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Universite Denis Diderot - Paris 7 Annee 2013-2014
L2 CPEI - Mathematiques Chapitre 1
Auteur : Mostafa SabriSuites numeriques
1.Limites de suites complexes
Denition 1.Unesuite complexeest une applicationu:N!C. On noteun:=u(n).
L'application elle-m^eme est notee (un)n2N.
Plus generalement, on appelle suite complexe toute applicationu:Nk0!C, ouNk0:= fn2N:nk0getk0est un entier quelconque. On note alors cette application (un)nk0.
Denition 2.On dit qu'une suite (un)nk0estborneesi
9M2R:nk0=) junj M :
Denition 3.On dit que`2Cestlimited'une suite complexe (un)nk0si
8" >09n02N:nn0=) jun`j ":
Les suites possedant une limite`2Csont ditesconvergenteset les autresdivergentes. Proposition 4(Unicite de la limite).Toute suite complexe possede au plus une limite. Demonstration.Supposons qu'une suite complexe (un)nk0possede deux limites`6=`0et choisissons":=j``0j=3>0. Il existe un rangn1tel quejun`j "8nn1et un rang n
2tel quejun`0j "8nn2. Soitn3= max(n1;n2). Alors
j``0j=j(`un3) + (un3`0)j j`un3j+jun3`0j 2"=23 j``0j:
Cette contradiction montre qu'on a forcement`=`0.
Puisqu'une suite (un)nk0ne peut avoir qu'une seule limite, on peut sans ambigute noter celle-ci limn!+1un, ou plus simplement limun. Si (un)nk0a une limite`, on dit que (un)nk0tend vers`, et on noteun!`. Remarque.Siuetvsont deux suites egales a partir d'un certain rang, i.e. s'il existen0tel queun=vnpour toutnn0, et si limu=`2C, alors limv=`. Autrement dit, si une suite converge, et si on change un nombre ni de ses termes, cela ne change pas sa limite.
Proposition 5.Toute suite convergente est bornee.
Demonstration.Supposons qu'une suite complexe (un)nk0converge vers`2C. Il existe donc un rangn0tel quejun`j 18nn0. Doncjunj jun`j+j`j= 1+j`j 8nn0. Doncjunj M8nk0, ouM:= maxfjuk0j;juk0+1j;:::;jun01j;1 +j`jg. Ainsi, (un) est bornee. Proposition 6.Silimn!+1un=`2Cetlimn!+1vn=`02C, alors pour toutc2C, (i) lim n!+1cun=c`;(ii) limn!+1(un+vn) =`+`0; (iii) lim n!+1unvn=``0: Demonstration.(i) Soit" >0 et posons"0:="=jcjsic6= 0, et"0= 1 sic= 0. Par hypothese, il existe un rangn0tel quejun`j "08nn0. Ainsi, nn0=) jcunc`j=jcj jun`j jcj "0": 1 2 (ii) Soit" >0 et posons"0:="=2. Par hypothese, il existen1etn22Ntels que jun`j "08nn1etjvn`0j "08nn2. Posonsn3= max(n1;n2). Alors nn3=) j(un+vn)(`+`0)j=j(un`) + (vn`0)j jun`j+jvn`0j 2"0=": (iii) Soit" >0. Puisque (un) converge, elle est bornee et on peut trouverM >0 tel que junj Mpour toutn. On peut alors trouvern1;n22Ntels quejun`j "0pour toutnn1etjvn`0j "2Mpour toutnn2, ou"0="2j`0jsi`06= 0 et"0= 1 si
0= 0. Posonsn3= max(n1;n2). Alors pournn3on a
junvn``0j=junvn+un`0un`0``0j =jun(vn`0) + (un`)`0j junjjvn`0j+jun`jj`0j M"2M+"0j`0j ": Remarque.Les enonces (i) et (ii) expriment en particulier que l'ensembleEk0des suites convergentes (un)nk0, muni de l'addition terme a terme et de la multiplication par un complexe est unC-espace vectoriel, puis que l'application lim :Ek0!Cest lineaire. Proposition 7.Si(un)nk0est une suite convergeant vers une limite`6= 0, alors a partir d'un certain rangk1, tous lesunsont sont nuls, et la suite(1=un)nk1converge vers1=`.
