Dérivée d'une fonction - Exo7 - Cours de mathématiques

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Dérivée d"une fonctionExo7

MotivationNous souhaitons calculerp1,01ou du moins en trouver une valeur approchée. Comme 1,01 est

proche de 1 et quep1AE1 on se doute bien quep1,01sera proche de 1. Peut-on être plus précis? Si l"on appellefla fonction définie parf(x)AEpx, alors la fonctionfest une fonction continue en x0AE1. La continuité nous affirme que pourxsuffisamment proche dex0,f(x) est proche def(x0). Cela revient à dire que pourxau voisinage dex0on approchef(x) par la constantef(x0).xy 1

01yAE1yAEpxyAE(x¡1)12

Å1Nous pouvons faire mieux qu"approcher notre fonction par une droite horizontale! Essayons avec une droite quelconque. Quelle droite se rapproche le plus du graphe defautour dex0? Elle doit

passer par le point (x0,f(x0)) et doit "coller» le plus possible au graphe : c"est la tangente au graphe

enx0. Une équation de la tangente est yAE(x¡x0)f0(x0)Åf(x0) oùf0(x0) désigne le nombre dérivé defenx0.

On sait que pourf(x)AEpx, on af0(x)AE12

px. Une équation de la tangente enx0AE1 est donc yAE(x¡1)12 Å1. Et donc pourxproche de 1 on af(x)¼(x¡1)12

Å1. Qu"est ce que cela donne

pour notre calcul dep1,01? On posexAE1,01 doncf(x)¼1Å12(x¡1)AE1Å0,012

AE1,005. Et c"est

effectivement une très bonne de approximation dep0,01AE1,00498.... En posanthAEx¡1 on peut reformuler notre approximation en :p1Åh¼1Å12 hqui est valable pourhproche de 0.

Dans ce chapitre nous allons donc définir ce qu"est la dérivée d"une fonction, et établir les formules

des dérivées des fonctions usuelles. Enfin, pour connaître l"erreur des approximations, il nous

faudra travailler beaucoup plus afin d"obtenir le théorème des accroissements finis.1 2 1.

Dérivée

1.1.

Dérivée en un point

SoitIun intervalle ouvert deRetf:I!Rune fonction. Soitx02I.Définition 1 festdérivable enx0si letaux d"accroissementf(x)¡f(x0)x¡x0a une limite finie lorsquextend versx0. La limite s"appelle alors lenombre dérivédefenx0et est notéf0(x0). Ainsi f

0(x0)AElimx!x0f(x)¡f(x0)x¡x0Définition 2

f estdérivable surIsifest dérivable en tout pointx02I. La fonctionx7!f0(x) est la fonction dérivéedef, elle se notef0oudfdx .Exemple 1 La fonction définie parf(x)AEx2est dérivable en tout pointx02R. En effet : On a même montré que le nombre dérivé defenx0est 2x0, autrement dit :f0(x)AE2x.Exemple 2 Montrons que la dérivée def(x)AEsinxestf0(x)AEcosx. Nous allons utiliser les deux assertions suivantes :sinxx

¡¡¡!x!01 et sinp¡sinqAE2sinp¡q2

¢cospÅq2

Remarquons déjà que la première assertion prouvef(x)¡f(0)x¡0AEsinxx !1 et doncfest dérivable enx0AE0 etf0(0)AE1.

Pourx0quelconque on écrit :

x¡x02

¢cosxÅx02

Lorsquex!x0alors d"une partcosxÅx02

!cosx0et d"autre part en posantuAEx¡x02alorsu!0 et on asinuu !1. Ainsif(x)¡f(x0)x¡x0!cosx0et doncf0(x)AEcosx.1.2.T angente

La droite qui passe parles points distincts (x0,f(x0)) et (x,f(x)) a pourcoefficient directeurf(x)¡f(x0)x¡x0.

À la limite on trouve que le coefficient directeur de la tangente estf0(x0). Une équation de la

tangenteau point (x0,f(x0)) est donc : yAE(x¡x0)f0(x0)Åf(x0) 3 M 0x 0xM 1.3.

