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Année 2007-20081èreSSVT
Chap 8 :????Produit scalaire
I. Définitions
Rappels :Si-→u=--→ABalors??-→u??=AB.Si?-→i;-→j?
est une base orthonormale et si-→u(x,y) alors :??-→u??=?x2+y2.On note?--→AB;--→AC?
l"angle orienté délimité par les vecteurs--→ABet--→AC.Définition 1 :On appelleproduit scalairedes vecteurs-→uet-→vet on note-→u.-→vle nombre réel
défini par : u.-→v=1 2? Définition 2 :-→u.-→uest lecarré scalairede-→u. On le note-→u2. Remarque :Si-→u=-→0 ou-→v=-→0 , alors-→u.-→v=0 . On peut noter l"analogie avec la formule :ab=12?(a+b)2-a2-b2?.
En tant que tel cette définition sert peu en 1°S. Remarque :Un produit scalaire de deux vecteurs est unnombre, pas un vecteur.Théorème 1 :Si?-→i;-→j?
estunebaseorthonormaleetsionadanscettebase-→u(x,y) et-→v(x?,y?) alors: u.-→v=xx?+y y? -→démonstrationPage 1/5
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II. Propriétés
Proposition 1 :(Linéarité)
Soient-→u,-→vet-→wtrois vecteurs du plan etλ?R. Alors :-→u.-→v=-→v.-→u,
-→démonstration laissée en exercice Remarque :On a notamment--→BA.--→CD=---→AB.--→CD.Définition 3 :Deux vecteurs-→uet-→vsontorthogonauxsi et seulement si leur produit scalaire est
Remarque :Si-→u=-→0 ou-→v=-→0 :-→u.-→v=0 et donc-→u?-→v.Si--→AB?=-→0 et--→BC?=-→0 on a :--→AB?--→BC??-→AB·-→BC=0?????--→AB+--→BC???2=???--→AB???2+???--→BC???2??AC2=AB2+BC2.
Donc d"après la réciproque du théorème de Pythagore : (AB)?(BC) . D"où la notation d"orthogonalité. -→v u-→ u+-→vIII. Autres expressions du produit scalaire
Théorème 2 :Si-→u?=-→0 et-→v?=-→0 : -→u-→ vθ -→démonstration Proposition 2 :Pour tous pointsAetB, on a :AB2=--→AB2. -→démonstrationPage 2/5
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Remarque :Siαest la mesure en radian de l"angle géométrique?BACon a :α=????--→AB;--→AC?
Or, cos(α)=???cos??--→AB;--→AC??
si?--→AB;--→AC? ?0 cos? -?--→AB;--→AC?? si?--→AB;--→AC? ?0=cos?--→AB;--→AC?Donc cos
?--→AB;--→AC? =cos?BACet on a donc :AB×--→AC=???--→AB???
×???--→AC???
×cos?--→AB;--→AC?
=???--→AB???×???--→AC???
×cos?BAC.
Théorème 3 :SiHest la projection orthogonaledeCsur (AB) ,--→AB.--→AC=--→AB.--→AHet ainsi
AB.--→AC=???AB.AHsi--→ABet--→AHont même sens -AB.AHsi--→ABet--→AHont sens contraire.A H BC
-→démonstrationIV. Applications du produit scalaire
1) Coordonnées d"un vecteur dansune baseorthonormale
Proposition 3 :Dans une base orthonormale?-→i;-→j? , le vecteur-→ua pour coordonnées :?-→u·-→i;-→u·-→j? -→démonstration2) Vecteur normal à une droite
Définition 4 :On dit qu"un vecteur-→nestnormalà une droiteDsi-→n?=-→0 et si-→nest orthogonal
à la direction deD.
Proposition 4 :SoitDune droite passantAet de vecteur normal-→n. On a l"équivalence :M?D??-→n.--→AM=0.
-→démonstrationPage 3/5
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Proposition 5 :SoitDune droite d"équationux+vy+w=0 dans un repère orthonormal.Le vecteur-→n(u;v) est normal àD.
-→démonstration3) Cercle
Théorème 4 :Dans un repère orthonormal, le cercle de centreΩ?x0;y0?et de rayonRa pour équa-
tion : (x-x0)2+(y-y0)2=R2. -→démonstration Proposition 6 :Le cercle de diamètre [AB] est l"ensemble des pointsMtels que :MA·--→MB=0.
-→démonstration4) Relations dansle triangle
Théorème 5 :(Al-Kashi et Formule des sinus)
du triangleABC: a2=b2+c2-2bc.cos?A
b2=c2+a2-2ac.cos?B
c2=a2+b2-2ab.cos?C
et a sin(?A)=bsin(?B)=csin(?C)=abc2S. AB C c ba ?A?B ?C -→démonstration (Il faut faire attentionaux angles aigus et obtus.) Remarque :On peut réécrire la formule des sinus comme suit : S=12bcsin(?A)=12acsin(?B)=12absin(?C).
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Théorème 6 :théorème de la médiane
SoientAetBdeux points etIle milieu de [AB] .
Pour tout pointMdu plan on a :
MA2+MB2=2MI2+1
2AB2.AB
M I -→démonstration5) Lignes deniveau
Définition 5 :Laligne de niveauλde l"applicationfest l"ensemble des pointsMdu plan tels que f(M)=λ. Quelques indications pour déterminer certaines lignes de niveau :Pour l"applicationf(M)=--→AM.-→u:
on pose-→u=--→ABet on construitHle projeté deMsur (AB). On a alorsf(M)= ±AH.ABd"où la
position unique deHpuis par construction deM:Mest sur la perpendiculaire à (AB) é passant par le point uniqueH.