Demonstration.Soit" >0. On aj1u
n1` j=jun``u nj. On commence par minorer le deno- minateur. On ajunj j`j jun`j. En choisissant"0=j`j=2, on sait quejun`j "0 a partir d'un certain rangk1. Ainsi,junj j`j "0="0pour toutnk1. D'autre part, en posant"00=j`j"0", on peut trouverk2tel quejun`j "00pour toutnk2. Posons k
3= max(k1;k2). Alors pournk3on a1u
n1` =un``u n
1j`j"0jun`j 1j`j"0"00=":
Proposition 8.Le produit d'une suite bornee par une suite tendant vers0est une suite tendant vers0. Demonstration.Supposons queuest bornee et quevtend vers 0. Soit" >0. Commeu est bornee, on peut trouverM >0 tel quejunj Mpour toutn. D'autre part, en posant
0="=Mon peut trouvern0tel quejvnj=jvn0j "0. Ainsi,junvnj M"0="pour
toutnn0. Soitz02CetDr(z0) :=fz2C:jzz0j< rgun disque de rayonr >0 centre enz0. Rappelons qu'une fonctionf:Dr(z0)!Cest ditecontinueenz02Clorsque pour tout " >0 il existe un >0 tel que jf(z)f(z0)j " pour tousz2Dr(z0) veriantjzz0j< . Proposition 9.Une fonctionf:Dr(z0)!Cest continue enz0si et seulement si pour toute suite(un)convergeant versz0on af(un)!f(z0). Notons que siun!z0, alorsun2Dr(z0) a partir d'un certain rangk1, et donc (f(un))nk1est bien denie. Demonstration.Soit" >0 et supposonsfcontinue. On peut alors trouver >0 tel que jf(z)f(z0)j "pour toutz2Dr(z0) veriantjzz0j< . Mais siun!z0, il existe un rangn0a partir duquelun2Dr(z0) etjunz0j< . Ainsi,jf(un)f(z0)j "pour toutnn0et doncf(un)!f(z0). Supposons maintenant quef(un)!f(z0) pour toutun!z0. Sifn'est pas continue enz0, il existe" >0 tel que pour tout >0, l'implication (z2Dr(z0) etjzz0j< ) =) jf(z)f(z0)j " 3 soit fausse, i.e. on peut trouver unzqui ne la verie pas. En particulier, pour toutn2N, on peut trouverun2Dr(z0) tel quejunz0j<1=nmaisjf(un)f(z0)j> ". Ceci contredit l'hypothese, doncfest continue enz0. Exemple.Siun!`2C, alorsjunj ! j`j, carx7! jxjest une fonction continue.
2.Limites de suites reelles
Une suite reelle (i.e. dont tous les termes sont reels) est evidemment une suite complexe, donc les resultats precedents s'y appliquent. On s'interesse ici a des notions qui mettent en jeu l'ordre naturel des reels. Notons d'abord le fait suivant. Proposition 10.(i)Si une suite reelle(un)nk0a une limite`, alors`2R. (ii)Une suite complexe(un)nk0converge ssi les suites reelles(Reun)nk0et(Imun)nk0convergent. Demonstration.(i) Posons`=a+ibaveca;b2R. Pour tout" >0, il existe un rang n
0a partir duqueljun`j ", doncjbj p(un0a)2+b2=jun0`j ". Ainsi,
on ajbj "pour tout" >0, d'oub= 0.
(ii) Si (Reun)nk0et (Imun)nk0convergent, la suite (un)nk0= (Reun+iImun)nk0converge par la Proposition 6.