Autres écritures de la dérivée

Voici deux autres formulations de la dérivabilité defenx0.Proposition 1 -fest dérivable enx0si et seulement si limh!0f(x0Åh)¡f(x0)h existe et est finie. -fest dérivable enx0si et seulement s"il existe`2R(qui seraf0(x0)) et une fonction ":I!Rtelle que"(x)¡¡¡¡!x!x00 avec

Il s"agit juste de reformuler la définition def0(x0). Par exemple, après division parx¡x0, la deuxième

écriture devientf(x)¡f(x0)x¡x0AE`Å"(x).Proposition 2 SoitIun intervalle ouvert,x02Iet soitf:I!Rune fonction. -Sifest dérivable enx0alorsfest continue enx0. -Sifest dérivable surIalorsfest continue surI.Démonstration Supposonsfdérivable enx0et montrons qu"elle est aussi continue en ce point.

Voici une démonstration concise : partant de l"écriture alternative donnée dans la proposition

1 , nous

écrivons

f(x)AEf(x0)Å(x¡x0)`|{z} !0Å(x¡x0)"(x)|{z} !0. Doncf(x)!f(x0) lorsquex!x0et ainsifest continue enx0.

On reprend cette démonstration sans utiliser les limites mais uniquement la définition de continuité

et dérivabilité :

Fixons"0È0 et écrivonsf(x)AEf(x0)Å(x¡x0)`Å(x¡x0)"(x) grâce à la proposition1 , où"(x)¡¡¡¡!x!x00 et

4 `AEf0(x0). Choisissons±È0 de sorte qu"il vérifie tous les points suivants : -±É1 -±j`jÇ"0 -sijx¡x0jÇ±alorsj"(x)jÇ"0(c"est possible car"(x)!0)

Alors l"égalité ci-dessus devient :

É±j`j Å±"0pourjx¡x0jÇ±

É"0Å"0AE2"0Nous venons de prouver que sijx¡x0j Ç±alors¯¯f(x)¡f(x0)¯¯Ç2"0, ce qui exprime exactement quef

est continue enx0.Remarque La réciproque estfausse: par exemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n"est pas dérivable en 0.xy 1

01yAEjxjEn effet, le taux d"accroissement def(x)AEjxjenx0AE0 vérifie :

f(x)¡f(0)x¡0AEjxjx AE8 :Å1 sixÈ0

¡1 sixÇ0.

Il y a bien une limite à droite (qui vautÅ1), une limite à gauche (qui vaut¡1) mais elles ne

sont pas égales : il n"y a pas de limite en 0. Ainsifn"est pas dérivable enxAE0. Cela se lit aussi sur le dessin il y a une demi-tangente à droite, une demi-tangente à gauche mais elles ont des directions différentes.Mini-exercices 1. Montrer que la fonct ionf(x)AEx3est dérivable en tout pointx02Ret quef0(x0)AE3x20. 2. Montrer que la fonctionf(x)AEpxest dérivable en tout pointx0È0 et quef0(x0)AE12 px 0.

3.Montrer que la fonctionf(x)AEpx(qui est continue enx0AE0) n"est pas dérivable en

x0AE0. 4. Calculer l"équation de la tangente (T0) à la courbe d"équationyAEx3¡x2¡xau point d"abscissex0AE2. Calculerx1afin que la tangente (T1) au point d"abscissex1soit paral- lèle à (T0). 5. Montrer que si une fonction fest paire et dérivable, alorsf0est une fonction impaire. 5 2.

Calcul des dérivées

2.1.

Somme, produit,... Proposition 3

Soientf,g:I!Rdeux fonctions dérivables surI. Alors pour toutx2I: -(fÅg)0(x)AEf0(x)Åg0(x), -(¸f)0(x)AE¸f0(x) où¸est un réel fixé, -(f£g)0(x)AEf0(x)g(x)Åf(x)g0(x), -³1f

0(x)AE¡f0(x)f(x)2(sif(x)6AE0),

-³fg Il est plus facile de mémoriser les égalités de fonctions : (fÅg)0AEf0Åg0,(¸f)0AE¸f0,(f£g)0AEf0gÅf g0,µ1f 0

AE¡f0f

2,µfg

AEf0g¡f g0g

2.Démonstration

Prouvons par exemple (f£g)0AEf0gÅf g0.

