[PDF] Produit scalaire



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Année 2007-20081èreSSVT

Chap 8 :????Produit scalaire

I. Définitions

Rappels :•Si-→u=--→ABalors??-→u??=AB.

•Si?-→i;-→j?

est une base orthonormale et si-→u(x,y) alors :??-→u??=?x2+y2.

•On note?--→AB;--→AC?

l"angle orienté délimité par les vecteurs--→ABet--→AC.

Définition 1 :On appelleproduit scalairedes vecteurs-→uet-→vet on note-→u.-→vle nombre réel

défini par : u.-→v=1 2? Définition 2 :-→u.-→uest lecarré scalairede-→u. On le note-→u2. Remarque :•Si-→u=-→0 ou-→v=-→0 , alors-→u.-→v=0 . •On peut noter l"analogie avec la formule :ab=1

2?(a+b)2-a2-b2?.

•En tant que tel cette définition sert peu en 1°S. Remarque :Un produit scalaire de deux vecteurs est unnombre, pas un vecteur.

Théorème 1 :Si?-→i;-→j?

estunebaseorthonormaleetsionadanscettebase-→u(x,y) et-→v(x?,y?) alors: u.-→v=xx?+y y? -→démonstration

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II. Propriétés

Proposition 1 :(Linéarité)

Soient-→u,-→vet-→wtrois vecteurs du plan etλ?R. Alors :

•-→u.-→v=-→v.-→u,

-→démonstration laissée en exercice Remarque :On a notamment--→BA.--→CD=---→AB.--→CD.

Définition 3 :Deux vecteurs-→uet-→vsontorthogonauxsi et seulement si leur produit scalaire est

Remarque :•Si-→u=-→0 ou-→v=-→0 :-→u.-→v=0 et donc-→u?-→v.

•Si--→AB?=-→0 et--→BC?=-→0 on a :--→AB?--→BC??-→AB·-→BC=0?????--→AB+--→BC???2=???--→AB???2+???--→BC???2??AC2=AB2+BC2.

Donc d"après la réciproque du théorème de Pythagore : (AB)?(BC) . D"où la notation d"orthogonalité. -→v u-→ u+-→v

III. Autres expressions du produit scalaire

Théorème 2 :Si-→u?=-→0 et-→v?=-→0 : -→u-→ vθ -→démonstration Proposition 2 :Pour tous pointsAetB, on a :AB2=--→AB2. -→démonstration

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Remarque :Siαest la mesure en radian de l"angle géométrique?BACon a :α=????--→AB;--→AC?

Or, cos(α)=???cos??--→AB;--→AC??

si?--→AB;--→AC? ?0 cos? -?--→AB;--→AC?? si?--→AB;--→AC? ?0=cos?--→AB;--→AC?

Donc cos

?--→AB;--→AC? =cos?BACet on a donc :

AB×--→AC=???--→AB???

×???--→AC???

×cos?--→AB;--→AC?

=???--→AB???

×???--→AC???

×cos?BAC.

Théorème 3 :SiHest la projection orthogonaledeCsur (AB) ,--→AB.--→AC=--→AB.--→AHet ainsi

AB.--→AC=???AB.AHsi--→ABet--→AHont même sens -AB.AHsi--→ABet--→AHont sens contraire.

A H BC

-→démonstration

IV. Applications du produit scalaire

1) Coordonnées d"un vecteur dansune baseorthonormale

Proposition 3 :Dans une base orthonormale?-→i;-→j? , le vecteur-→ua pour coordonnées :?-→u·-→i;-→u·-→j? -→démonstration

2) Vecteur normal à une droite

Définition 4 :On dit qu"un vecteur-→nestnormalà une droiteDsi-→n?=-→0 et si-→nest orthogonal

à la direction deD.

Proposition 4 :SoitDune droite passantAet de vecteur normal-→n. On a l"équivalence :

M?D??-→n.--→AM=0.

-→démonstration

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Proposition 5 :SoitDune droite d"équationux+vy+w=0 dans un repère orthonormal.

Le vecteur-→n(u;v) est normal àD.

-→démonstration

3) Cercle

Théorème 4 :Dans un repère orthonormal, le cercle de centreΩ?x0;y0?et de rayonRa pour équa-

tion : (x-x0)2+(y-y0)2=R2. -→démonstration Proposition 6 :Le cercle de diamètre [AB] est l"ensemble des pointsMtels que :

MA·--→MB=0.

-→démonstration

4) Relations dansle triangle

Théorème 5 :(Al-Kashi et Formule des sinus)

du triangleABC: a

2=b2+c2-2bc.cos?A

b

2=c2+a2-2ac.cos?B

c

2=a2+b2-2ab.cos?C

et a sin(?A)=bsin(?B)=csin(?C)=abc2S. AB C c ba ?A?B ?C -→démonstration (Il faut faire attentionaux angles aigus et obtus.) Remarque :On peut réécrire la formule des sinus comme suit : S=1

2bcsin(?A)=12acsin(?B)=12absin(?C).

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Théorème 6 :théorème de la médiane

SoientAetBdeux points etIle milieu de [AB] .

Pour tout pointMdu plan on a :

MA

2+MB2=2MI2+1

2AB2.AB

M I -→démonstration

5) Lignes deniveau

Définition 5 :Laligne de niveauλde l"applicationfest l"ensemble des pointsMdu plan tels que f(M)=λ. Quelques indications pour déterminer certaines lignes de niveau :

•Pour l"applicationf(M)=--→AM.-→u:

on pose-→u=--→ABet on construitHle projeté deMsur (AB). On a alorsf(M)= ±AH.ABd"où la

position unique deHpuis par construction deM:Mest sur la perpendiculaire à (AB) é passant par le point uniqueH.

•Pour l"applicationf(M)=MA2+MB2:

on noteIle milieu de [AB] et alors on af(M)=2MI2+1 2AB2.

Siλ<1

2AB2il n"y a pas de solution sinon l"ensemble des pointsMest un cercle de centreI(et de

rayon calculable).

•Pour l"applicationf(M)=MA2-MB2:

on noteIle milieu de [AB] et alors on af(M)=2--→MI·--→BA. On se retrouve alors dans un cas du typef(M)=--→AM.-→u.

•Pour l"applicationf(M)=--→MA.--→MB:

on noteIle milieu de [AB] et alors on af(M)=MI2-1 4AB2.

Siλ<-1

4AB2il n"y a pas de solutionsinon l"ensemble des pointsMest un cercle de centreI(et de

rayon calculable).

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