Inversement, si (un)nk0converge vers`2C, on note`=a+ib,a;b2R. Alors jReunaj p(Reuna)2+ (Imunb)2=jun`j et la convergence de (un) vers`implique celle de (Reun) versa. De m^eme, la suite (Imun) converge versb. Proposition 11(Passage a la limite dans les inegalites).Soientuetvdeux suites reelles convergentes. S'il existek12Ntel que8nk1,unvn, alorslimulimv. Demonstration.Supposonsun!`1etvn!`2. Par hypothese, a partir d'un certain rang on aunvn=junvnj. Ainsi,
1`2= lim(unvn) = limjunvnj=j`1`2j 0:
En prenant la suite constantev0, il s'ensuit que siun0 a partir d'un certain rang, alors limu0. Proposition 12.Soit(un)nk0une suite complexe et`2C. S'il existe une suite reelle (vn)nk0convergeant vers0telle que8nk0,jun`j vn, alorsun!`. Demonstration.Soit" >0. Commevn!0, il existen0tel quejvnj "pour toutnn0, et doncjun`j vn"8nn0. Exemple.Soitfune fonction majoree denie sur une partieXdeR. SiM= supXf, on peut trouver une suite (xn)n2Nd'elements deXtelle que limn!+1f(xn) =M. En eet, par denition de la borne superieure, pour toutn2N, on peut trouverxn2X tel queM1n f(xn). Orf(xn)M. Ainsi,1n f(xn)M0, doncjf(xn)Mj 1n etf(xn)!Mpar la Proposition 12. Corollaire 13(Theoreme des gendarmes).Soient(un)nk0,(vn)nk1et(wn)nk2des suites reelles. S'il existek2Ntel que8nkon aitunvnwn, et silimn!+1un= lim n!+1wn=`2R, alors(vn)converge etlimn!+1vn=`. Demonstration.Par hypothese, il existektel que8nk, 0vnunwnun. Comme lim n!+1(wnun) = 0, la suite (vnun)nktend vers 0 par la Proposition 12. Comme v n=un+ (vnun), on a limvn=`+ 0 =`.
Denition 14.On dit qu'une suite reelle (un)nk0
4 { tend vers +1si
8M2R9n02N:nn0=)unM;
{ tend vers1si (un)nk0tend vers +1, i.e. si
8M2R9n02N:nn0=)unM :
Notons que siuetvsont deux suites reelles et s'il existek2Ntel que8nk,unvn, alorsu!+1impliquev!+1, etv! 1impliqueu! 1. Ceci est evident en revenant aux denitions et peut ^etre vu comme une annexe au theoreme des gendarmes. Proposition 15.Soit(un)nk0une suite reelle. Alorsun!+1ssi a partir d'un certain rangk1tous lesunsont strictement positifs et la suite(1=un)nk1tend vers0. Demonstration.Supposonsun!+1. Alors pourM= 1, on peut trouverk1tel que
8nk1,un1. Soit alors" >0. On peut trouverk2tel8nk2,un1=". Soit
k
3= max(k1;k2). Alors pournk3, on a 01u
n"et donc1u n!0.
Inversement, soitM >0. Si1u
n!0, on peut trouvern0k1tel que8nn0, 0<1u n1M , puisqueun>0. Ainsi,unMetun! 1.
Denition 16.On dit qu'une suite reelle (un)nk0est
{majoreesi9M2R:8nk0;unM, {minoreesi9m2R:8nk0;unm, {croissantesi8nk0,un+1un0, {decroissantesi8nk0,un+1un0, {monotonesi elle est croissante ou decroissante, On dit qu'elle eststrictement croissante,strictement decroissanteoustrictement monotone si l'inegalite correspondante est stricte.
Theoreme 17.Soituune suite reelle croissante.
1. Si elle est majoree, elle converge vers`= supfun:n2Ng.
2. Si elle n'est pas majoree, elle tend vers+1.
Demonstration.1. Supposonsumajoree, l'ensemblefun:n2Ngpossede donc une borne superieure`. Soit" >0. Par denition de la borne superieure, on peut trouvern02N tel que`" < un0. Commeuest croissante et majoree par`, on a donc
8nn0:`" < un0un`
et doncun!`.