Fixonsx02I. Nous allons réécrire le taux d"accroissement def(x)£g(x) :

Ceci étant vrai pour toutx02Ila fonctionf£gest dérivable surIde dérivéef0gÅf g0.2.2.Dérivée de fonctions usuelles Le tableau de gauche est un résumé des principales formules à connaître,xest une variable. Le

tableau de droite est celui des compositions (voir paragraphe suivant),ureprésente une fonction x7!u(x).FonctionDérivée x nnx n¡1(n2Z)1 x¡ 1x 2px1 2 1px x

®®x®¡1(®2R)e

xe xlnx1 x cosx¡sinxsinxcosxtanx1Åtan2xAE1cos

2xFonctionDérivée

u nnu

0un¡1(n2Z)1

u¡ u0u 2pu1 2 u0pu u

®®u0u®¡1(®2R)e

0eulnuu

0u cosu¡u0sinusinuu

0cosutanuu

0(1Åtan2u)AEu0cos

2u 6

Remarque

-Notez que les formules pourxn,1x pxetx®sont aussi des conséquences de la dérivée de l"exponentielle. Par exemplex®AEe®lnxet donc ddx (x®)AEddx (e®lnx)AE®1x e®lnxAE®1x x®AE®x®¡1. Si vous devez dériver une fonction avec un exposant dépendant dexil faut absolument repasser à la forme exponentielle. Par exemple sif(x)AE2xalors on réécrit d"abord f(x)AEexln2pour pouvoir calculerf0(x)AEln2¢exln2AEln2¢2x.2.3.Composition

Proposition 4

Sifest dérivable enxetgest dérivable enf(x) alorsg±fest dérivable enxde dérivée : La preuve est similaire à celle ci-dessus pour le produit en écrivant cette fois :

g±f(x)¡g±f(x0)x¡x0AEg¡f(x)¢¡g¡f(x0)¢f(x)¡f(x0)£f(x)¡f(x0)x¡x0¡¡¡¡!x!x0g0¡f(x0)¢£f0(x0).Exemple 3

Calculons la dérivée deln(1Åx2). Nous avonsg(x)AEln(x) avecg0(x)AE1x; etf(x)AE1Åx2avec f0(x)AE2x. Alors la dérivée de ln(1Åx2)AEg±f(x) est g±f¢0(x)AEg0¡f(x)¢¢f0(x)AEg0¡1Åx2¢¢2xAE2x1Åx2.Corollaire 1 SoitIun intervalle ouvert. Soitf:I!Jdérivable et bijective dont on notef¡1:J!Ila bijection réciproque. Sif0ne s"annule pas surIalorsf¡1est dérivable et on a pour tout x2J: f¡1¢0(x)AE1f

0¡f¡1(x)¢Démonstration

NotonsgAEf¡1la bijection réciproque def. Soity02Jetx02Itel quey0AEf(x0). Le taux d"accroisse- ment degeny0est : g(y)¡g(y0)y¡y0AEg(y)¡x0f

¡g(y)¢¡f(x0)

Lorsquey!y0alorsg(y)!g(y0)AEx0et donc ce taux d"accroissement tend vers1f

0(x0). Ainsig0(y0)AE

7 1 f

0(x0).Remarque

Il peut être plus simple de retrouver la formule à chaque fois en dérivant l"égalité f

¡g(x)¢AEx

oùgAEf¡1est la bijection réciproque def.En effet à droite la dérivée dexest 1; à gauche la dérivée def¡g(x)¢AEf±g(x) estf0¡g(x)¢¢g0(x).

L"égalitéf¡g(x)¢AExconduit donc à l"égalité des dérivées : f

0¡g(x)¢¢g0(x)AE1.

MaisgAEf¡1donc¡f¡1¢0(x)AE1f

0¡f¡1(x)¢.Exemple 4

Soitf:R!Rla fonction définie parf(x)AExÅexp(x). Étudionsfen détail.

Tout d"abord :

1.f est dérivable carfest la somme de deux fonctions dérivables. En particulierfest continue. 2.f est strictement croissante carfest la somme de deux fonctions strictement croissante.

3.fest une bijection car limx!¡1f(x)AE¡1et limx!Å1f(x)AEÅ1.

4.f0(x)AE1Åexp(x) ne s"annule jamais (pour toutx2R).

NotonsgAEf¡1la bijection réciproque def. Même si on ne sait pas a priori exprimerg, on peut malgré tout connaître des informations sur cette fonction : par le corollaire ci-dessusg

est dérivable et l"on calculeg0en dérivant l"égalitéf¡g(x)¢AEx. Ce qui donnef0¡g(x)¢¢g0(x)AE1

et donc ici g

0(x)AE1f

0¡g(x)¢AE11Åexp¡g(x)¢.

