3un+2vn

5 et vn+1= 2un+3vn

5 .

1. Montrer que la suite

( )wn définie pour tout entier n par wn=vn-un est géométrique et strictement positive.

2. Montrer que les suites

( )un et ( )vn sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?

3. Montrer que la suite

( )tn définie pour tout entier n par tn=un+vn est constante.

4. Déterminer alors la limite des suites

( )un et ( )vn. Exercice 8 (D"après Bac France Métropolitaine - Juin 2005)

Soit la suite ( )un définie sur É dont aucun terme n"est nul et soit la suite ( )vn définie sur É par vn=- 2

u n

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d"une

proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. 1- Si ( )un est convergente alors ( )vn est convergente. 2- Si ( )un est minorée par 2 alors ( )vn est minorée par -1. 3- Si ( )un est décroissante alors ( )vn est croissante. 4- Si ( )un est divergente alors ( )vn converge vers 0.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19