2. Supposonsunon majoree et soitM >0. Alors on peut trouvern0tel queun0> M.
Commeuest croissante, on a doncunun0> Mpour toutnn0. Ainsi,un!+1. On en deduit qu'une suite (un) decroissante et minoree converge (prendrevn=un). Denition 18.Soient (un)n2Net (vn)n2Ndeux suites reelles. On dit queuetvsont adjacentessi {8n2N,unvn, {uest croissante etvest decroissante, { (vnun)n2Ntend vers 0. Proposition 19.Deux suites adjacentesuetvconvergent vers une limite commune` veriant8n2N,un`vn. Demonstration.Commeuest croissante et majoree (en eet,unvnv08n), elle converge etunlimupar le Theoreme 17. De m^eme,vest croissante et majoree par u0, donc converge etvn limv, i.e. limvvn. Enn, l'egalitev=u+ (vu) avec lim(vu) = 0 prouve que limu= limv. 5 Corollaire 20(Theoreme des segments emboites).Si[an;bn] n2Nest une suite decrois- sante de segments non vides dont les longueurs tendent vers0, alors l'ensemble\n2N[an;bn] est reduit a un point.
Par la decroissance de[an;bn]
n2N, on veut dire que8n2N, [an+1;bn+1][an;bn]. Demonstration.Par hypothese, les suites (an)n2Net (bn)n2Nsont adjacentes, donc pos- sedent une limite commune`veriantan`bnpour toutn. Le point`appartient donc a chaque intervalle [an;bn], donc a leur intersection, qui est par consequent non vide. D'autre part, six2 \n2N[an;bn], alorsanxbnpour toutn, et donc`= liman xlimbn=`par passage a la limite (Proposition 11). Ainsix=`et\n2N[an;bn] =`.
3.Quelques limites standard
Theoreme 21.(a)Si >0, alorslimn!+11n
= 0. (b)Sia2Cetjaj<1, alorslimn!+1an= 0. (c)Sip >0, alorslimn!+1npp= 1. (d) lim npn= 1. (e)Sia >1et2R, alorslimn!+1na n= 0. (f)Sia >1, alorslimn!+1an= +1. (g)Pour tous; >0, on alimn!+1(lnn)n = 0. Demonstration.(a)Etant donne" >0, par la propriete d'Archimede on peut trouver n
02Ntel quen0"1=1 et donc pournn0, 0un1n
0". (b) Sia= 0, c'est evident, sinon1jaj>1, donc etant donne" >0, par la propriete d'Archimede on peut trouvern0tel que (1jaj)n01" , et donc8nn0,janj ". (c) Ceci est evident sip= 1. Sip >1, posonsxn=npp1, alorsxn>0 et par la formule du bin^ome, 1 +nxn(1 +xn)n=p. Ainsi, 0< xnp1n etxn!0. Enn, si 0< p <1, on obtient le resultat en considerantq=1p (d) Posonsxn=npn1, alorsxn0 etn= (1+xn)nn(n1)2 x2n. Ainsi, 0xnq2 n1 pourn2. (e) Posonsa= 1 +h,h >0. Soitkun entier tel quek > etk >0. Alors pourn >2k, on an=n2 +n2 >n2 +k, et donc par la formule du bin^ome, a n= (1 +h)n>n k h k=n(n1):::(nk+ 1)k!hk>nkhk2 kk!:
Ainsi, 0 n<2kk!h knkpour toutn >2k. Commek <0,nk!0. (f) Cela suit de (e) en prenant= 0. (g) Montrons d'abord que (lnn)Cn=2pour un certainC >0. Soitf(x) = 1x lnx, >0. Alorsf0(x) =x 11x =x 1x 0 six1. En outre,f(1) =
1>0. Ainsi,f(x)>0 pour tousx1. En particulier, en prenant =2, on obtient l'inegalite enoncee pour tousn1. La valeur de la limite suit maintenant de (a). Proposition 22(Approximation decimale d'un reel).Pour tout reelx, la suiteun= b10nxc10 nconverge versx. Ici,bxcdesigne la partie entiere dex.
Demonstration.Par denition, on ab10nxc 10nx Ainsi, 0xun<110
net doncun!x. 6 Exemple.Pourx=p2, on au0= 1,u1= 1;4,u2= 1;41,u3= 1;414. En particulier, tout nombre reel est limite d'une suite de nombres rationnels. On dit que QestdensedansR.Evidemment, cette preuve courte cache le fait qu'on utilise l'existence de la fonctionbxc, qui se deduit du fait queRest archimedien. On peut aller plus loin et monter le resultat suivant. Proposition 23.Pour tout reelx, les suitesun=b10nxc10 netvn=b10nxc+110 nsont adjacentes et convergent versx On dit que les rationnelsunetvnsont des valeurs decimales approchees dexa 10n pres, respectivementpar defautetpar exces.