Pour cette fonctionfparticulière on peut préciser davantage : commef¡g(x)¢AExalorsg(x)Å

exp¡g(x)¢AExdonc exp¡g(x)¢AEx¡g(x). Cela conduit à : g

0(x)AE11Åx¡g(x).

8 xy 1

01yAExÅexp(x)yAExyAEg(x)yAE12

(x¡1)Par exemplef(0)AE1 doncg(1)AE0 et doncg0(1)AE12. Autrement dit¡f¡1¢0(1)AE12. L"équation

de la tangente au graphe def¡1au point d"abscissex0AE1 est doncyAE12 (x¡1).2.4.Dérivées successives

Soitf:I!Rune fonction dérivable et soitf0sa dérivée. Si la fonctionf0:I!Rest aussi dérivable

on notef00AE(f0)0ladérivée secondedef. Plus généralement on note : f

Si ladérivéen-ièmef(n)existe on dit quefestnfois dérivable.Théorème 1. Formule de Leibniz

f¢g¢(n)AEf(n)¢gÅÃn 1! f k! f (n¡k)¢g(k)Å¢¢¢Åf¢g(n)Autrement dit :

¡f¢g¢(n)AEnX

kAE0Ã n k! f (n¡k)¢g(k).

La démonstration est similaire à celle de la formule du binôme de Newton et les coefficients que

l"on obtient sont les mêmes.Exemple 5 -PournAE1 on retrouve (f¢g)0AEf0gÅf g0. -PournAE2, on a (f¢g)00AEf00gÅ2f0g0Åf g00.Exemple 6

Calculons les dérivéesn-ième deexp(x)¢(x2Å1) pour toutnÊ0. Notonsf(x)AEexp(x) alors

f0(x)AEexp(x),f00(x)AEexp(x),...,f(k)(x)AEexp(x). Notonsg(x)AEx2Å1 alorsg0(x)AE2x,g00(x)AE2 et pourkÊ3,g(k)(x)AE0.

Appliquons la formule de Leibniz :

1! f (n¡1)(x)¢g(1)(x)ÅÃn 2! f (n¡2)(x)¢g(2)(x)ÅÃn 3! f (n¡3)(x)¢g(3)(x)Å¢¢¢

9On remplacef(k)(x)AEexp(x) et on sait queg(3)(x),g(4)(x)AE0,...Donc cette somme ne contient

que les trois premiers termes : 1! exp(x)¢2xÅÃn 2! exp(x)¢2.

Que l"on peut aussi écrire :

f¢g¢(n)(x)AEexp(x)¢³ x2Å2nxÅn(n¡1)2

Å1´

.Mini-exercices 1.

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :f1(x)AExlnx,f2(x)AEsin1x,f3(x)AEp1Åp1Åx2,f4(x)AE¡ln(1Åx1¡x)¢

13 ,f5(x)AExx,f6(x)AEarctanxÅarctan1x 2.

On note ¢(f)AEf0f

. Calculer¢(f£g). 3. Soitf:]1,Å1[!]¡1,Å1[ définie parf(x)AExln(x)¡x. Montrer quefest une bijection.

NotonsgAEf¡1. Calculerg(0) etg0(0).

4. Calculer les déri véessuccessives de f(x)AEln(1Åx). 5.

Calculer les déri véessuccessives de f(x)AEln(x)¢x3.3.Extremum local, théorème de Rolle

3.1.

Extremum local

Soitf:I!Rune fonction définie sur un intervalleI. 10

Définition 3

-On dit quex0est unpoint critiquedefsif0(x0)AE0. -On dit quefadmet unmaximum local enx0(resp. unminimum local enx0) s"il existe un intervalle ouvertJcontenantx0tel que pour toutx2I\J f(x)Éf(x0) (resp.f(x)Êf(x0)). On dit quefadmet unextremum local enx0sifadmet un maximum local ou un minimum local en ce point.xy

Imaximums locauxminimums locauxmaximum global

Dire quefa un maximum local enx0signifie quef(x0) est la plus grande des valeursf(x) pour les xproches dex0. On dit quef:I!Radmet unmaximum globalenx0si pour toutes les autres valeursf(x),x2Ion af(x)Éf(x0) (on ne regarde donc pas seulement lesf(x) pourxproche de

x0). Bien sûr un maximum global est aussi un maximum local, mais la réciproque est fausse.Théorème 2