Demonstration.On aun+1un=b10n+1xc10
n+1b10nxc10 n=b10n+1xc10b10nxc10 n+1. Orb10n+1xc est le plus grand entiermtel quem10n+1x. Comme 10b10nxc 10n+1x, on a donc
10b10nxc b10n+1xcet donc (un)n2Nest croissante.
D'autre part,vn+1vn=b10n+1xc+110
n+1b10nxc+110 n=b10n+1xc+110(b10nxc+1)10 n+1. Orb10n+1xc+
1 est le plus petit entierrtel que 10n+1x < r. Comme 10n+1x <10(b10nxc+1), on a donc
b10n+1xc+ 110(b10nxc+ 1) et donc (vn)n2Nest decroissante. Enn,vnun= 10n!0. Les suitesuetvsont donc adjacentes. Si l'on designe` leur limite commune, l'inegaliteunxvnqui suit par denition deunetvnentraine x=`.
4.Sous-suites et le Theoreme de Bolzano-Weierstrass
Denition 24.Une suitev= (vn)n2Nest appeleesous-suiteousuite extraited'une suite u= (un)n2Ns'il existe une application':N!Nstrictement croissante telle que8n2N, v n=u'(n). Exemple.les suites (un+1)n2N, (u2n)n2Net (u2n+1)n2Nsont des sous-suites de (un)n2N. Notons que si':N!Nest strictement croissante, alors par recurrence on a8n2N, '(n)n: Proposition 25.Sivest une sous-suite deuet siun!`2C, alorsvn!`. Demonstration.Soit" >0. Commeun!`, on peut trouvern0tel que8nn0,jun`j ". Orvn=u'(n)pour une fonction':N!Nstrictement croissante. Ainsi,'(n)net nn0=)'(n)n0=) ju'(n)`j ": Exemple.1. La suite (1)nest divergente car la sous-suite (u2n)n2Nconverge vers 1 tandis que la sous-suite (u2n+1)n2Nconverge vers1.
2. La suiteun= cos(n=4) diverge car la sous-suiteu4n= (1)ndiverge.
Proposition 26.Siuest une suite telle que les deux sous-suites(u2n)n2Net(u2n+1)n2N convergent vers une m^eme limite`, alors la suiteuconverge vers`. Demonstration.Soit" >0. On peut trouvern1etn2tels que nn1=) ju2n`j "etnn2=) ju2n+1`j ": Posonsn0= max(2n1;2n2+ 1). Alors pournn0on ajun`j "et doncun!`. Proposition 27(cf. [3]).Toute suite reelle possede une sous-suite monotone. 7 Demonstration.Soit (un)n2Nune suite reelle. Disons que le termeun0estdominantsi u n0> unpour toutn > n0. Supposons d'abord que la suite (un)n2Na une innite de termes dominants, d'indices n
0< n1< :::. Alors la sous-suite (unj)j2Nest decroissante, puisqueunk> unk+1, ce qui
montre le resultat dans ce cas. Supposons a present que la suite (un)n2Na un nombre ni de termes dominants, soit u Nle dernier terme, et posonsm1=N+ 1. Alorsum1n'est pas dominant, donc il existe m
2> m1tel queum1um2. De m^eme,um2n'est pas dominant puisquem2> N, donc
il existem3> m2tel queum2um3. Par recurrence, on voit qu'il existe une sous-suite u m1um2um3:::de (un)n2N, ce qui acheve la demonstration. Corollaire 28(Theoreme de Bolzano-Weierstrass).1. Toute suite reelle bornee possede une sous-suite convergente.
2. Toute suite complexe bornee possede une sous-suite convergente.
Demonstration.1. Soituune suite reelle bornee. Par la Proposition 27, elle possede une sous-suitevmonotone, qui est evidemment bornee elle aussi. Ainsi, la sous-suitev converge par le Theoreme 17.
2. Soituune suite complexe bornee et posonsun=xn+iyn, avecxn;yn2R. Comme
jxnj px
2n+y2n=junj, la suite (xn)n2Nest reelle et bornee et possede donc une sous-
suite convergente (x'(n))n2N, de limitea2R. De m^eme,jy'(n)j ju'(n)j, donc la suite reelle (y'(n)) possede une sous-suite convergente (y'( (n)))n2Nde limiteb2R. Enn, (x'( (n)))n2Nest une sous-suite de (x'(n))n2N, doncx'( (n))!apar la Proposition 25. Ainsi,u'( (n))=x'( (n))+iy'( (n))converge versa+ib.
5.Critere de Cauchy
Denition 29.On dit qu'une suite complexe (un) estde Cauchysi
8" >09n0:p;qn0=) jupuqj ":
Theoreme 30.Une suite reelle ou complexe converge si et seulement si elle est de Cauchy.
On dit queRetCsontcomplets.
Demonstration.Supposons que (un)n2Nconverge vers`2Cet soit" >0. Prenonsn0tel que8nn0,jun`j "=2. Alors pourp;qn0on a jupuqj=j(up`)(uq`)j jup`j+juq`j "; donc (un) est de Cauchy. Inversement, supposons que (un)n2Nest de Cauchy. Montrons d'abord que (un) est bornee. En prenant"= 1, on peut trouver un rangn0tel que8p;qn0,jupuqj 1. En particulier, on ajunj 1 +jun0jpour toutnn0. Ainsijunj Mpour toutn, ou M= maxfju0j;:::;jun01j;1 +jun0jget (un) est bornee. Il s'ensuit par le Theoreme de Bolzano-Weierstrass que (un) possede une sous-suite (u'(n)) convergente, de limite`. On peut donc trouvern1tel que8nn1,ju'(n)`j "=2. Mais (un) est de Cauchy, donc on peut trouvern2tel que8p;qn2,jupuqj "=2. En notant que'(n)n, on a donc en particulier8nn2,junu'(n)j "=2. Ainsi, pour nn3:= max(n1;n2) on a nn3=) jun`j junu'(n)j+ju'(n)`j "; donc (un) converge. Remarque.Une suite de Cauchy peut ^etre denie de maniere equivalente comme etant une suite qui verie
8" >09n0:nn0; p0 =) junun+pj ":
8
6.Suites recurrentes
Dans la suite, (un)n2Nest une suite a valeur dansK, ouKdesigneRouC.
6.1.Suites arithmetico-geometriques.On dit que (un)n2Nest unesuite arithmetico-
geometriques'il existea;b2Ktels que la relation de recurrence suivante soit veriee :
8n2N:un+1=aun+b:
Notre but est de donner une forme explicite du terme general de cette suite. Sia= 1, il s'agit d'une suite arithmetique et on a donc
8n2N:un=u0+nb:
Supposons maintenanta6= 1 et montrons que
8n2N:un=an(u0r) +r;our=b1a:
En eet, si on posevn:=unr, on avn+1=aun+br=avn+ar+br=avn. La suite (vn) est donc geometrique de raisona. Ainsi,un=vn+r=anv0+r=an(u0r) +r. On en deduit que siu0=r, la suite est constante et converge donc versr. Sijaj<1, on a encoreun!r. Siu06=retjaj>1, alorsjunj jajnju0rj jrj !+1et doncun diverge (car siunconvergeait,junjconvergerait aussi). Le casjaj= 1 sera vu en exercice.