SoitIun intervalle ouvert etf:I!Rune fonction dérivable. Sifadmet un maximum local (ou un minimum local) enx0alorsf0(x0)AE0. En d"autres termes, un maximum local (ou un minimum local)x0est toujours un point critique. Géométriquement, au point (x0,f(x0)) la tangente au graphe est horizontale.xy I 11

Exemple 7Étudions les extremums de la fonctionf¸définie parf¸(x)AEx3Å¸xen fonction du paramètre

¸2R. La dérivée estf0

¸(x)AE3x2Å¸. Six0est un extremum local alorsf0

¸(x0)AE0.

Si¸È0 alorsf0

¸(x)È0 et ne s"annule jamais il n"y a pas de points critiques donc pas non plus d"extremums. En anticipant sur la suite :f¸est strictement croissante surR.

Si¸AE0 alorsf0

¸(x)AE3x2. Le seul point critique estx0AE0. Mais ce n"est ni un maximum local, ni un minimum local. En effet sixÇ0,f0(x)Ç0AEf0(0) et sixÈ0,f0(x)È0AEf0(0). -Si¸Ç0 alorsf0

¸(x)AE3x2¡j¸j AE3¡xÅqj¸j3

¢¡x¡qj¸j3

¢. Il y a deux points critiquesx1AE

¡qj¸j3

etx2AE Åqj¸j3. En anticipant sur la suite :f0

¸(x)È0 sur ]¡1,x1[ et ]x2,Å1[ et

f0 ¸(x)Ç0 sur ]x1,x2[. Maintenantf¸est croissante sur ]¡1,x1[, puis décroissante sur ]x1,x2[, doncx1est un maximum local. D"autre partf¸est décroissante sur ]x1,x2[ puis croissante sur ]x2,Å1[ doncx2est un minimum local.¸È0¸AE0x 1x

2¸Ç0Remarque

La réciproque du théorème

2 est fausse .P arexemple la fonction f:R!R, définie par f(x)AEx3vérifief0(0)AE0 maisx0AE0 n"est ni maximum local ni un minimum local. 2.

L"intervalle du théorème

2 est ouvert. P ourle cas d"un intervalle fermé, il faut faire attention aux extrémités. Par exemple sif: [a,b]!Rest une fonction dérivable qui admet un extremum enx0, alors on est dans l"une des situations suivantes : -x0AEa, -x0AEb, -x02]a,b[ et dans ce cas on a bienf0(x0)AE0 par le théorème2 . Aux extrémités on ne peut rien dire pourf0(a) etf0(b), comme le montre les différents maximums sur les dessins suivants.Ix 0Ia 12 Ib

3.Pour déterminermax[a,b]fetmin[a,b]f(oùf: [a,b]!Rest une fonction dérivable) il

faut comparer les valeurs defaux différents points critiques et enaet enb.Démonstration Preuve du théorème

Supposons quex0soit un maximum local def, soit doncJl"intervalle ouvert de la définition contenant

x0tel que pour toutx2I\Jon af(x)Éf(x0).

Pourx2I\Jtel quexÇx0on af(x)¡f(x0)É0 etx¡x0Ç0 doncf(x)¡f(x0)x¡x0Ê0 et donc à la limite

limx!x¡0f(x)¡f(x0)x¡x0Ê0.

Pourx2I\Jtel quexÈx0on af(x)¡f(x0)É0 etx¡x0È0 doncf(x)¡f(x0)x¡x0É0 et donc à la limite

limx!xÅ0f(x)¡f(x0)x¡x0É0.

Orfest dérivable enx0donc

lim x!x¡0f(x)¡f(x0)x¡x0AElim x!xÅ0f(x)¡f(x0)x¡x0AEf0(x0).

La première limite est positive, la seconde est négative, la seule possibilité est quef0(x0)AE0.3.2.Théorème de Rolle

Théorème 3. Théorème de Rolle

Soitf:[a,b]!Rtelle que

-fest continue sur [a,b], -fest dérivable sur ]a,b[, -f(a)AEf(b). Alors il existec2]a,b[ tel quef0(c)AE0.f(a)AEf(b)cabquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

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