6.2.Suites recurrentes lineaires d'ordre 2.Unesuite recurrente lineaire d'ordrep
est une suite de la formeun+p=a0un+a1un+1+:::+ap1un+p1, ouaj2K. Pourp= 1, la relation se reduit aun+1=a0un, i.e. une suite geometrique et on a doncun=u0an0. On etudie ici le casp= 2; on suppose donc que
8n2N:un+2=aun+1+bun(?)
pour certainsa;b2K. Montrons d'abord queE:=f(un)n2N: (un)n2Nverie (?)gest un espace vectoriel de dimension 2. On pourra en deduire qu'il y a exactement deux suites lineairement independantes qui verient (?). Il est clair que l'ensembleSdes suites (un)n2Na valeurs dansK, muni de l'addition terme a terme et de la multiplication par un scalaire deKforme unK-espace vectoriel. Siu;v2E, on verie aisement queu+v2Epour tout;2K, doncEest un sous-espace deS. On remarque maintenant que la fonctionf:E!K2denie par f: (un)n2N7!(u0;u1) est un isomorphisme. En eet,fest clairement lineaire, elle est surjective : si (x;y)2K2, la suiteu0=x,u1=yetun+2=aun+1+bunpourn0 fournit un antecedant de (x;y). Enn, elle est injective : siu;v2Eet (u0;u1) = (v1;v2), alors u=vcarunest entierement determine paru0etu1. Il s'ensuit queEest unK-espace vectoriel de dimension 2.
Considerons maintenant le polyn^omeP=X2aXb
1) SiPa deux racines distinctesr1etr2, les suites (rn1)n2Net (rn2)n2Nverient (?) et ne
sont pas proportionnelles. Elles forment donc une base deE, et les solutions de (?) sont donc les suites (rn1+rn2)n2N, avec;2K.
2) SiPa une racine doubler, la suite (rn)n2Nverie (?). Montrons que la suitevn=nrn
verie (?) elle aussi. CommePa une racine doubler, le discriminant =a2+ 4best nul, et on ar=a2 . Ainsi, v n+2= (n+ 2)rnr2= (n+ 2)rn(ar+b) =a(n+ 1)rn+1+b(nrn) +arn+1+ 2brn =avn+1+bvn+ (a22 + 2b)rn=avn+1+bvn carr=a2 et = 0. Ainsi, les solutions de (?) sont les suites ((+n)rn)n2N, avec ;2K. 9 Ceci conclut notre etude siK=C, carPpossede toujours des racines dansC. Si K=R, il se peut quePn'ait pas de racines reelles. Dans ce cas, les racines dePsont de la former=eiavec >0 et6= 0 []. Comme les suites (rn+) et (rn) verient (?), leurs combinaisons lineaires (ncos(n))n2Net (nsin(n))n2Nverient (?) aussi et sont reelles. Comme elles ne sont pas proportionnelles, les solutions de (?) sont donc les suites (n(cos(n) +sin(n)))n2N, avec;2R.
6.3.Suites recurrentes generales d'ordre 1.On conclut ce chapitre par l'etude de
suites reelles (un)n2Nveriant une relation du type
8n2N:un+1=f(un);
ouf:I!Rest une fonction denie sur un intervalle fermeIRetu02I. On suppose quef(I)Ipour que la suite soit bien denie (en eet, si par exempleu1=f(u0)=2I, alorsu2=f(u1) n'a pas de sens). Rappelons qu'un intervalle ferme prend la forme
I= [a;b]; I= [a;+1[; I=] 1;b] ouI=R:
On travaille avec ces intervalles car ils ont la propriete que siun2I8net siun!`2R, alors`2I. Ceci est trivial siI=R. SiI= [a;+1[, alorsuna8nimplique limuna par la Proposition 11 et donc`2I. Les autres cas se traitent de la m^eme facon . Proposition 31.Soitf:I!Iune fonction continue sur un intervalleIferme. Si la suiteun+1=f(un),u02Iconverge, sa limite`appartient aIet verie`=f(`). Ainsi, la limite d'une telle suite est forcement unpoint xedef. Demonstration.Commeun2I8netIest ferme, la discussion precedente montre que `2I. D'autre part,un!`impliquef(un)!f(`) par la Proposition 9. Ainsi,un+1!f(`). Or (un+1)n2Nest une sous-suite de (un)n2N, doncun+1!`. L'unicite de la limite montre donc que`=f(`). Exemple.Siun+1=u2n+2, alorsundiverge, car l'equationx=f(x) n'a aucune solution. En eet,8x2R,x < x2+ 2. En prenantx=un, on voit que la suite est strictement croissante. Comme elle diverge, elle tend vers +1.quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
Suites réelles 1 Quelques rappels sur le corps des réels